第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法一一.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法每一项都非负其部分和数列有界定理1(基本定理)正项级数 收敛的充要条件是证(充分性)是正项级数,因此单调增加单调有界数列必有极限,则级数收敛.(必要性)由收敛数列必有界的性质可知定理2(比较审敛法)设 和 都是正项级数,且若 收敛,则 收敛;若 发散则 发散.证:设 收敛于,则 部分和由定理1,收敛.反之,若 发散则 必发散.否则与上面的结论矛盾.注意: 定理2可以与第一节的性质相结合,灵活运用.例: p-级数的敛散性解时,级数显然发散.因为 , 而 发散,则 p-级数发散时,它的各项不大于下面的等比级数各项收敛收敛因此 p-级数的部分和有界,故收敛. 发散 收敛时,例. 判断级数敛散性:而 收敛收敛而 发散发散而 收敛收敛定理3(比较审敛法极限形式)设 和 都是正项级数,如果则 和 同时收敛或同时发散.证对存在自然数N, 当 nN 时,即由比较审敛法可知结论例如前面例(3),由也可以得出结论例而 发散发散定理4.(比值审敛法)设 是正项级数, 如果则:收敛;发散;无法确定.(证明略)例. 判断级数敛散性:收敛收敛发散发散定理5.(根值审敛法)设 是正项级数, 如果则:收敛;发散;无法确定.(证明略)例 证明收敛并估计以 近似代替和 S 所产生的误差解则级数收敛二二.任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法各项为任意实数的级数1. 交错级数:或定理6 (莱布尼兹定理)若交错级数满足:则级数收敛,且其和 ,其证单调有界则同理交错级数例如收敛且S1如果则2. 绝对收敛与条件收敛对于一般的任意项级数考虑正项级数收敛,则绝对收敛收敛,而 发散,则条件收敛例如绝对收敛条件收敛定理7. 如果 绝对收敛,则 必收敛证设则由收敛知收敛而则收敛注意:(1) 逆命题不成立 (2) 如果用比值或根值审敛法判定 发散则 发散(证明略)例收敛收敛绝对收敛例对发散而发散对收敛条件收敛单调减少思考