一质点同时参与沿同一方向(x轴)的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移：合位移：合位移：合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同一、同一直线上两个同频率的谐振动的合成一、同一直线上两个同频率的谐振动的合成其中10-5 10-5 一维谐振动的合成一维谐振动的合成7/26/20241旋转矢量图示法：旋转矢量图示法：矢量沿矢量沿x 轴之投影表征了合运动的规律。轴之投影表征了合运动的规律。7/26/202421.当两振动同相同相叠加，合振幅最大。 讨论：7/26/20243当当A A1 1= =A A2 2 时，时，A A=0=02.两振动反相反相叠加，合振幅最小。7/26/202443.3.通常情况下通常情况下, ,合振幅介于合振幅介于之间。之间。和和7/26/20245（2） 为最小时，为最小时， 为为_ 则（则（1） 为最大时，为最大时， 为为_ 例例 已知两个同方向的简谐振动：已知两个同方向的简谐振动：例10-5 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为 依次差一个恒量 , 振动表达式可写成:求它们的合振动的振幅和初相。解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，避开三角函数运算。根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：7/26/20247因各个振动的振幅相同且相差恒为 ,各个矢量的起点和终点都在以C为圆心的圆周上，令其半径为R,根据简单的几何关系:7/26/20248R R在三角形OCM中,OM 的长度就是合振动位移矢量的位移,角度就是合振动的初相7/26/20249合振动初位相合振动的表达式(同相合成)合振幅最大合振幅最大7/26/202410两个简谐振动合成得(取取A A1 1=A=A2 2=A=A)当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。x =x1+x2二、同一直线上两个不同频率的谐振动的合成二、同一直线上两个不同频率的谐振动的合成 拍拍两个简谐振动的频率很接近，且和7/26/202411拍：拍：合振动的振幅随时间周期性变化。拍频拍频: :单位时间内合振动的振幅强弱变化的次数。合振动合振动振幅：振幅振幅00角频率:7/26/202412拍频的形成拍频的形成7/26/202413无阻尼自由振动:振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动。阻尼振动:在回复力和阻力作用下的振动。10-2 10-2 阻尼振动阻尼振动回复力：回复力：内力阻力：阻力：外力阻尼：消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类：摩擦阻尼，辐射阻尼。在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反: ：阻力系数，其大小由物体的形状、大小和介质的性质决定以摩擦阻尼为例：以摩擦阻尼为例：若振动系统和介质已知，阻力系数为常数7/26/202415在阻力作用下的弹簧振子：在阻力作用下的弹簧振子：在阻力作用下的弹簧振子：在阻力作用下的弹簧振子：受力：运动方程:引入固有角频率在小阻尼条件下 :其中阻力弹性恢复力，阻尼系数7/26/202416:表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动:反映了阻尼对振幅的影响和为积分常数,由初始条件决定阻尼振动的准周期性振动 讨论：讨论：1).2).3).7/26/2024174)阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的周期:振动变慢了阻尼振动的振幅:振幅随时间作指数衰减。阻力系数 大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度7/26/202418阻尼振动的三种情形：阻尼振动的三种情形：临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼如何使物体最快地恢复到平衡位置？如何使物体最快地恢复到平衡位置？7/26/202419 物体在周期性外力的持续作用下发生的振动一、受迫振动一、受迫振动10-3 10-3 受迫振动受迫振动 共振共振驱动力：驱动力：运动方程：运动方程：令令，7/26/202420衰减项衰减项稳态项稳态项稳定振动状态：稳定振动状态：当阻尼较小, 0时, 方程的解：7/26/202421稳态时振动物体速度：受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。式中7/26/202422二、共振二、共振位位移移共共振振: :当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象7/26/202423速速度度共共振振: :受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象在阻尼很小的前提下,速度共振和位移共振可以认为等同。7/26/202424电磁振荡:电路中电压和电流的周期性变化LC振荡电路向左合上开关S，使电源给电容器充电，然后将开关S接通LC回路，出现电磁振荡效应。10-4 10-4 电磁振荡电磁振荡一、LC 电路的振荡7/26/202425LCLC电路电磁振荡过程电路电磁振荡过程7/26/202426设某一时刻电容器极板上电量为q,电路中电流为i，取LC 回路的顺时针方向为电流正向，得到( )LC 回路自由振荡角频率 Q0:电荷振幅=极板电荷量最大值， 是振荡初相位，由初始条件确定（无阻尼）自由振荡的定量分析（无阻尼）自由振荡的定量分析: :CLi7/26/202427其中 为电流振幅。从上述分析结果可知电量和电流都作简谐振动。而且电荷和电流的振荡频率相同，电流的相位比电荷的相位超前 ,如下图所示问题：问题：哪条线是电哪条线是电流？哪条线是电荷？流？哪条线是电荷？7/26/202428上式表明,尽管电能和磁能均随时间变化,但总能量守恒。设t 时刻电容器极板上电量为q，电场能量:此时刻电流为i，则线圈中的磁场能量:开始放电时开始放电时电场能电场能CLi7/26/202429受迫振荡:LRC 电路在外加周期性电动势持续作用下产生的振荡。受迫振荡微分方程：稳态解稳态解: :二、受迫振荡二、受迫振荡 电共振电共振电动势问题：问题：一般解和一般解和如何推导如何推导Q Q0 0?7/26/202430其中其中7/26/202431周期性电动势作用下，电流振幅达到最大值电共振电共振电流振幅最大7/26/202432电磁振荡和机械振动的规律类似：电磁振荡和机械振动的规律类似：机械振动机械振动电磁振荡电磁振荡( (串联电路串联电路) )位移位移 x x速度速度 v质量质量 m劲度系数劲度系数 k阻力系数阻力系数 g驱动力驱动力 F弹性势能弹性势能 kx2/2动能动能 mv2/2电荷电荷 q电流电流 i电感电感 L电容的倒数电容的倒数 1/C电阻电阻 R电动势电动势 e电场能量电场能量 q2/2C磁场能量磁场能量 Li2/2三、力电类比三、力电类比7/26/202433