第八章第八章 IIRIIR系统的设计系统的设计 IIRIIR系统的设计概述系统的设计概述 原型滤波器与模拟系统设计原型滤波器与模拟系统设计 模拟系统与数字系统的变换模拟系统与数字系统的变换数字信号处理数字信号处理 IIRIIR系统的表达与计算系统的表达与计算 冲激响应长度无限冲激响应长度无限, , 采用系统函数方式表采用系统函数方式表达，利用递归差分方程形式实现：达，利用递归差分方程形式实现：IIRIIR系统的硬件实现系统的硬件实现IIRIIR滤波器的特点滤波器的特点 N N阶系统具有阶系统具有N N个不在原点的极点，在设计同个不在原点的极点，在设计同样性能的滤波器时，样性能的滤波器时，IIRIIR滤波器的阶数通常低滤波器的阶数通常低于于FIRFIR滤波器，设计效率较高。滤波器，设计效率较高。 分母多项式系数不可能设置为对称，因此相分母多项式系数不可能设置为对称，因此相频特性通常无法控制为线性，只能针对幅频特频特性通常无法控制为线性，只能针对幅频特性进行设计。性进行设计。 设计目标幅频特性为：设计目标幅频特性为：1 1 将设计目标转换为模拟系统的幅频特性：将设计目标转换为模拟系统的幅频特性：2 2 设计满足要求的模拟系统：设计满足要求的模拟系统：3 3 将模拟系统转换为数字系统：将模拟系统转换为数字系统：模拟变换法基本设计思想模拟变换法基本设计思想IIRIIR滤波器的模拟变换法设计滤波器的模拟变换法设计问题：问题：如何设计模拟系统？如何设计模拟系统？如何将数字幅频特性转换为模拟幅频特性？如何将数字幅频特性转换为模拟幅频特性？如何将模拟系统转换为数字系统？如何将模拟系统转换为数字系统？模拟滤波器基本设计步骤模拟滤波器基本设计步骤将幅频特性的平方表达为将幅频特性的平方表达为2N2N阶多项式分式：阶多项式分式： 利用各种优化逼近设计方法，可以得到利用各种优化逼近设计方法，可以得到分式中的各优化系数。分式中的各优化系数。根据幅频特性平方与系统函数的关系：根据幅频特性平方与系统函数的关系：可将平方系统的系统函数表达为：可将平方系统的系统函数表达为：模拟滤波器基本设计步骤模拟滤波器基本设计步骤 和和 的零极点形成对称分布的零极点形成对称分布 模拟滤波器基本设计步骤模拟滤波器基本设计步骤 得到优化的多项式系数后，可以求解出得到优化的多项式系数后，可以求解出全部的零极点；全部的零极点； 选取虚轴左半的零极点就可以得到因果选取虚轴左半的零极点就可以得到因果稳定的系统函数。稳定的系统函数。模拟滤波器基本设计步骤模拟滤波器基本设计步骤第八章第八章 IIRIIR系统的设计系统的设计 IIR IIR系统的设计概述系统的设计概述 原型滤波器与模拟系统设计原型滤波器与模拟系统设计 模拟系统与数字系统的变换模拟系统与数字系统的变换数字信号处理数字信号处理 模拟原型滤波器模拟原型滤波器 当设计目标是对理想滤波器的逼近时，当设计目标是对理想滤波器的逼近时，通常可以采用原型滤波器进行变量代换设通常可以采用原型滤波器进行变量代换设计。计。原型滤波器定义：原型滤波器定义： 模拟低通滤波器，截止频率模拟低通滤波器，截止频率模拟原型滤波器：模拟原型滤波器： Butterworth最平坦滤波器最平坦滤波器对于任意阶数对于任意阶数N N，随频率增加，系统增益单调下降；随频率增加，系统增益单调下降；截止频率为截止频率为-3dB-3dB频率；频率；随着随着N N值增大，可以逼近理想滤波器。值增大，可以逼近理想滤波器。模拟原型滤波器：模拟原型滤波器： Butterworth由幅频特性平方可以求出平方系统的零极点：由幅频特性平方可以求出平方系统的零极点：模拟原型滤波器：模拟原型滤波器： Butterworth系统函数为：系统函数为：模拟原型滤波器：模拟原型滤波器： Butterworth z,p,kz,p,k=buttap(Nbuttap(N) ) 得出得出N N阶阶ButterworthButterworth原型滤波器的零点原型滤波器的零点z z（空向量），极点（空向量），极点p p向量和增益向量和增益k k（通常为（通常为1 1）；）；ButterworthButterworth原型滤波器的设计仿真原型滤波器的设计仿真 b,ab,a=zp2tf(z,p,k) =zp2tf(z,p,k) 根据零极点分布给出滤波器的系统函数：根据零极点分布给出滤波器的系统函数：对于对于ButterworthButterworth，b=1b=1； H,wH,w=freqs(b,afreqs(b,a) ) 根据模拟系统函数得出模拟频率响应。根据模拟系统函数得出模拟频率响应。ButterworthButterworth原型滤波器的设计仿真原型滤波器的设计仿真仿真函数的使用举例仿真函数的使用举例z,p,k=buttap(12);b,a=zp2tf(z,p,k);H,w=freqs(b,a);zplane(b,a);figure(2),plot(w,abs(H);axis(0,4,0,1.2);ButterworthButterworth原型滤波器的设计仿真原型滤波器的设计仿真仿真函数的使用举例仿真函数的使用举例ButterworthButterworth原型滤波器的设计仿真原型滤波器的设计仿真ButterworthButterworth低通滤波器设计低通滤波器设计 对原型滤波器进行变量代换，可以得到指对原型滤波器进行变量代换，可以得到指定截止频率的低通模拟滤波器：定截止频率的低通模拟滤波器：设计参数：设计参数： 滤波器阶数滤波器阶数 N N -3dB -3dB截止频率截止频率ButterworthButterworth低通滤波器设计低通滤波器设计考虑滤波器参数与设计指标之间的关系：考虑滤波器参数与设计指标之间的关系： 通带波动通带波动 通带截止频率通带截止频率 阻带波动阻带波动 阻带截止频率阻带截止频率 在通带和阻带的边缘，可以得到：在通带和阻带的边缘，可以得到：利用对数坐标，对纹波采用分贝为单位：利用对数坐标，对纹波采用分贝为单位： 对上式联立求解，可以得到滤波器最低阶对上式联立求解，可以得到滤波器最低阶数为：数为：ButterworthButterworth低通滤波器设计低通滤波器设计相关的相关的MATLABMATLAB函数函数N, wn = buttors(wp, ws, Rp, Rs, s) 给定滤波器的设计参数，上述函数可以求解出给定滤波器的设计参数，上述函数可以求解出butterworthbutterworth滤波器的最低阶数和滤波器的最低阶数和-3dB-3dB截止频率。截止频率。N N阶阶ChebyshevChebyshev多项式：多项式：模拟原型滤波器：模拟原型滤波器： Chebyshev 1没有零点，极点在单位圆内呈椭圆分布；没有零点，极点在单位圆内呈椭圆分布；通带为等纹波，阻带为单调变化；通带为等纹波，阻带为单调变化；模拟原型滤波器：模拟原型滤波器： Chebyshev 1 z,p,kz,p,k=cheb1ap(N,Rp) =cheb1ap(N,Rp) 给出通带波动为给出通带波动为RpRp（dBdB）的）的N N阶阶1 1型型ChebyshevChebyshev滤滤波器的零点波器的零点z z，极点，极点p p和增益和增益k k；z,p,k=cheb1ap(10,1);b,a=zp2tf(z,p,k);H,w=freqs(b,a);zplane(b,a);figure(2),plot(w,abs(H); axis(0,4,0,1.2);ChebyshevChebyshev 1 1型滤波器的设计仿真型滤波器的设计仿真ChebyshevChebyshev 1 1型低通滤波器的设计型低通滤波器的设计滤波器设计参数：滤波器设计参数：滤波器阶数滤波器阶数通带截止频率通带截止频率通带纹波参数通带纹波参数 可以直接代入频率响应表达式；可以直接代入频率响应表达式；利用通带波动指标确定纹波参数：利用通带波动指标确定纹波参数：利用阻带衰减和阻带截止频率确定滤波器最小阶数：利用阻带衰减和阻带截止频率确定滤波器最小阶数： ChebyshevChebyshev 1 1型低通滤波器的设计型低通滤波器的设计 确定频率响应函数后，利用平方系统函确定频率响应函数后，利用平方系统函数求系统极点：数求系统极点：ChebyshevChebyshev 1 1型低通滤波器的设计型低通滤波器的设计 利用左半平面的极点构建因果稳定的系利用左半平面的极点构建因果稳定的系统函数。统函数。 将将ChebyshevChebyshev 1 1型滤波器进行反转和变量型滤波器进行反转和变量代换得到。代换得到。模拟原型滤波器：模拟原型滤波器： Chebyshev 2阻带截止频率阻带截止频率阻带为等纹波，通带单调下降；阻带为等纹波，通带单调下降；模拟原型滤波器：模拟原型滤波器： Chebyshev 2系统极点分布与系统极点分布与1 1型呈倒数关系；型呈倒数关系；系统具有系统具有N N个零点分布在虚轴上；个零点分布在虚轴上；模拟原型滤波器：模拟原型滤波器： Chebyshev 2 z,p,kz,p,k=cheb2ap(N,Rs) =cheb2ap(N,Rs) 给出阻带波动为给出阻带波动为RsRs（dBdB）的）的N N阶阶2 2型型ChebyshevChebyshev滤波器滤波器的零点的零点z z，极点，极点p p和增益和增益k k；z,p,k=cheb2ap(10,25);b,a=zp2tf(z,p,k);H,w=freqs(b,a);zplane(b,a);figure(2),plot(w,abs(H),title(a); axis(0,4,0,1.2);ChebyshevChebyshev 2 2型滤波器的仿真型滤波器的仿真ChebyshevChebyshev 2 2型滤波器的仿真型滤波器的仿真为为ChebyshevChebyshev型滤波器的综合形式，采用等纹波逼近型滤波器的综合形式，采用等纹波逼近设计；设计；N N个极点分布在单位圆内，形成通带纹波；个极点分布在单位圆内，形成通带纹波；N N个零点分布在虚轴上，形成阻带纹波；个零点分布在虚轴上，形成阻带纹波；模拟原型滤波器：模拟原型滤波器：Elliptic z,p,kz,p,k=ellipap(N,Rp,Rsellipap(N,Rp,Rs) ) 给出通带波动给出通带波动RpRp、阻带波动、阻带波动RsRs的的N N阶阶Elliptic滤波器滤波器的零点的零点z z，极点，极点p p和增益和增益k k；z,p,k=ellipap(6,0.5,25);b,a=zp2tf(z,p,k);H,w=freqs(b,a);zplane(b,a);figure(2),plot(w,abs(H); axis(0,4,0,1.2);Elliptic滤波器的设计仿真滤波器的设计仿真Elliptic滤波器的设计仿真滤波器的设计仿真从原型到一般滤波器：变量代换从原型到一般滤波器：变量代换原型滤波器：低通，截止频率为原型滤波器：低通，截止频率为1 1；任何频率选择滤波器都可以通过频率变换由原型任何频率选择滤波器都可以通过频率变换由原型滤波器得到：滤波器得到：对频率响应函数，作变量代换：对频率响应函数，作变量代换：对系统函数，作变量代换：对系统函数，作变量代换： 常用变换关系举例常用变换关系举例原型到低通：原型到低通：原型到高通：原型到高通：原型到带通：原型到带通：原型到带阻：原型到带阻：模拟滤波器的模拟滤波器的MATLABMATLAB设计仿真函数设计仿真函数函数使用说明：函数使用说明：用于频率选择滤波器的设计；用于频率选择滤波器的设计；函数指定选用的原型；函数指定选用的原型；需要设置滤波器类型和各截止频率；需要设置滤波器类型和各截止频率；输出系统函数的分子输出系统函数的分子/ /分母多项式系数分母多项式系数b b和和a a。 设计仿真函数形式设计仿真函数形式 b,ab,a=butter(n,wp,sbutter(n,wp,s) ) n n阶阶ButterworthButterworth低通滤波器，低通滤波器，3dB3dB截止频率截止频率wpwp；ss代表模拟滤波器，若没有此标识则代表数字滤波器；代表模拟滤波器，若没有此标识则代表数字滤波器； b,ab,a=butter(n,wpl,wpu,sbutter(n,wpl,wpu,s) 2n2n阶阶ButterworthButterworth带通滤波器带通滤波器 b,ab,a=butter(n,wp,high,sbutter(n,wp,high,s) ) n n阶阶ButterworthButterworth高通滤波器，截止频率高通滤波器，截止频率wpwp； b,ab,a=butter(n,wpl,wpu,stop,sbutter(n,wpl,wpu,stop,s) 2n2n阶阶ButterworthButterworth带阻滤波器，带阻滤波器， 设计仿真函数形式设计仿真函数形式 b,ab,a=cheby1(n,Rp,wp,ftype,s)=cheby1(n,Rp,wp,ftype,s) n n阶或阶或2n2n阶阶Chebyshev1Chebyshev1型滤波器型滤波器 b,ab,a=cheby2(n,Rs,ws,ftype,s) =cheby2(n,Rs,ws,ftype,s) n n阶或阶或2n2n阶阶Chebyshev2Chebyshev2型滤波器；型滤波器； b,ab,a=ellip(n,Rp,Rs,wp,ftype,sellip(n,Rp,Rs,wp,ftype,s) ) n n阶或阶或2n2n阶阶Elliptic滤波器；滤波器； 设计仿真函数形式设计仿真函数形式b,a=ellip(8,1,40,350,550,s);H,w=freqs(b,a,5000);subplot(1,2,1),plot(w,20*log10(abs(H);axis(0,1000,-60,0);subplot(1,2,2),plot(w,20*log10(abs(H);axis(300,600,-1.5,0.5); 设计仿真函数设计仿真函数示例示例