定积分的定义定积分的定义9453494534第四章第四章 不定积分不定积分复习与回顾复习与回顾1 1、不定积分的定义、不定积分的定义2 2、基本积分表、基本积分表4 4、变量代换法、变量代换法3 3、凑微分法、凑微分法5 5、分部积分法、分部积分法2例例3.3. 求解解 令原式原式换元目的：去掉根号换元目的：去掉根号95、分部积分法、分部积分法分部积分法公式分部积分法公式或者或者分部目的：变得容易积分分部目的：变得容易积分10例例4.4.（要记住四种情况）（要记住四种情况）1112 例例1. 1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积第一讲第一讲 定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、引例一、引例13o o(1)(1)分割分割: : 将区间将区间 a a, ,b b 任意分为任意分为 n n个子区间，个子区间，（2 2）近似求和：）近似求和： 任取任取（3 3）取极限：）取极限：记记分点为：分点为：14等分等分, , 把区间把区间分点为分点为取取 例例2 2求由求由 与与X X轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积解解15定积分16二、定积分的定义二、定积分的定义设函数设函数f(x)f(x)在在 a,ba,b 上有定义上有定义, , 把把 a,ba,b 任意分割成任意分割成n n个小区间个小区间: :任取任取作作若极限若极限存在存在, ,则称函数则称函数在在上上可积可积, ,即即记作记作: :此极限值为函数此极限值为函数在在上的上的定积分定积分. .记记定义定义1 117(1)(1)函数函数在在上可积上可积, ,是指极限是指极限存在存在, , 它与区间的分法及点的它与区间的分法及点的取法无关取法无关. .(2).(2).定积分是定积分是一个数一个数, , (3).(3).规定规定: :与积分变量用什么与积分变量用什么记号无关记号无关. .只取决于被积函数和积分区间只取决于被积函数和积分区间, ,注意注意18o o（4 4）定积分的几何意义是）定积分的几何意义是面积面积19例例3 3、用几何意义求下列定积分、用几何意义求下列定积分yx11(1)(2)（要求掌握）20几个结论几个结论 且只有有限个间断点且只有有限个间断点, , 设设在区间在区间上连续上连续, , 在在 上可积上可积. .则则设设在区间在区间上有界上有界, , 在在 上可积上可积. .则则设设在区间在区间上可积上可积, ,(1)(1) 在在 上有界上有界. .则则(2)(2)(3)(3)（可积的必要条件：有界）（可积的必要条件：有界）（连续一定可积）（连续一定可积）（其他情况也可能可积）（其他情况也可能可积）21三、三、 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. 可推广到有限项可推广到有限项. .性质性质2. 2. 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3. 3. 说明说明22x xy yo oa ab bc c（1 1）若）若, ,由几何意义知，由几何意义知，（2 2）若）若, , 由由(1)(1)知知其他情况类似可证其他情况类似可证. .证证23性质性质4.4.若若, ,则则推论推论1.1. 则则推论推论2.2.性质性质5.5.若若( (保号性保号性) )( (矩形的面积矩形的面积) )( (比较大小比较大小) )24性质性质6.6.（估计大小）（估计大小）则则设设25在在上连续上连续, ,则至少存在一点则至少存在一点若若使使定积分的中值定理定积分的中值定理性质性质7.7.-平均值平均值 x xa ab bo oy y( (以曲补直以曲补直) )26由性质由性质6 6知知由连续性介值定理知由连续性介值定理知, ,使使即即证明：证明：在在上取得最小值上取得最小值m m与最大值与最大值M M. .27例例3.3.估计积分值估计积分值解解在在1,41,4上的最小值、最大值分别为：上的最小值、最大值分别为：所以所以28例例4.4.比较大小比较大小: :解（解（1 1）因为在因为在11，22上，上，（2 2）因为在）因为在11，22上，上，（要求掌握）29小小 结结1 1）定积分的几何意义是）定积分的几何意义是面积面积2 2）定积分的性质（可加性、比较大小、中）定积分的性质（可加性、比较大小、中值定理）值定理）两点要求两点要求(1).会利用面积求定积分(2).比较定积分的大小3031结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！32