第七章 多目标及离散变量优化方法 7.1 多目标优化问题 7.2多目标优化方法 7.3离散变量优化10fx7.17.1 多目标优化问题多目标优化问题abf1f2在在a , b区间内有两个目标函数：区间内有两个目标函数： 对于对于f1(X) ：当当x=a, f1(X)取得取得最差值最差值 f 1max当当x=b, f1(X)取得取得最优值最优值 f 1min 对于对于f2(X)：当当x=a, f2(X)取得取得最优值最优值 f 2max当当x=b, f2(X)取得取得最差值最差值 f 2min 随着设计变量随着设计变量X的值不断增大，目标函数的值不断增大，目标函数 f1(X)的值越来越好，目标函数的值越来越好，目标函数f2(X)的值越来越差的值越来越差x1x2f 1maxf 2maxf 2minf 1min2一一. 多目标问题的数学模型：多目标问题的数学模型： 设设 X =x1, x2 , ,xnT min. f1(X), f2 (X), fq (X), XRn s.t. gu(X) 0 u = 1,2,m hv(X) = 0 v = 1,2, p二二. 最优解与选好解、劣解与非劣解：最优解与选好解、劣解与非劣解： 对于对于f1(x)，1最好，其次为最好，其次为3，2，4，5，6； 对于对于f2(x)，2最好，其次为最好，其次为3，1，5，4，6。 综合考虑，综合考虑，1，2，3为为非劣解非劣解，4，5，6为为劣解劣解。7.17.1 多目标优化问题多目标优化问题0f2f1 1 3 2 4 6 53使所有目标都能达到最优的解通常是不存在的或者很难使所有目标都能达到最优的解通常是不存在的或者很难找到的，设计人员所能做到的就是在找到的，设计人员所能做到的就是在 Pareto解集中挑选解集中挑选合适的解作为最终解，通过牺牲某个或某些目标的性能合适的解作为最终解，通过牺牲某个或某些目标的性能来改善其它目标，在多个目标函数间进行折衷来改善其它目标，在多个目标函数间进行折衷EADCBf1f24最优解最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。：使各个分目标函数同时达到最优值的解。劣劣 解解：每个分目标函数值都比另一个解为劣，即为劣解。：每个分目标函数值都比另一个解为劣，即为劣解。选好解选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。三.三.多目标函数问题的优化设计过程多目标函数问题的优化设计过程： 1 1、先求非劣解；、先求非劣解； 2 2、从非劣解中选出选好解。、从非劣解中选出选好解。四.四.常用的求选好解的方法常用的求选好解的方法： 1 1、主要目标法、主要目标法 2 2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小 3 3、功效系数法、功效系数法 4 4、分层序列法、分层序列法 5一主要目标法一主要目标法思想思想: :抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作 为主要目标，将其他目标转化成约束条件）为主要目标，将其他目标转化成约束条件）7.27.2 多目标优化方法多目标优化方法原模型原模型: min f1(X), f2 (X), fq (X), XRn s.t. gu(X) 0 u = 1,2,m hv(X) = 0 v = 1,2, p转变后模型转变后模型: min fk(X) XRn s.t. fi(X) fi0 i = 1,2,k-1,k+1,q gu(X) 0 u = 1,2,m hv(X) = 0 v = 1,2, p6X1*X2*f1(X)的等值线的等值线 f2(X)的等值线的等值线 x1x20g1(X)=0g2(X)=0g3(X)=0g4(X)=0f20 min f1(X) s.t. f2(X) f20 gu(X) 0 u = 4X*72 2统一目标法统一目标法 统统一一目目标标函函数数法法的的实实质质就就是是将将原原各各分分目目标标函函数数f1(X)，f2(X), ，fn(X)通通过过一一定定的的方方法法，统统一一到到一一个个新新构构成成的的总总的的统统一一目目标标函函数数F(X)=f1(X), f2(X), fn(X)中中，把把原原来来的的多多目目标标优优化化问问题题转转化化成成具具有有统统一一目目标标函函数数的的单单目目标标优化问题，然后再用前述的单目标函数优化方法求解。优化问题，然后再用前述的单目标函数优化方法求解。（1 1）线性加权和法（线性组合法）线性加权和法（线性组合法）（2 2）极大极小法）极大极小法（3 3）理想点法与平方和加权法）理想点法与平方和加权法（4 4）分目标乘除法）分目标乘除法（5 5）功效系数法）功效系数法 81） 线性加权组合法线性加权组合法 线线性性加加权权组组合合法法又又称称加加权权因因子子法法，即即在在将将多多目目标标函函数数组组合合成成总总的的统统一一目目标标函函数数的的过过程程中中，引引入入加加权权因因子子wi，以考虑各个分目标函数在相对，以考虑各个分目标函数在相对重要程度重要程度方面的差异。方面的差异。式中：未未考考虑虑目目标标函函数数间间量量级和量纲上的差异级和量纲上的差异评价函数评价函数:体现目标函数的重要程度体现目标函数的重要程度9 f1取取值值范范围围是是10, 30, f2的的取取值值范范围围是是1000, 3000,设设计计人人员员认认为为目标函数目标函数 f1非常重要，则线性加权后的评价函数为：非常重要，则线性加权后的评价函数为： 设设计计人人员员原原本本的的意意图图是是优优化化结结束束后后，f1的的取取值值尽尽量量靠靠近近10，f2的的取取值可以稍微劣一些，例如可在值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。左右。 第第k次迭代时，次迭代时， f1的取值为的取值为15， f2的取值为的取值为1800，则，则 第第k+1次次迭迭代代时时，为为了了让让整整体体评评价价函函数数F(X)取取值值更更优优，无无论论采采用用哪种优化方法，优化程序会拼命的降低哪种优化方法，优化程序会拼命的降低 f2的取值，升高的取值，升高 f1的取值的取值 这是由于没有考虑目标函数量纲上的差异造成的这是由于没有考虑目标函数量纲上的差异造成的 10进一步改进：进一步改进：式中：式中：fi*为各个目标进行单独优化时得到最优值为各个目标进行单独优化时得到最优值反映了各个单目标函数值离开各自最优值的程度。此法也反映了各个单目标函数值离开各自最优值的程度。此法也可理解为对各个分目标函数作统一量纲处理。这时在列出可理解为对各个分目标函数作统一量纲处理。这时在列出统一目标函数时，不会受各分目标值相对大小的影响，能统一目标函数时，不会受各分目标值相对大小的影响，能充分反应出各分目标在整个问题中有同等重要含义。充分反应出各分目标在整个问题中有同等重要含义。 评价函数评价函数:例如：例如：112） 极大极小法极大极小法 考虑对各个目标最不利情况下求出最有利的解。就是对考虑对各个目标最不利情况下求出最有利的解。就是对多目标极小化问题采用各个目标中的最大值作为评价函数多目标极小化问题采用各个目标中的最大值作为评价函数的函数值来构造它。的函数值来构造它。 评价函数评价函数:对该式求优化解就是进行如下形式的极小化对该式求优化解就是进行如下形式的极小化12f1(X) f2(X)x fmax f1(X), f2(X)133）理想点法）理想点法 使各个目标尽可能接近各自的理想值使各个目标尽可能接近各自的理想值 评价函数评价函数:平方和加权法平方和加权法144） 分目标乘除法分目标乘除法原优化模型目标函数为原优化模型目标函数为 评价函数：评价函数：式中：式中：15（1）基本思想：给每一个分目标函数值一个评价，以功）基本思想：给每一个分目标函数值一个评价，以功 效系数效系数ci 表示表示: 功效函数功效函数: ci=Fi（fi） 0ci 1 5） 功效系数法功效系数法(几何平均法几何平均法) 当当fi取值很满意时，取值很满意时， ci=1；当；当fi取值不能接受时，取值不能接受时，ci=0 整体评价函数整体评价函数:c值要求越大越好，即值要求越大越好，即c=1为最满意；为最满意；c=0表示此方案表示此方案不能被接受。不能被接受。16（2）功效函数的类型（按照对目标函数的不同要求）功效函数的类型（按照对目标函数的不同要求）目标函数越大越好目标函数越大越好 要求：要求： fi越大越大, ci越大；当越大；当fi越小，越小， ci越小；越小；目标函数越小越好目标函数越小越好 要求：要求： fi越小越小, ci越大；当越大；当fi越大，越大， ci越小；越小；目标函数取值在某个范围内最好目标函数取值在某个范围内最好 要求：要求： fi取得的值越靠近预先确定的适当值时，取得的值越靠近预先确定的适当值时， ci越大；否则越大；否则ci越小。越小。 17（3）功效系数的确定方法）功效系数的确定方法 直线法直线法目标函数越大越好目标函数越大越好目标函数值在某个范围内最好目标函数值在某个范围内最好f小小1f大大fi0ci1f小小f大大目标函数越小越好目标函数越小越好cifi0f1f2f小小f大大10fici18折线法折线法fi(0) : :满意的目标函数值满意的目标函数值 fi(1) : :比较满意的目标函数值比较满意的目标函数值fi(2) : :接受与不可接受的目标函数值分界线接受与不可接受的目标函数值分界线 fi(3) : :决不接受的目标函数值决不接受的目标函数值 可可接接受受区区间间较较满满意意区区间间可可接接受受区区间间满满意意区区间间较满意区间较满意区间可可接接受受区区间间可接受区间可接受区间目标函数越大越好目标函数越大越好0.70.310cififi(0)fi(2)fi(3)fi(1)较满意区间较满意区间目标函数越小越好目标函数越小越好0cififi(0)fi(2)fi(3)fi(1)10.30.70.30.71目标函数值在某个范围内最好目标函数值在某个范围内最好ci0fifi(1)fi(1)fi(0)fi(0)fi(2)fi(2)fi(3)fi(3)满满意意区区间间满满意意区区间间19指数法指数法目标函数越大越好目标函数越大越好目标函数越小越好目标函数越小越好目标函数值在某个范围内最好目标函数值在某个范围内最好fi(1) : :接受与不可接受的目标函数值分界线接受与不可接受的目标函数值分界线 fi(0 : :)难以接受的目标函数值难以接受的目标函数值0.3700.07f(0)f(1)fici10.370.070f(1)f(0)fici10.370.070f(1)f(0)fici1f(0)f(1)20例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角=60,=60,最最 大压力角大压力角 maxmax尽可能小，以改善机构的传力性能；极尽可能小，以改善机构的传力性能；极 位夹角位夹角尽可能大，以提高机构的急回性质。尽可能大，以提高机构的急回性质。AB1C1CC2BB2Dl1l2l4l321建立数学模型：建立数学模型： 设计变量：设计变量：目标函数目标函数: :约束条件约束条件: :AB1C1CC2BB2Dl1l2l4l322分析：分析： 极位夹角取值范围极位夹角取值范围017 故故f1=17 , c1=1 f1=0 , c1=0 最大压力角取值范围最大压力角取值范围055 故故f2=0 , c2=1 f2=55, c2=0 摇杆摆角越接近摇杆摆角越接近60越好越好 取值范围取值范围5961 故故f3=60, c3=1 f3=59, c3=0 f3=61, c3=017 1 f1(x)0 c11 0 c2f2(x)55 0 c3f3(x)61 1 60 59 23建立各目标的功效函数：建立各目标的功效函数： 1) 2)3) 建立整体评价函数：建立整体评价函数：优化可得：优化可得：f1(x)17 0 1 c10 1 f2(x)55 0 1 c3f3(x)61 60 59 24 4）功效系数的特点）功效系数的特点 直观，计算后调整方便，直观，计算后调整方便， 避免某一目标函数值不可接受而评价函数值较好。避免某一目标函数值不可接受而评价函数值较好。 可以处理希望目标函数值取某一适当值的情况。可以处理希望目标函数值取某一适当值的情况。 事先要求明确目标函数的取值范围事先要求明确目标函数的取值范围 有一个单目标不能接受有一个单目标不能接受,则总方案不能接受。则总方案不能接受。25一一. . 基本思想：基本思想： 在多目标优化设计中，当各分目标函数在多目标优化设计中，当各分目标函数的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，以其集合得出以其集合得出协调曲线协调曲线，再根据恰当的匹配，再根据恰当的匹配关系得到关系得到满意曲线满意曲线，沿着满意程度的增加的，沿着满意程度的增加的方向，各分目标值下降，直至获得选好解。方向，各分目标值下降，直至获得选好解。二二. . 协调曲线与满意曲线：协调曲线与满意曲线： 双目标函数的协调曲线双目标函数的协调曲线3 3协调曲线法协调曲线法8642f2(x)1.5246f1(x)x1x2f1(X)f2(X)2468246SQRTP满意程度满意程度TPRQS264 4分层序列法及宽容分层序列法分层序列法及宽容分层序列法分层序列法：分层序列法：将多目标优化问题中的将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次，个目标函数分清主次， 按重要程度排序，然后依次对各个目标函数按重要程度排序，然后依次对各个目标函数 求最优解。后一目标应在前一目标最优解的求最优解。后一目标应在前一目标最优解的 集合域内寻优。集合域内寻优。 假设假设f1(X)最重要，最重要， f2(X)其次，其次， f3(X)再其次再其次, 首先对第一个目标函数首先对第一个目标函数f1(X)求解求解 求出最优解求出最优解域域 f1 * 27其次对第二个目标函数其次对第二个目标函数f2(X)求解。求解。 求出最优解求出最优解域域 f2* 再次对第三个目标函数再次对第三个目标函数f2(X)求解求解 求出最优解求出最优解域域 f3 * 如此继续，最优对第如此继续，最优对第l个目标函数个目标函数f2(X)求解求解 求求出出最最优优解解fl 。28宽容分层序列法宽容分层序列法： 1） 2） 3） 4）29 宽容分层序列法示意图30 前述各种优化设计方法都是将设计变量作为连续变量进行前述各种优化设计方法都是将设计变量作为连续变量进行寻优的。而在实际的工程优化问题中，经常会遇到非连续变寻优的。而在实际的工程优化问题中，经常会遇到非连续变量的一些参数。比如，齿轮的标准模数系列、型钢的规范尺量的一些参数。比如，齿轮的标准模数系列、型钢的规范尺寸系列等离散变量。又如，齿轮选取的齿数，寸系列等离散变量。又如，齿轮选取的齿数，V带使用的根数带使用的根数等整数变量，而这一类整数变量也是离散变量的一种特殊形等整数变量，而这一类整数变量也是离散变量的一种特殊形式。式。7-3 离散变量优化离散变量优化 连续变量连续变量 确定型确定型 整型变量整型变量 离散变量离散变量 31凑整解法凑整解法 处处理理离离散散变变量量的的一一种种简简单单方方法法，这这种种方方法法是是先先将将符符合合设设计计规规范范和和标标准准的的离离散散变变量量视视为为连连续续变变量量来来处处理理，在在得得出出连连续续变变量量的的最最优优点点后后，再再调调整整其其接接近近相相应应设设计计规规范范和和标标准的离散点。准的离散点。 x2*+1x2*x1*x1*+1x20x1X*ABCDX*32缺点：缺点：1)在连续变量最优点附近凑整法得到的设计点有在连续变量最优点附近凑整法得到的设计点有可能均不在可行域内可能均不在可行域内2)凑整法得到的设计点有可能只是可行解，不是凑整法得到的设计点有可能只是可行解，不是离散最优解离散最优解X*DFFDX*QP33拟离散法拟离散法(包含离散变量和连续变量包含离散变量和连续变量)：1）将连续变量优化解）将连续变量优化解X*圆整到最近的一个离散点圆整到最近的一个离散点X*2） 将将X*的离散分量固定，对其余的连续分量进行优化的离散分量固定，对其余的连续分量进行优化3）若得到的新点可行且满足收敛条件，则输出最优结果）若得到的新点可行且满足收敛条件，则输出最优结果4）否则把离散分量移到邻近）否则把离散分量移到邻近X*的其他离散点上，再对连的其他离散点上，再对连 续分量优化，转到步骤续分量优化，转到步骤2。如此重复。如此重复问题：问题：1）只是在几个方案中选出一较好解作为近似解）只是在几个方案中选出一较好解作为近似解2）由于离散变量移动后得到的离散点有可能是非可行点，）由于离散变量移动后得到的离散点有可能是非可行点， 注意连续变量优化时的算法选取。注意连续变量优化时的算法选取。 34本章结束本章结束Thank You！35个人观点供参考，欢迎讨论