1 非平稳金融时间序列模型非平稳金融时间序列模型 3.1 3.1 确定性趋势模型确定性趋势模型所谓确定性趋势，是指模型中含有明确的时间t变量，从而使得某一时序变量随着时间而明确地向上增长。最简单的线性确定性趋势模型可以写成(3.1)其中表示均值为0的平稳随机变量。对(3.1)两边同取期望，可得(3.2)(3.2)说明，只要系数不为0，则序列的均值随时间推移而不断增大。正因为这个特点，确定性趋势模型也称为“均值非平稳”过程图图3-1 3-1 中国真实中国真实GDPGDP美国真实美国真实GDPGDP美国真实GDP时序数据：1944年1季度2011年1季度3.2 3.2 随机性趋势模型随机性趋势模型3.2.1 3.2.1 随机趋势模型的基本定义随机趋势模型的基本定义考虑AR(1)模型： 其中 代表方差为 的白噪音过程。 将模型写成： 。如果假设初始观测值为 ，那么通过反复迭代可以得到： 这个表达式可以看成是一种随机常数项，由于每个随机扰动因子对 的条件均值的影响都是永久性的，所以这样的模型经常被称为随机趋势模型。3.2.2 3.2.2 随机游走模型随机游走模型实际上，模型(3.8)的形式就是一个随机游走过程。那么随机游走过程的特点有哪些呢？首先，从基本定义式可以看到，随机游走过程就是一个常数项为0并且自回归系数为1的AR（1）模型。进一步考察随机过程的均值和方差：根据自协方差的定义，有：进而，可以获得自相关函数的表达式：图图3-2 3-2 随机游走过程与随机游走过程与高持久性高持久性ARAR（1 1）比较）比较 3.2.3 3.2.3 带有截距项的随机游走模型带有截距项的随机游走模型如果现在假设模型(3.8)中增加了一个常数项，即(3.13)其它假设均不变。此时的模型称为带有截距项的随机游走过程RWD的均值、方差: RWD的自协方差: RWD的自相关函数: 图图3-3 3-3 带有截距项的带有截距项的随机游走过程随机游走过程RWDRWD的样本自相关函数的样本自相关函数 单位根检验法单位根检验法 4.14.1 DF DF单位根检验法单位根检验法 4.24.2 ADF ADF单位根检验法单位根检验法 4.14.1 DF DF单位根检验法单位根检验法4.1.14.1.1 DF DF检验的基本概念检验的基本概念23在原假设条件下，序列是非平稳的，所以传统的t-检验统计量将不再服从t分布。这样，传统的t-检验使用的临界值就是无效的。DF检验的三种情况: 在原假设条件下, 情况I:随机游走过程； 情况II:带有截距项的随机游走过程； 情况III:既带有截距项又带有时间趋 势的随机游走过程。 4.1.24.1.2 DF DF检验的三种情况检验的三种情况 1）情况 III情况IIIIII用来检验的原假设是随机游走过程而备择假设是趋势平稳过程。 2）情况II原假设是模型为随机游走过程。 如果待检验序列的均值不为0，并且不随时间变化，则可以考虑使用情况IIIIII来进行DF检验。 3)情况I 情况I是情况II的一种特殊情况，即截距项为0。在这种情况下，原假设和备择假设与情况IIII的完全相同。 但是，由于没有截距项的模型暗示 序列的均值为0，而这样的情况往往比较少，因此在实际应用中并不建议使用情况I I。4.24.2 ADF ADF单位根检验法单位根检验法4.2.14.2.1 ADF ADF检验介绍检验介绍ADF检验，全称为Augmented Dickey-Fuller检验，是DF检验的拓展。因为在DF检验中，所有情况对应的模型都是AR（1）的形式，而没有考虑高阶AR模型。ADF检验将DF检验从AR（1）拓展到一般的AR(p)形式。经常被称为ADF形式，因为这种表达方程式被用在ADF检验当中。更一般地， 相对于情况III的ADF模型： 4.2.24.2.2 ADF ADF检验的应用检验的应用 利用ADF的两种情况（II和III）分析上海证券综合指数（取自然对数）月度数据是否含有单位根 。 下图绘制了这个时序变量随时间变动的情况。从图中并不能清楚地判断改序列是否存在一个确定性的趋势。因此，我们可以分别使用情况II和III进行ADF单位根检验。图图4-24-2 上海证券上海证券综合指数（取自然对数）综合指数（取自然对数）假定表示取自然对数的中国国际股票价格指数，情况II: 情况III: 要设立这两种情况下分别对应的滞后期数，可以利用信息准则，如AIC或者SIC等。由于是月度数据，可以考虑设定最大的滞后期数为12，然后依据信息准则确定最优滞后期数。图图4-34-3 EViewsEViews中的中的 ADFADF检验对话框检验对话框表表4-14-1 上海证券综合指数序列的上海证券综合指数序列的ADFADF检验结果：情况检验结果：情况IIII表表4-24-2中国国际股票价格序列的中国国际股票价格序列的ADFADF检验结果：情况检验结果：情况IIIIII 4.34.3 其他单位根检验法其他单位根检验法 除了ADF单位根检验之外，成熟的单位根检验理论方法还包括ERS- -DFGLS检验、Phillips-Perron检验、KPSS检验、ERS Point-Optimal检验和Ng-Perron检验等。 5 5.1.1 协整与误差修正模型的基本概念协整与误差修正模型的基本概念 协整分析是基于非平稳序列基础之上的，而利用非平稳序列进行回归，经常会出现伪回归现象。而另外一种情况却是更具有应用价值的协整关系。 5 5.1.1.1.1 伪回归伪回归对于经典线性回归模型，如： （5 5.1） 除了对随机扰动项的独立一致性分布要求之外，一般都要求回归变量 和 为平稳时间序列。 伪回归（spurious regression） ，就是指变量之间本来并不存在真正的关系，而是由于变量都是趋势（非平稳）序列造成的虚假显著性关系。 在介绍伪回归概念的时候，一般都使用非平稳序列回归来进行演示。我们这里使用计算机模拟生成两个观测值为241个的带截距项的随机游走序列: (5 5.2) 其中： 表示服从正态一致性分布、均值为0、方差为1的随机扰动项。 图图5 5-1-1模型（模型（5 5.2.2）随机生）随机生成的带截距项的随成的带截距项的随机游走过程机游走过程表表5 5-1-1伪回归估计结果伪回归估计结果DependentVariable:yMethod:LeastSquaresIncludedobservations:241CoefficientStd.Errort-StatisticProb.X1.3643660.00415192.31420.0000C-18.692111.093446-14.089990.0000R-squared0.993549 Meandependentvar166.9619AdjustedR-squared0.993553 S.D.dependentvar99.40280S.E.ofregression4.981644 Akaikeinfocriterion4.000438Sumsquaredresid15226.01 Schwarzcriterion4.029358Loglikelihood-841.5528 Hannan-Quinncriter.4.012089F-statistic36984.45 Durbin-Watsonstat0.045134Prob(F-statistic)0.000000 随机生成的这两个变量，虽然并没有什么经济理论能够说明它们之间存在一定的联系，但回归估计结果却显示，模型中的系数都具有统计显著性，说明二者存在显著的线性关系。并且，表9-1中的回归结果还显示，模型拟合得几近完美， 高达0.99，而DW统计量又非常小，只有0.045！这是典型的伪回归特征。但是，并不是所有非平稳序列之间都没有一定的联系，有一种特殊情况，即非平稳时间序列的线性组合是平稳序列，这个时候，我们说这些非平稳时间序列之间存在长期的均衡关系，这就是协整关系。协整关系与伪回归不同，因为协整刻画了确实存在内在联系的经济变量之间的长期关系。5.1.2.1.2 协整的基本概念协整的基本概念 对于多个非平稳时间序列，有一种特殊的情况，就是由这几个非平稳时间序列变量的线性组合形成的变量，是平稳的序列。在这种情况下，我们说这些非平稳时间序列存在协整关系。 假定我们研究两个时间序列变量，分别为 和 ，而且这两个变量都是一阶单整过程，即I(1)过程。如果 和 的一个线性组合，如 ，构成了一个平稳的时间序列，那么我们说 和 具有协整关系，并且协整向量为 。 协整定义的更一般的陈述形式： 如果两个或多个一阶单整变量的线性组合是平稳时间序列，那么这些变量存在协整关系，而对应的刻画这种关系的系数向量称为协整向量。 如果m个变量存在协整关系，那么它们之间的长期均衡关系就可以表示成：(5 5.4)或者写成矩阵的形式，即： (5 5.8) 其中：如果出现偏离这种长期关系时，就会出现所谓的“均衡误差”，即： (5 5.9) 5 5.1.3.1.3 误差修正模型误差修正模型 (5 5.11) 模型系统(5 5.11)就是最简单形式的误差修正模型。因为ECM刻画的是系统内变量的动态变化（差分形式）对出现偏离均衡状态的误差的反应 ，所以在ECM模型中，变量以差分形式出现。如果考虑到各个变量的滞后项对当期值的影响，模型(5 5.11)对应的更一般的ECM形式是： （5 5.12）其中的滞后算子多项式定义为： 和 对于n个非平稳序列的误差修正模型，可以直观地进行拓展。如果将n个变量写成矩阵的形式，即： （5 5.13）类似地，将涉及的扰动项和系数等均表示成矩阵的形式，那么，向量形式的误差修正模型可以写成： （5 5.14）5 5.2.2 Engle-Granger Engle-Granger 协整分析方法协整分析方法5 5.2.1.2.1 Engle-Granger Engle-Granger协整分析的步骤协整分析的步骤 为方便理解，以两个变量为例。 第1步：变量的（非）平稳性检验。使用单位根检验方法检验研究的变量是否为非平稳序列。注意，协整关系的前提是分析具有相同阶数的单整过程变量的线性组合关系。 第2步：假设第1步中的检验结果表明两个变量为同阶的非平稳序列，则对这两个变量进行回归，并且获得OLS回归的系数估计值，并且保存残差序列 。 第3步：利用特殊的检验临界值来检验残差序列是否为平稳序列。这一步是对上一步保存的残差序列进行单位根检验。表表5-55-5 Engle-Granger Engle-Granger 协整协整检验中残差序列单检验中残差序列单位根检验临界值位根检验临界值nT1552504.1233.4613.130504.0083.3983.0842003.9543.3683.0645003.9213.3503.054无穷大3.903.343.043504.5923.9153.548504.4413.8283.5142004.3683.4853.4835004.3263.4603.464无穷大4.293.443.454505.0144.3243.949504.8244.253.8952004.4344.1543.8535004.6844.1223.828无穷大4.644.53.815505.4164.4004.348505.1844.5544.2402005.0404.4844.1865005.0034.4464.154无穷大4.964.424.13 第4步：设立并估计误差修正模型。在第3步的基础上，如果判定了协整关系的存在，则设立并估计下面的ECM模型： （5.18） 其中： 第5步：诊断检验并解释实证结果。在协整检验和ECM估计滞后，最后就需要运用相关的诊断检验进一步验证误差修正模型是否完备，如各个滞后项的滞后期数是否合理等。同时，研究人员要对整个协整分析的结果进行综合解释，如果有可能，最好给出含义分析。 图图5 5-4-4 Engle-Granger Engle-Granger协整分析法流程图协整分析法流程图如果以下条件满足，则向量为具有(d,b)阶的协整向量，记做 。这些条件是： 1） 所有组成元素具有相同的大于0的单整阶数d0。 2）存在一协整向量 ，使得线性组合 具有 单整性质。5 5.2.2.2.2 Engle-Granger Engle-Granger协整分析方法的应用协整分析方法的应用这里，我们研究一个实际的例子，就是国际金融学中非常著名的购买力平价理论。假设我们研究的母国和外国分别为美国和英国，我们利用美国和英国的月度物价指数和美元/英镑的汇率数据，样本区间为1988M01-2004M03。图5 5-5-5 美元美元/英镑汇率和英镑汇率和各自国家的消费者各自国家的消费者价格指数（自然对价格指数（自然对数）数） 长期购买力平价理论（Long-run PPP）要求真实汇率为平稳时间序列，而真实汇率 可以写成： (5.20) 现在，我们可以利用Engle-Granger协整分析法检验Long-run PPP是否成立。各个变量均为自然对数形式，所以可以构造一个序列 ，用来表示英国物价的美元价值。 然后，考查下列均衡关系： (5.21) 如果能验证 ，并且 为平稳时间序列，则问题得到验证。 可以看出，这是一个典型的长期均衡问题，即协整关系问题。根据设计，我们构造了序列 ，构造出来的变量图示描绘在图5-6中。图图5-6-6英国物价的英国物价的美元价值美元价值nexnex变量时序图变量时序图 接下来，我们利用Engle-Granger协整分析方法，以回归方程（5.21）为基础考查了此例中的协整关系问题。 第一，对 和 进行了ADF单位根检验，结果归纳在表5-6中。从单位根检验的结果可以看到，两个变量分别进行的单位根检验统计量对应的p-值都远大于5，所以可以判断者两个变量为I(1)序列。表表5-65-6 变量变量 和和 的的ADFADF单位根检验结果单位根检验结果 第二，我们运用OLS对模型(5.21)进行回归估计，并且将回归估计的结果报告在表5-4中，同时将获得的残差序列保持下来，其时序图描绘在图5-4中。表表5-45-4 模型（模型（5.215.21）的）的OLSOLS回归估计结回归估计结果果图图5-45-4 模型模型(5.21(5.21) )回归后的残差序列回归后的残差序列 第三，我们对残差序列进行ADF单位根检验，并使用表5-5中归纳的Engle-Granger协整分析中特殊的ADF单位根检验临界值，来判断残差序列是否具有单位根。 表表5-85-8 模型模型(5.21(5.21) )对应的残差项单位根检验结果对应的残差项单位根检验结果