2.2.1 2.2.1 条件概率条件概率浙江省富阳市新登中学高二数学备课组浙江省富阳市新登中学高二数学备课组 20 201313- -3 3- -1717事件概率加法公式：事件概率加法公式：注注:1.事件事件A与与B至少有一个发生的事件叫做至少有一个发生的事件叫做A与与B的的 和事件和事件,记为记为 (或或 );3.若若 为不可能事件为不可能事件,则说则说事件事件A与与B互斥互斥.复习引入：复习引入：若事件若事件A与与B互斥，则互斥，则.2.事事件件A与与B都都发发生生的的事事件件叫叫做做A与与B的的积积事事件件,记为记为 (或或 ); 三张奖券中只有一张能中奖，现分三张奖券中只有一张能中奖，现分别由别由3名同学无放回地抽取，问最后名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两位小？前两位小？解：记“最后一名同学中奖”为事件B为所有结果组成的全体一般地，我们用一般地，我们用W W来来表示所有基本事件表示所有基本事件的集合，叫做的集合，叫做基本基本事件空间事件空间（或样本或样本空间空间）一般地，一般地，n(B)表示表示事件事件B包含的基本包含的基本事件的个数事件的个数如果已经知道如果已经知道第一名同学没有抽到第一名同学没有抽到中奖中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？的概率又是多少？“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名同学抽到中奖奖券的概率记为一名同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A）P(B)以试验下为条件以试验下为条件,样本空间是样本空间是二、内涵理解:ABP(B|A)以以A发生为条件发生为条件,样本空间缩小为样本空间缩小为AP(B|A)相当于把看作新的样本空间求AB发生的概率样本空间不一样为什么上述例中P(B|A)P(B)？一般地，设一般地，设A，B为两个事件，且为两个事件，且P(A)0，则，则称为在事件称为在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的发生的条件概率条件概率。一般把一般把P(B|A)读作读作A发生的条件下发生的条件下B的概率。的概率。注意：注意：（1）条件概率的取值在）条件概率的取值在0和和1之间，即之间，即0P(B|A) 1（2）如果）如果B和和C是是互斥事件互斥事件，则，则 P(BC |A)= P(B|A)+ P(C|A)条件概率的定义：条件概率的定义：在原样本空间在原样本空间的概率的概率反思反思求解条件概率的一般步骤：（1）用字母表示有关事件）用字母表示有关事件（2）求）求P(AB），），P(A)或或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求利用条件概率公式求例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；解：设第解：设第1次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件A，第第2次抽到理科题次抽到理科题为事件为事件B，则第，则第1次和第次和第2次都抽到理科题为事件次都抽到理科题为事件AB.（1）从）从5道题中不放回地依次抽取道题中不放回地依次抽取2道的事件数为道的事件数为例例1、在、在5道题中有道题中有3道理科题和道理科题和2道文科题，如果不放回道文科题，如果不放回地依次抽取地依次抽取2道题，求：道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；解：设第解：设第1次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件A，第第2次抽到理科题次抽到理科题为事件为事件B，则第，则第1次和第次和第2次都抽到理科题为事件次都抽到理科题为事件AB.例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率。法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为法二：因为：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以，所以法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为1/2例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。练习：设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率解解设设B表示取得一等品，表示取得一等品，A表示取得合格品，则表示取得合格品，则 （1）因为因为100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品， （2）方法方法1：方法方法2： 因为因为95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以707095955 5反思反思求解条件概率的一般步骤：（1）用字母表示有关事件）用字母表示有关事件（2）求）求P(AB），），P(A)或或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求利用条件概率公式求在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定颗骰子决定, ,若若已知已知出现点数不超过出现点数不超过3 3的的条件下条件下再再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ B= B=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 ，设设A=A=出现的点数不超过出现的点数不超过33，只需求事件只需求事件 A A 发生的条件下，发生的条件下，事件事件 B B 的概率即（的概率即（B BA A）5 52 21 13 34,64,6解法一解法一（减缩样本空间法）（减缩样本空间法）例题例题2解解1：例例 2 考虑恰有两个小孩的家庭考虑恰有两个小孩的家庭.（1）若已知）若已知（2）若已知）若已知 （假定生男生女为等可能）（假定生男生女为等可能） 例例 3 设设P(A|B)=P(B|A)= ,P(A)= ,求求P(B).某家第一个是男孩，求这家有两个男孩某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（相当于第二个也是男孩）的概率某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩的概率；的概率；在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定颗骰子决定, ,若若已知已知出现点数不超过出现点数不超过3 3的的条件下条件下再再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ B= B=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 ，设设A=A=出现的点数不超过出现的点数不超过33，只需求事件只需求事件 A A 发生的条件下，发生的条件下，事件事件 B B 的概率即（的概率即（B BA A）5 52 21 13 34,64,6例题例题2解解2：由条件概率定义得：由条件概率定义得：解法二解法二（条件概率定义法）（条件概率定义法）探究：探究： 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小。是否比前两名同学小。思考思考1？ 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？ 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？一一般般地地，在在已已知知另另一一事事件件A A发发生生的的前前提提下下，事事件件B B发发生的可能性大小不一定再是生的可能性大小不一定再是P(B).P(B).即即 条件的附加意味着对样本空间进行压缩条件的附加意味着对样本空间进行压缩. . 引例引例:掷红、蓝两颗骰子掷红、蓝两颗骰子,设事件设事件A=“蓝色骰子的点数为蓝色骰子的点数为3或或6”事件事件B=“两颗骰子点数之和大于两颗骰子点数之和大于8”求求(1)P(A)，P(B)，P(AB) (2)在在“事件事件A已发生已发生”的附加条件下事件发生的概率的附加条件下事件发生的概率？ (3)比较比较(2)中结果与中结果与P(AB)的大小及三者概率之间关系的大小及三者概率之间关系P(B)=10/36=5/18P(A)=12/36=1/3P(AB)=5/36P(B |A)相当于把看作新的相当于把看作新的基本事件空间求基本事件空间求发生的发生的概率概率思思 考考 对于上面的事件对于上面的事件A和事件和事件B，P(B|A)与它们的概与它们的概率有什么关系呢？率有什么关系呢？1.条件概率条件概率 对任意事件对任意事件A和事件和事件B，在已知事件，在已知事件A发生的发生的条件下事件条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率”，叫做，叫做条件概率条件概率。 记作记作P(B |A).基本概念基本概念2.条件概率计算公式条件概率计算公式:3.概率概率 P(B|A)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系基本概念基本概念例例1 1在在5道题中有道题中有3道理科题和道理科题和2道文科题，如果不放回道文科题，如果不放回的依次抽取的依次抽取2道题道题（1）第一次抽到理科题的概率）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率题的概率.例例1 1在在5道题中有道题中有3道理科题和道理科题和2道文科题，如果不放回道文科题，如果不放回的依次抽取的依次抽取2道题道题（1）第一次抽到理科题的概率）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率题的概率.练习、练习、1、5个乒乓球，其中个乒乓球，其中3个新的，个新的，2个旧的，每次取一个，不个旧的，每次取一个，不放回的取两次，求：放回的取两次，求：（1）第一次取到新球的概率；）第一次取到新球的概率；（2）第二次取到新球的概率；）第二次取到新球的概率；（3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。3/53/51/22、盒中有、盒中有25个球，其中白球若干个，黄球个球，其中白球若干个，黄球5个，黑球个，黑球10个，从盒中任意取出一个球，已知它不是黑球，试个，从盒中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率。求它是黄球的概率。条件概率计算中注意的问题条件概率计算中注意的问题1、条件概率的判断：、条件概率的判断： （1）当题目中出现）当题目中出现“在在前提（条件）前提（条件）下下”等字眼，一般为条件概率。等字眼，一般为条件概率。 （2）当已知事件的发生影响所求事件的概）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率。率，一般也认为是条件概率。2、相应事件的判断：、相应事件的判断：首先用相应的字母首先用相应的字母A、B表示出相应的事件，然表示出相应的事件，然后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件的概率。的概率。例例 2 2 一张储蓄卡的密码共有一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从位数字，每位数字都可从09中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就次就按对的概率。按对的概率。例例 3 3 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和和18%，两地同时下雨的比例为，两地同时下雨的比例为12%，问：，问：（1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？解：设解：设A=“甲地为雨天甲地为雨天”， B=“乙地为雨天乙地为雨天”，则，则P（A）=0.20，P（B）=0.18，P（AB）=0.121.某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7，活，活到到25岁的概率为岁的概率为0.56，求现年为，求现年为20岁的这种动岁的这种动物活到物活到25岁的概率。岁的概率。解解 设设A表示表示“活到活到20岁岁”(即即20)，B表示表示“活到活到25岁岁” (即即25)则则 所求概率为所求概率为 0.560.560.70.75 52.2.抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数B=B=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 ，A=A=出现的点数不超过出现的点数不超过33， 若已知出现的点数不超过若已知出现的点数不超过3 3，求出现的点数是奇数，求出现的点数是奇数的概率的概率 解：即事件解：即事件 A A 已发生，求事件已发生，求事件 B B 的概率的概率也就是求：（也就是求：（B BA A）A A B B 都发生，但样本空都发生，但样本空间缩小到只包含间缩小到只包含A A的样本点的样本点5 52 21 13 33. 设设 100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品，25 件二等品，规件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取定一、二等品为合格品从中任取1 件，求件，求 (1) 取得一取得一等品的概率；等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品已知取得的是合格品，求它是一等品的概率的概率 解解设设B表示取得一等品，表示取得一等品，A表示取得合格品，则表示取得合格品，则 （1）因为因为100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品， （2）方法方法1：方法方法2： 因为因为95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以707095955 54、一批产品中有、一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率率 设表示取到的产品是一等品，表示取设表示取到的产品是一等品，表示取出的产品是合格品，出的产品是合格品， 则则 于是于是 解解解解5、一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求每次任取只，连取次，求 (1) 第一次取得白球的概第一次取得白球的概率；率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率；第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次第一次取得黑球而第二次取得白球的概率取得黑球而第二次取得白球的概率设表示第一次取得白球设表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球表示第二次取得白球, 则则 （2） （3） （1） 6、全年级、全年级100名学生中，有男生（以事件名学生中，有男生（以事件A表示）表示）80人，女生人，女生20人；人； 来自北京的（以事件来自北京的（以事件B表示）有表示）有20人，人，其中男生其中男生12人，女生人，女生8人；免修英语的（以事件人；免修英语的（以事件C表示）表示）40人中，有人中，有32名男生，名男生，8名女生。求名女生。求 7、甲，乙，丙、甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有个试题签中有4个是难个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）甲抽）甲抽到难题签，到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到难题）甲没抽到难题签而乙抽到难题签，签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。解解 设设A，B，C分别表示分别表示“甲、乙、丙抽到难签甲、乙、丙抽到难签” 则则 1. 条件概率的定义条件概率的定义.2. 条件概率的计算条件概率的计算. 公式公式:乘法法则乘法法则