导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.4 直线与圆的位置关系第2课时 切线的性质和判定第24章 圆学习目标1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）导入新课导入新课情境引入砂轮上打磨工件时飞出的火星右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？讲授新课讲授新课切线的性质一问题1 直线与圆有哪些位置关系？温故知新rdrdrd相交相切相离我们学习过哪些判断切线的方法？ 两个交点一个交点没有交点drd=rdr问题2 如图，若直线AT是 O 的切线，A 为切点，那么 AT和半径OA是不是一定垂直？请说明理由.rdATO反证法：假设AT与OA不垂直，则过点O作OMAT,垂足为M.根据垂线段最短，得OMOA，即圆心O到直线AT的距离dR，直线AT与O 相交，这与已知“AT是O 的切线”矛盾假设不成立，即ATOA.M知识要点AlO直线l是O的切线，A是切点，直线l OA. 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 应用格式例1 如图，PA为O的切线，A为切点直线PO与O交于B、C两点，P30，连接AO、AB、AC.(1)求证：ACBAPO；(2)若AP ，求O的半径解析：(1)根据已知条件我们易得CAB=PAO=90，由P=30可得出AOP=60，则C=30=P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得ACBAPO；OABPC(2)由已知条件可得AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.典例精析在ACB和APO中，BACOAP，ABAO，ABOAOB，ACBAPO.AO1，CBOP2，OB1，即O的半径为1.(2)解：在RtAOP中，P30，AP ，(1)证明：PA为O的切线，A为切点，OAP90.又P30，AOB60，又OAOB，AOB为等边三角形ABAO，ABO60.又BC为O的直径，BAC90.切线的判定二ABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系?（2)二者位置有什么关系？为什么？观察与思考经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为为O的半径BCBCOA于ABCBC为为O的切线.ABC 切线的判定定理应用格式知识要点下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意判一判判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳例2 如图,ABC=45，直线AB是O上的直径，点A,且AB=AC.求证：AC是O的切线. 解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.证明：AB=AC，ABC45，ACBABC45. BAC=180-ABC-ACB=90. AB是O的直径， AC是O的切线.AOCB例3 已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是O的切线.O OB BA AC C分析：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可. 证明：连接OC(如图). OAOB,CACB, OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ABOC. OC是O的半径, AB是O的切线. 例4 如图,ABC 中，AB AC ，O 是BC中点，O与AB 相切于E.求证：AC 是O 的切线BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是O的半径就可以了，而OE是O的半径，因此只需要证明OF=OE.F证明：连接OE ，OA, 过O 作OF AC.O 与AB 相切于E ， OE AB.又ABC 中，AB AC ，O 是BC 中点AO 平分BAC，FBOCEAOEOF.OE 是O 半径，OF OE，OF AC.AC 是O的切线又OEAB ，OFAC. (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点，连半径，得垂直.切线的其它重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.方法归纳当堂练习当堂练习 1.判断下列命题是否正确. 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） 3.如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径，BCD=120，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则ADP的度数为（ ）A40 B35 C30 D452.如图所示，A是O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与O的位置关系是 .APO第2题PO第3题DABC相切C4.如图, O切PB于点B,PB=4,PA=2,则O的半径多少？OPBA解：连接OB，则OBP=90.设O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r. 在RtOBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得 r=3， 即O的半径为3.证明：连接OP. AB=AC,B=C. OB=OP，B=OPB， OBP=C. OPAC. PEAC， PEOP. PE为O的切线.5.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交边BC于P， PEAC于E. 求证:PE是O的切线.O OA AB BC CE EP P拓展提升：已知：ABC内接于O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： _ ； _ .（2）如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线.BAEFCAE=BAFEOAFEOBCBC图1图2证明：连接AO并延长交O于D,连接CD,则AD为O的直径. D+ DAC=90 , D与B同对 , D= B,又 CAE= B, D= CAE, DAC+ EAC=90,EF是O的切线.课堂小结课堂小结切 线 的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切 线 的性质证切线时常用辅助线添加方法： 有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径.有1个公共点d= r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直.