简谐振动微分方程微分方程回顾回顾方程的解方程的解1.振幅振幅 (amplitude)3.相位相位 (phase)2.周期周期 (period) 给定振动系统，给定振动系统，周期由系统本身性质决定周期由系统本身性质决定，振幅和初振幅和初相由初始条件决定。相由初始条件决定。简谐振动的描述2.曲线法1.解析法回顾回顾3.旋转矢量法简谐振动的能量简谐振动的能量了解了解掌握掌握回顾回顾轮胎轮轴底座弹簧座椅弹簧乘客汽车的减震系统减振包装置一维振动的合成（振动方向相同的振动的合成）一维振动的合成（振动方向相同的振动的合成）二维振动的合成（振动方向相互垂直的振动的合成）二维振动的合成（振动方向相互垂直的振动的合成）第四节 简谐振动的合成与分解3.4.1同方向同频率简谐振动合成某质点同时参与两个同频率同方向的振动某质点同时参与两个同频率同方向的振动分振动方程为：分振动方程为：x xOO利用利用旋转矢量法旋转矢量法求合振动求合振动x x2 2P Pj j j j x xMA Aw wj j j j 1 1x x1 1M1A1w wj j j j 2 2x x2 2M2A2w w分振动方程分振动方程仍是简谐振动，且仍是简谐振动，且角频率不变角频率不变合振动方程合振动方程1.相位差相位差振动相互加强振动相互加强讨论讨论2.相位差相位差振动相互抵消振动相互抵消特别是，当特别是，当合振动为合振动为0 0讨论讨论小结小结特别是，当特别是，当合振动为合振动为0 0相互加强相互加强u相互抵消相互抵消u例：例：两个同方向的简谐运动求：（1）合振动的振幅和相位； （2）另有一个同方向的简谐运动当 为何值时， 的振幅最大；当 为何值时， 的振幅最小。旋转矢量判断相位旋转矢量判断相位x1x2直接应用公式：直接应用公式：关键：关键：将振动方程改写为标准形式将振动方程改写为标准形式套公式套公式旋转矢量判断相位旋转矢量判断相位合振动的圆频率合振动的圆频率振幅部分振幅部分特例特例3.4.2同方向不同频率简谐振动合成 频率非常接近频率非常接近的两个同方向简谐振动合成时，其合合振动的振幅时而加强时而减弱振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍（beat）。拍拍 (beat)当时3.4.2同方向不同频率简谐振动合成tx合振动频率合振动频率拍频拍频 beatfrequency（振幅变化的频率）：（振幅变化的频率）：tx振幅变化的周期合振幅合振幅 讨论讨论合振动的圆频率合振动的圆频率振幅部分振幅部分拍及其应用 在现实生活中不同频率的叠加技术使用非常普遍。例如低频声振动由于能量和吸收原因不能转播很远，而高频电磁波又不能被人类直接感觉到。运用振动叠加原理，将声振动与高频电磁振动相叠加就得到了我们日常生活中的电视信号和广播信号。用音叉的振动来校准乐器测量超声波的频率测定无线电波频率以及调制1. 合振动不再是简谐振动，仍然是周期性振动。2. 合振动频率与分振动中最低频率相等。 多个分振动的频率是最低频率的整数倍时，最低频率叫基频，其他分振动的频率叫倍频。3.4.2同方向不同频率简谐振动合成3.4.3相互垂直的同频率简谐运动的合成质点运动轨迹：质点运动轨迹：椭圆方程，具体形状由椭圆方程，具体形状由相位差相位差决定。决定。特例：特例：简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差如如果果两两个个简简谐谐振振动动的的频频率率相相差差比比较较大大, 但但有有简简单单的的整整数数比比时时, 则合振动也会具有稳定的封闭轨迹。则合振动也会具有稳定的封闭轨迹。可用于测量振动频率和相位可用于测量振动频率和相位基频：基频：倍频：倍频：3.4.4振动的分解物理学理论和实验都可以证明，一个复杂的振动可以分解为若干个简谐振动。 按傅立叶级数展开：按傅立叶级数展开：周期性方波周期性方波方波方波锯齿波锯齿波直观表示法：直观表示法：组成一个复杂振动的所有振动频率的集合称为频谱A 下下面面图图形形分分别别是是脉脉搏搏的的时时序序图图和和相相应应的的傅傅立立叶叶频频谱谱图图。 人人类类的的脉脉搏搏是是一一种种准准周周期期振振动动，用用傅傅立立叶叶分分解解技技术术可可以以将将它它分解，不同的脉搏其分解得到的成分也不相同。分解，不同的脉搏其分解得到的成分也不相同。脉搏振动图形及其频谱脉搏振动图形及其频谱 图中显示了一位学生在安静条件下的脉搏图形及其频谱图中显示了一位学生在安静条件下的脉搏图形及其频谱频谱分析技术是现代科学与技术的结晶频谱分析技术是现代科学与技术的结晶 现现代代频频谱谱分分析析技技术术是是多多种种学学科科交交叉叉的的结结果果。数数学学上上的的傅傅立立叶叶变变换换提提供供提提供供了了理理论论基基础础，物物理理学学实实践践证证明明了了数数学学理理论论的的可可实实现现性性，结结合合计计算算机机应应用用的的快快速速傅傅立立叶叶变变化化算算法法提提供供了了可可以以实实时时处处理理的的方方法法，大大规规模模集集成成电电路路技技术术将将软软件件硬硬件件化化更更是是将将频频谱谱分分析析技技术术推推到到应应用用的的高高峰峰。 几几乎乎所所有有工工程程技技术术领领域域都都在在使使用用频频谱谱分分析析技技术术，象象电电子子信号处理信号处理、语音识别语音识别、图象识别图象识别都使用了频谱分析技术。都使用了频谱分析技术。特例：拍振振动动的的合合成成同方向同频率简谐振动的合成同频率简谐振动同方向不同频率简谐振动的合成周期性非简谐振动振动的分解（了解）相互垂直的简谐振动的合成小结小结波动是振动的传播过程；振动是激发波动的波源波动是振动的传播过程；振动是激发波动的波源机械波：机械振动在弹性介质中的传播电磁波：交变电磁场在空间的传播波动两两类类波波的的不不同同之之处处机械波的传播需有传机械波的传播需有传播振动的介质播振动的介质电磁波的传播可不需电磁波的传播可不需介质介质能量传播能量传播反射反射折射折射干涉干涉衍射衍射两两类类波波的的共共同同特特征征第五节 简谐波波源波源介质介质+弹性作用弹性作用机机械械波波3.5.1机械波的产生和传播产生条件：产生条件：1 1）波源；）波源；2 2）弹性介质。）弹性介质。机械波（mechanicalwave）机械振动在弹性介质中的传播机械波的产生机械波的产生机械波的分类：纵波和横波机械波的分类：纵波和横波纵波：纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波质点振动方向与波的传播方向互相平行的波（可在固体、液体和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部纵波纵波与横波与横波横波横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波（仅在固体中传播）特征：具有交替出现的波峰和波谷纵波纵波与横波与横波波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播球球 面面 波波平平 面面 波波波前波前波面波面波线波线波前、波前、波面、波线波面、波线平 面 波球 面 波t时刻 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。Ot+t时刻惠更斯原理惠更斯原理水波通过窄缝时的衍射水波通过窄缝时的衍射惠更斯原理惠更斯原理波长、波长、波的周期和频率、波速波的周期和频率、波速注意：注意：周期或频率只决定于波源的振动周期或频率只决定于波源的振动! !波长、波长、波的周期和频率、波速波的周期和频率、波速波长、波长、波的周期和频率、波速波的周期和频率、波速注意：注意：波速只决定于介质的性质：介质的弹性和惯性波速只决定于介质的性质：介质的弹性和惯性。如声音的传播速度：如声音的传播速度：空气，常温空气，常温左右，混凝土左右，混凝土纵纵 波波固体固体液、气体液、气体切变切变模量模量杨氏杨氏模量模量体积体积模量模量横横 波波波长、波长、波的周期和频率、波速波的周期和频率、波速简谐波简谐波：在均匀的、没有吸收的介质中，波源作简谐运在均匀的、没有吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波。动时，在介质中所形成的波。3.5.2波动方程平面简谐波平面简谐波：波面为平面的简谐波。：波面为平面的简谐波。简谐波的波动方程简谐波的波动方程波线上各点的位移随时间的变波线上各点的位移随时间的变化规律（任意一点的振动规律）化规律（任意一点的振动规律）波动方程的物理意义波动方程的物理意义Oabc下一时刻，波线上各质点的运动方向？下一时刻，波线上各质点的运动方向？ 波动方程的物理意义波动方程的物理意义波波动动方方程程O波动波动1：波动波动2：简谐波的波动方程简谐波的波动方程讨论讨论O简谐波的波动方程简谐波的波动方程讨论讨论OabcOOOO讨论讨论解：解：写出波动方程的标准式写出波动方程的标准式Oo2.01.0-1.001.0-1.02.01.0 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能。同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能。3.5.3波的能量谐振子的势能来谐振子的势能来源于弹性力源于弹性力波的势能来源于波的势能来源于质点之间的相互作用质点之间的相互作用势能最小：平衡位置处势能最小：平衡位置处势能最大：最大位移处势能最大：最大位移处势能最小：波峰波谷处势能最小：波峰波谷处势能最大：平衡位置处势能最大：平衡位置处振动动能：振动动能：弹性势能：弹性势能：任一体积元任一体积元质元体积质元体积3.5.3波的能量介质密度介质密度体积元的总机械能：体积元的总机械能：讨论讨论2. 质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度，同时其形变也最大。体积元的总机械能：体积元的总机械能：讨论讨论3. 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量。任一体积元的机械能不守恒。体积元的总机械能：体积元的总机械能：讨论讨论波动是能量传递的一种方式波动是能量传递的一种方式能量密度能量密度（volumedensityofenergy） 单位体积介质中的波动能量单位体积介质中的波动能量平均能量密度平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值：能量密度在一个周期内的平均值体积元的总机械能：体积元的总机械能：波的能流和能流密度波的能流和能流密度能流能流（energyflux）单位时间内单位时间内垂直通过某一面积的能量垂直通过某一面积的能量能流密度能流密度 I（energyfluxdensity）( 波的强度波的强度 ) 单位单位时间通过垂直于波传播方向的单位面积的能量时间通过垂直于波传播方向的单位面积的能量 udtS5m9mA(O)BCD8m5m9mAB(O)CD8m5m9mA(O)BCD8m5m9mAB(O)CD8m5m9mA(O)BCD8m波动方程的各种变形形式波动方程的各种变形形式波动方程波动方程小结小结机械波机械波横波横波纵波纵波振动方程振动方程重点重点波的能量波的能量体积元的总机械能体积元的总机械能平均能量密度平均能量密度能流密度能流密度