第二节第二节 函数及其表示法函数及其表示法一、变量与常量一、变量与常量二、函数的概念二、函数的概念三、函数的表示法三、函数的表示法一、一、变量与常量 如果一个量在某个过程中是变化的，即可以取不同的数值，则称这种量为变量；如果一个量在某过程中保持不变，总取同一值，则称这种量为常量.变量通常用x，y，t， 表示，常量通常用a，b，c， 表示.二、函数的概念变量与变量之间的依赖关系是高等数学研究的主要问题.先看下面的例子.其中g为重力加速度，当 时,s=s0, 物体落至地面. 当t在闭区间 上每取一个确定的值时，s就有唯一确定的值与之对应.例1 设物体在初始时刻(t=0)的位置为地面上方s0(s00)处,自由下落.以向下方向作为正向,初始位置作为原点,则位移s与下落时间t的关系为例2 按邮局规定,寄往国内的外埠普通信函每件不得超过2000 g,不超过100g时,每重20g资费为1.2 元,余数不足20g,以20 g计,超过100g不超过2000g时,每重100g资费为2元,余数不足100g以100g计.每件挂号另收资费3元.试列出资费s(元)与挂号信函重量x(g)之间的关系 .解 从重量大于0到100g止共分5段,为(0,20,(20,40, (80,100.从重量大于100g到2000g止共分19段,为(100,200,(200,300, ,(1900,2000.于是可写出s与x的关系为当当当x在区间(0,2000)上每取一个确定的值时,s有唯一的值与之对应.定义1.1 设x与y是两个变量，X是实数集R的子集.如果对任何确定的 ，按照一定的规则f，变量y有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，记作两个变量之间的这种依赖关系称为函数关系.称X为该函数的定义域.称x为自变量，称y为因变量,有时也常称f(x)为x的函数.y=f(x)当自变量x取数值 时，与 对应的因变量y的值称为函数y=f(x)在点 处的函数值，记为 ，或 .当x取遍X的各个数值时，对应的变量y取值的全体组成数集称做这个函数的值域.常记为在函数y=f(x)中记号f表示自变量x与因变量y的对应规则，也可用 等.如果两个函数的定义域相同，并且对应规则也相同(从而值域也相同)，那么它们就应该用同一个记号来表示.在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的.如例1中的定义域为 ,例2中的定义域为(0,2000 在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集.例如， 的定义域 ，函数 的定义域是 .例3 求函数 的定义域,并判断它与g(x)=x3是否为同一函数解 当分母x+30时,函数f(x)才有意义.所以函数的定义域为x3的全体实数,用区间表示为f(x)与g(x)的定义域不同,所以f(x)与g(x)不是同一个函数 .而g(x)=x3的定义域是 .例4求函数 的定义域.解f(x)由两个表达式相加而成,表达式 有意义的范围为表达式 有意义的范围为取其公共部分,故此函数的定义域为或写成2,1).例5 设f(x)=ax2+bx+c,其中a,b,c均为常数.求f(0),f(1),f(x0), f(x+x0)及f(x0+h) f(x0).解 f(0)=a02+b0+c=c.f(1)=a+b+c=c.f(x+x0)=a(x+x0)2+b(x+x0)+c =a(x2+2x0x+ ) +bx+bx0+c =ax2+(2ax0+b)x+(a +bx0+c).f(x0)=a+bx0+c.f(x0+h) f(x0)=a (x0+h)2+b (x0+h)+c (a+bx0+c) = ax0+2ax0h+ ah2+bx0+bh+c (a+bx0+c) (2ax0+b)h+ah2如果自变量在定义域内任取一个值时，对应的函数值只有一个，这种函数称为单值函数，一个x对应多个y值的函数称为多值函数.以后凡没有特别特别说明，本书讨论的函数都是指单值函数.设函数y=f(x)的定义域为X.在平面直角坐标系xOy中，对于任意的 ，通过函数y=f(x)都可确定一个点M(x,y)，当x取遍定义域X中的所有值时，点M(x,y)描出的图形称为函数y=f(x)的图形.一个函数的图形通常是一条曲线.因此，又称函数y=f(x) 的图形为曲线y=f(x).三、函数的表示法函数的表示法通常有三种.(1)表格法 自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出，这样函数关系就用表格法来表示出来.例如，大家熟悉的对数表、开方表和三角函数表等都是用表格法来表示函数的.(2) 图示法 函数y=f(x)的图形直观地表达了自变量x与因变量y之间的关系.(1)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法.如例1，例2都是用公式法表示函数.当自变量在不同的范围内取值时,对应法则不能用一个公式表示,而要用用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数(如例6).例6 设当当求解 如图故故P7图f(x)的定义域是0,2，例7分段函数是公式法表达函数的一种方式.在理论分析和实际应用方面都是很有用的.需要注意的是，分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数.