3.2一元二次不等式及其解法理解教材新知把握热点考向应用创新演练第三章不等式第一课时一元二次不等式的解法(1)(1)考点一考点二考点三知识点一知识点二观察下列不等式：观察下列不等式：(1)x20；(2)x22x0；(3)x25x60.问题问题1：上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次：上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少？数是多少？提示：提示：各有一个未知数各有一个未知数x，并且未知数的最高次数是，并且未知数的最高次数是2.问题问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？提示：提示：形如形如ax2bxc0(或或0)，其中，其中a，b，c为常数，为常数，且且a0. 1.定义定义只含有只含有 未知数，并且未知数的未知数，并且未知数的 的的不等式，称为一元二次不等式不等式，称为一元二次不等式 2.一般表达式一般表达式 一元二次不等式的一般表达形式是一元二次不等式的一般表达形式是ax2bxc0(或或ax2bxc0或或ax2bxc0或或ax2bxc0)(a0)，其中，其中a、b、c为常数为常数 一个一个最高次数是最高次数是2 3.解与解集解与解集使一元二次不等式成立的使一元二次不等式成立的 叫做一元二次不等叫做一元二次不等式的式的 ，所有的解所组成的，所有的解所组成的 叫做一叫做一元二次不等式元二次不等式的的 .x的值的值解解集合集合解集解集 已知一元二次不等式已知一元二次不等式x22x0，一元二次函数，一元二次函数yx22x，一元二次方程，一元二次方程x22x0.问题问题1：二次函数与：二次函数与x轴交点坐标是多少？轴交点坐标是多少？提示：提示：(0,0)、(2,0)问题问题2：一元二次方程根是什么？：一元二次方程根是什么？提示：提示：x10，x22.问题问题3：问题：问题1中的坐标与问题中的坐标与问题2中的根有何内在联系？中的根有何内在联系？提示：提示：交点的横坐标为方程的根交点的横坐标为方程的根问题问题4：x满足是什么条件，函数图象在满足是什么条件，函数图象在x轴上方？轴上方？提示：提示：x2或或x0.问题问题5：能否利用问题：能否利用问题4得出不等式得出不等式x22x0的解集？的解集？提示：提示：能不等式的解集为能不等式的解集为x|x2或或x0问题问题6：不等式：不等式x22x0的解集呢？的解集呢？提示：提示：x|0x2 解一元二次不等式可以根据函数的零点与相应一元解一元二次不等式可以根据函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集如轴的相关位置确定一元二次不等式的解集如下表：下表：判别式判别式b24ac000)的根的根有两相异实根有两相异实根x1，x2(x10)的图象的图象判别式判别式b24ac000(a0)的解集的解集 ax2bxc0)的解集的解集 x|xx2x|xx1x|x1x0；(2)x27x6.(3)(2x)(x3)x(4x)思路点拨思路点拨首先将不等式等价转化为不等式的右边是首先将不等式等价转化为不等式的右边是0，左边为，左边为ax2bxc(a0)的形式，再求出对应方程的的形式，再求出对应方程的根，然后结合二次函数的图象写出解集根，然后结合二次函数的图象写出解集精解详析精解详析(1)方程方程x25x60的两根为的两根为x11，x26.结合二次函数结合二次函数yx25x6的图象知，原不等式的解集为的图象知，原不等式的解集为x|x6(2)原不等式可化为原不等式可化为x27x60.解方程解方程x27x60得，得，x11，x26.结合二次函数结合二次函数yx27x6的图象知，原不等式的解集为的图象知，原不等式的解集为x|1x0.方程方程(x2)(x3)0两根为两根为2和和3.结合二次函数结合二次函数y(x2)(x3)的图象知，原不等式的的图象知，原不等式的解集为解集为x|x2 一点通一点通(1)解一元二次不等式一般按照解一元二次不等式一般按照“三步曲三步曲”进行：进行： 第一步，化二次项的系数为正数；第二步是求解相应的一第一步，化二次项的系数为正数；第二步是求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集次不等式的解集 (2)当把二次项的系数化为正数，并求得相应方程的根后，当把二次项的系数化为正数，并求得相应方程的根后，也可以直接按下列技巧写解集，即也可以直接按下列技巧写解集，即“大于大于0取两边，小于取两边，小于0取中取中间间”，意指，意指“取根的两边取根的两边”、“夹根的中间夹根的中间”如如(x1)(x2)0x2；(x1)(x2)01xx2的解集是的解集是 ()Ax|x1 Bx|x0Cx|0xx2x(x1)00x1.答案：答案：C2不等式不等式x26x105 Dx|x2解析：解析：364040的解集是的解集是x|x3，则则b_，c_.答案：答案：565若关于若关于x的不等式的不等式ax26xa20的解集为的解集为x|1x0. 思路点拨思路点拨先将不等式的左边分解因式，就此得方先将不等式的左边分解因式，就此得方程程x2(aa2)xa30的两根，然后就的两根，然后就a的取值范围比较两的取值范围比较两根的大小，从而写出不等式的解集根的大小，从而写出不等式的解集精解详析精解详析原不等式可化为原不等式可化为(xa)(xa2)0.则方程则方程x2(aa2)xa30的两根为的两根为x1a，x2a2(2分分)由由a2aa(a1)可知，可知，(1)当当a1时，时，a2a.原不等式的解为原不等式的解为xa2或或xa；(5分分)(2)当当0a1时，时，a2a或或x0，x0； (9分分)(4)当当a1时，原不等式为时，原不等式为(x1)20，x1. (10分分)综上可知：综上可知：当当a1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|xa2；当当0a1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|xa；当当a0时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|x0；当当a1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|x1. (12分分) 一点通一点通含参数的不等式的解题步骤为含参数的不等式的解题步骤为 (1)将二次项系数转化为正数；将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可如果可以直接分解因式，可省去此步省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小了写出解集还要分析根的大小) 另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为否为0，这决定不等式是否为二次不等式，这决定不等式是否为二次不等式7当当a1时，关于时，关于x的不等式的不等式x2(a1)xa0的解集的解集是是_解析：解析：原不等式可化为原不等式可化为(xa)(x1)0方程方程(xa)(x1)0.的两根为的两根为a,1.a1.a1的不等式的解集为的不等式的解集为x|x1答案：答案：x|x18解关于解关于x的不等式的不等式x2ax2a20(aR).解：解：原不等式转化为原不等式转化为(x2a)(xa)0.对应的一元二次方程的根为对应的一元二次方程的根为x12a，x2a.(1)当当a0时，时，x1x2，不等式的解集为不等式的解集为x|ax2a；(2)当当a0时，原不等式化为时，原不等式化为x20，无解；，无解；(3)当当a0时，时，x1x2，不等式的解集为不等式的解集为x|2axa综上所述，原不等式的解集为综上所述，原不等式的解集为a0时，时，x|ax2a；a0时，时，x；a0时，时，x|2axa 1.解一元二次不等式的一般步骤是：解一元二次不等式的一般步骤是：化为标准形化为标准形式；式；确定判别式确定判别式b24ac的符号；的符号；若若0，则求，则求出该不等式对应的二次方程的根；若出该不等式对应的二次方程的根；若0，则对应的二，则对应的二次方程无根；次方程无根；联系二次函数的图象得出不等式的解集联系二次函数的图象得出不等式的解集特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两在两根之内或两根之外根之外) 2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用思想的运用 3.解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法若解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免了以避免了0的讨论的讨论