概率论与数理统计概率论与数理统计 （5454学时）学时）开课系：信管系教师：张艳娥Email:zhyanesina.com在生活当中，经常会接触到在生活当中，经常会接触到一一些些现象现象：确定性现象：确定性现象：在大量重复实验中其结果又具有在大量重复实验中其结果又具有统计规律性统计规律性的现象。的现象。随机现象：随机现象：在一定条件下必然发生的现象。在一定条件下必然发生的现象。在个别实验中其结果呈现出在个别实验中其结果呈现出不确定性不确定性；概率论与数理统计概率论与数理统计 在在经济、科技、教育、管理和经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。军事等方面已得到广泛应用。 概率论与数理统计概率论与数理统计 已成为高等理、工科院已成为高等理、工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。校教学计划中一门重要的公共基础课。 通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。决实际问题的能力。退 出目 录前一页后一页课程主要内容课程主要内容：n概率论的基本概念概率论的基本概念n随机变量及其分布随机变量及其分布n多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布n随机变量的数字特征随机变量的数字特征n大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理n样本及抽样分布样本及抽样分布n参数估计参数估计n假设检验假设检验退 出目 录前一页后一页 这里试验的含义十分广泛，它包这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。事物的某一特征的观察。 第一章 概率论的基本概念1 随机试验退 出前一页后一页目 录退 出前一页后一页目 录 E1：抛一枚硬币两次，观察正面抛一枚硬币两次，观察正面H（Heads）、）、反面反面T （Tails）出现的情况。出现的情况。 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。抛一颗骰子，观察出现的点数。E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E4：观察某一电子元件（如灯泡观察某一电子元件（如灯泡的寿命。的寿命。 其典型的例子有其典型的例子有E5：观察某城市居民（以户为单位观察某城市居民（以户为单位烟酒年支出烟酒年支出。第一章 概率论的基本概念3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 试验的所有可能结果；试验的所有可能结果；1. 可以在相同的条件下重复进行；可以在相同的条件下重复进行； 我们把满足上述三个条件的试验称为随机我们把满足上述三个条件的试验称为随机试验。记为试验。记为E退 出前一页后一页目 录 一一 样本空间样本空间二二 随机事件随机事件三三 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 2 样本空间，随机事件样本空间，随机事件第一章 概率论的基本概念退 出目 录前一页后一页2 样本空间随机事件样本空间随机事件E1： S1 H H, HT，TH，TT E2 ：S2 1, 2, 3, 4, 5, 6 E3： S3 0,1,2,3E4： S4 t | t 0 E5： S5 ( x , y ) | M0 x , y M1 第一章 概率论的基本概念要求：会写出随机试验的要求：会写出随机试验的 样本空间样本空间。退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件退 出前一页后一页目 录E4：如果试验是如果试验是测试某灯泡的寿命：测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，可能结果， S 4： = t ：t 0故样本空间故样本空间2 样本空间随机事件样本空间随机事件退 出前一页后一页目 录E5： 调查城市居民（以户为单位）烟、调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数分别是烟、酒年支出的元数. 也可以按某种标准把支出分为高、也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档中、低三档. 这时，这时，样本点有（高样本点有（高,高）高）,（高（高,中），中），(低低,低）等低）等9种，样本种，样本空间就由这空间就由这9个样本点构成个样本点构成 .这时，样本空间由坐标平这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内面第一象限内一定区域内一切点构成一切点构成 .我们称一个我们称一个随机事件发生随机事件发生当且仅当当且仅当它所包它所包含的一个样本点含的一个样本点在试验中在试验中出现。出现。第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件退 出前一页后一页目 录两个特殊的事件：两个特殊的事件：必件然事例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“ 掷出点数小于掷出点数小于7”是必然事件是必然事件;即在试验中必定发生的事件，即样本空间即在试验中必定发生的事件，即样本空间 常用常用S或或表示表示; 不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件，即在一次试验中不可能发生的事件，常用常用表示表示 .而而“ 掷出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件.退 出前一页后一页目 录事件事件基本事件基本事件复合事件复合事件（相对于观察目的相对于观察目的不不 可再分解的事件可再分解的事件）（两个或一些基本事件并在一（两个或一些基本事件并在一起，就起，就 构成一个复合事件）构成一个复合事件）事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中，如在掷骰子试验中，观察掷出的点数观察掷出的点数 . 事件事件 Ai =掷出掷出i点点 i =1,2,3,4,5,6第一章 概率论的基本概念事件事件 A=2,4,6 表示表示 “ 出现偶数点出现偶数点”;事件事件 B=1,2,3,4 表示表示 “ 出现的点数不超过出现的点数不超过4”.显然它们都是样本空间的子集显然它们都是样本空间的子集退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件1) 包含关系包含关系 三三 、 事件间的关系与运算事件间的关系与运算SAB第一章 概率论的基本概念如果如果A发生必导致发生必导致B发生，则发生，则2）相等关系）相等关系 退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件SAB3) 和（并）事件和（并）事件 第一章 概率论的基本概念事件事件 发生当且仅当发生当且仅当 A, B 至少发生一个至少发生一个 . 退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件第一章 概率论的基本概念4) 积（交）事件积（交）事件SAB事件事件 发生当且仅当发生当且仅当 A , B 同时发生同时发生.退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件第一章 概率论的基本概念考察下列事件间的包含关系：考察下列事件间的包含关系：退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件 5) 差事件差事件SAB第一章 概率论的基本概念ASAB 发生当且仅当发生当且仅当 A 发生发生 B 不发生不发生.退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件SA第一章 概率论的基本概念SBA请请注意互不相容与对立事件的区别！注意互不相容与对立事件的区别！退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件退 出前一页后一页目 录 互斥与互逆的区别：互斥与互逆的区别： 两事件两事件A、B互斥：互斥：两事件两事件A、B互逆或互为对立事件互逆或互为对立事件即即A与与B不可能同时发生不可能同时发生.除要求除要求A、B互斥互斥( )外外，还要求还要求 A+B=S退 出前一页后一页目 录 n个事件互斥与个事件互斥与 两两互斥：两两互斥： 若若n个事件个事件A1，A2， ，An中任意两中任意两个事件都互斥个事件都互斥,则称这则称这n个事件互斥个事件互斥. 所以，若所以，若n个事件互斥，则其中任个事件互斥，则其中任意两个事件都互斥意两个事件都互斥.退 出前一页后一页目 录 对于一个具体事件，要学会用数学符对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么件，要清楚其具体含义是什么.也就是说，要正确无误地也就是说，要正确无误地“互译互译”出来出来.退 出前一页后一页目 录 例例1：从一批产品中任取两件，观察合格品：从一批产品中任取两件，观察合格品的情况的情况. 记记 A=两件产品都是合格品两件产品都是合格品， 若记若记 Bi =取出的第取出的第 i 件是合格品件是合格品，i=1,2=两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品 A=B1B2 问如何用问如何用 Bi 表示表示A和和 ？ A3 A4 A3 A4 如图(1)、(2)两个系统中令Ai表示第i个元件工作正常”, Bi表示“第i个系统工作正常”.试用A1, A2 , A3 , A4表示B1, B2. 解: (1) B1 = A1A2A3 A4 (2) B2 = (A1A3)( A2A4)EX2 (1) A1 A2 (2) A1 A2 第一章 概率论的基本概念例例2，在在S4 中中事件事件 A=t|t 1000 表示表示 “产品是次品产品是次品” 事件事件 B=t|t 1000 表示表示 “产品是合格品产品是合格品” 事件事件 C=t|t 1500 表示表示“产品是一级品产品是一级品”则则表示表示 “产品是合格品但不是一级品产品是合格品但不是一级品”; 表示表示 “产品是是一级品产品是是一级品” ;表示表示 “产品是合格品产品是合格品”.退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件8) 随机事件的运算规律随机事件的运算规律幂等律幂等律: :交换律交换律: :第一章 概率论的基本概念 结合律结合律: :分配律分配律: : De MorganDe Morgan（德（德摩根）定律摩根）定律: :退 出前一页后一页目 录退 出前一页后一页目 录补充常用的关系及习题补充常用的关系及习题1.甲，乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情况。甲，乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情况。设设A甲中甲中，B乙中乙中，问，问 各表各表示什么事件示什么事件? 是否是相等事件？是否是相等事件？2.一射手向目标射击一射手向目标射击3发子弹，发子弹，Ai表示第次射击打中表示第次射击打中目标（目标（i1，2，3。试用试用A1，A2，A3及其运算表示下列及其运算表示下列事件事件（1 三发子弹都打中目标三发子弹都打中目标B （2第一发子弹打中目标而第二，第三发第一发子弹打中目标而第二，第三发 子弹都未打中子弹都未打中C（3三发子弹恰有一发打中目标三发子弹恰有一发打中目标D（4三发子弹至少一发打中目标三发子弹至少一发打中目标E （5三发子弹至多一发打中目标三发子弹至多一发打中目标F解解: BA1A2A3C= A1A2A3A1(A2A3) A123wDA1A2A3 = S-123 =w=A11A212A3wE = A1231A2312A3wG= A1A2A31A2A3A12A3A1A23 w = A1A2A2A3A1A3 F=1 21 32 3 =A1 2 31A2 31 2 A31 2 3 第一章 概率论的基本概念练习练习P29：设设 A, B, C 为三个随机事件，用为三个随机事件，用A, B, C 的运的运 算关系表示下列各事件算关系表示下列各事件.（1）A 发生发生.(2) A 发生，发生，B 与与 C 都不发生都不发生.(3) A ,B , C 都发生都发生.(4) A ，B , C 至少有一个发生至少有一个发生.退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件第一章 概率论的基本概念(5) A ，B , C 都不发生都不发生.(6) A ，B , C 不多于一个发生不多于一个发生.(7) A ，B , C 不多于两个发生不多于两个发生.(8) A ，B , C 至少有两个发生至少有两个发生.退 出前一页后一页目 录2 样本空间随机事件样本空间随机事件3 频频 率率 与与 概概 率率一一 频率的定义和性质频率的定义和性质 定义定义: 在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n 次试验，次试验， 在这在这 n 次试验中，事件次试验中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为称为 事件事件 A 发生的频数。比值发生的频数。比值 n A / n 称为事件称为事件 A 发生的频率，并记成发生的频率，并记成 fn(A) 。第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念 它具有下述性质它具有下述性质:3 频频 率率 与与 概概 率率退 出前一页后一页目 录退 出前一页后一页第一章 概率论的基本概念目 录 在充分多次试验中，事件的频率总在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，越多，一般来说一般来说摆动越小摆动越小. 这个性质叫这个性质叫做频率的稳定性做频率的稳定性.请看下面的试验请看下面的试验（二（二 ） 频率的稳定性频率的稳定性3 频频 率率 与与 概概 率率 实实 验验 者者 德德摩根摩根 蒲蒲 丰丰K 皮尔逊皮尔逊K 皮尔逊皮尔逊 n nH fn(H) 2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.5005第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录3 频频 率率 与与 概概 率率退 出前一页后一页第一章 概率论的基本概念目 录3 频频 率率 与与 概概 率率退 出前一页后一页第一章 概率论的基本概念目 录 频率在一定程度上反映了事件发生的频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小可能性大小. 尽管每进行一连串（尽管每进行一连串（n次）试次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的相当大，频率与概率是会非常接近的. 因此，因此，概率是可以通过频率来概率是可以通过频率来“测量测量”的的, 频率是概率的一个近似频率是概率的一个近似.频率频率概率概率3 频频 率率 与与 概概 率率频频 率率 稳稳 定定 值值 概率概率 事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质频率的性质概率的公理化定义概率的公理化定义第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录3 频频 率率 与与 概概 率率退 出前一页后一页第一章 概率论的基本概念目 录 即即通过规定概率应具备的通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义. 1933年，前苏联数学家柯年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的尔莫哥洛夫给出了概率的公理公理化定义化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单， 但在此基础上建立起了概率论但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.3 频频 率率 与与 概概 率率（三）概率的定义（三）概率的定义定义定义 设设 E 是随机试验，是随机试验，S 是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于 E 的每一个事件的每一个事件 A 赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件称为事件 A 的概率，要求集合函数的概率，要求集合函数 P( . ) 满足满足下列条件下列条件： 第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录退 出前一页后一页第一章 概率论的基本概念目 录 由概率的三条公理，我们可以推导由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质出概率的若干性质. 下面我们就来给出下面我们就来给出概率的一些简单性质概率的一些简单性质. 在说明这些性质时，为了便于理在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于解，我们常常借助于文氏图文氏图.3 频频 率率 与与 概概 率率4 ） 概率的性质与推广概率的性质与推广SAB第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录3 频频 率率 与与 概概 率率退 出前一页后一页第一章 概率论的基本概念2等可能概型等可能概型目 录移项得移项得(6),便得便得(7) .再由再由由可加性由可加性 性质性质3 设设、B是两个事件，若是两个事件，若 , 则则 有有 (6) (7)SA第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录因为因为1=P(S)=P(A)+P( )3 频频 率率 与与 概概 率率性质性质5在概率的计算上很有用，如果正面在概率的计算上很有用，如果正面计算事件计算事件A的概率不容易，而计算其对立的概率不容易，而计算其对立事件事件 的概率较易时，可以先计算的概率较易时，可以先计算 ，再计，再计算算P(A).退 出前一页后一页第一章 概率论的基本概念目 录3 频频 率率 与与 概概 率率退 出前一页后一页第一章 概率论的基本概念目 录 又因又因再由性质再由性质 3便得便得 (8) . 性质性质6对任意两个事件对任意两个事件A、B，有有 (8)3 频频 率率 与与 概概 率率SBA第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录3 频频 率率 与与 概概 率率性质性质 9第一章 概率论的基本概念要求：熟练掌握概率的性质。要求：熟练掌握概率的性质。退 出前一页后一页目 录3 频频 率率 与与 概概 率率第一章 概率论的基本概念退 出前一页后一页目 录例1：设P(A)=1/3,P(B)=1/21)若事件A与B互不相容，求P( )2)若 , 求P( )3若P(AB)=1/8,求P( )例2：A，B是E中两个事件，已知P(A)=0.3,P(A+B)=0.6, 求 P( )3 频频 率率 与与 概概 率率第一章 概率论的基本概念1）加法原理：）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有种，第二类有m种，则完成这件事共有种，则完成这件事共有n+m种方法。种方法。3） 排列：排列：(1)有重复排列有重复排列:在有放回选取中，从在有放回选取中，从n个不同元素中个不同元素中取取r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。四、排列组合公式四、排列组合公式2）乘法原理：）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有nm种方法。种方法。退 出前一页后一页目 录3 频频 率率 与与 概概 率率第一章 概率论的基本概念 4）组合：）组合：（1）从）从 n 个不同元素中取个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为虑其顺序，称为组合，其总数为 （2）选排列：在无放回选取中，从）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中个不同元素中取取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为个元素进行排列，称为选排列，其总数为 说明说明 ：如果把如果把 n 个不同元素分成两组，一组个不同元素分成两组，一组r个，个，另一组另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同分个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有法有 种。种。退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念（2）多组组合：把）多组组合：把n个不同元素分成个不同元素分成k组组 ,使第使第 组有组有 个元素，个元素， ，若组内元素不考，若组内元素不考虑顺序，那么不同分法有虑顺序，那么不同分法有 种。种。（3）常用组合公式：）常用组合公式：说明：说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的退 出前一页后一页目 录4 等可能概型等可能概型等可能概型（古典概型）第一章 概率论的基本概念 生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个；样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。每个基本事件发生的可能性相同。 即即“ 有限等可能有限等可能”。 一、一、 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 我们把这类实验称为我们把这类实验称为等可能概型等可能概型，考虑到它在概，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型古典概型。第一章 概率论的基本概念4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录设设 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，由古典概型的等可能性，得得.21ne=PePePL=又由于基本事件两两互不相容；所以又由于基本事件两两互不相容；所以第一章 概率论的基本概念4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录若事件若事件 A 包含包含 k 个基本事件，即个基本事件，即 A =e1, e2, ek , 则有则有 ： 第一章 概率论的基本概念4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录 例例 1 把一套把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：卷本的书随机地摆放在书架上，问： 恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？ 解：解：第一章 概率论的基本概念4等可能概型等可能概型将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一个基本事件，共有放法个基本事件，共有放法4！种。！种。把书恰好排成序有两种放法。把书恰好排成序有两种放法。所以，所求概率为所以，所求概率为退 出前一页后一页目 录 例例 2 （分球入盒）（分球入盒） 将将 n 只球随机的放入只球随机的放入 N (N n) 个个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子设盒子的容量不限）。的容量不限）。解：解： 将将 n 只球放入只球放入 N 个盒子中去个盒子中去, 共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至多放一只球, 共有共有第一章 概率论的基本概念思考：思考：某指定的某指定的n 个个盒子中各有一球的概率。盒子中各有一球的概率。4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录退 出前一页后一页4等可能概型等可能概型目 录例例3 （生日问题）（生日问题） 有有r 个人，设每个人的生个人，设每个人的生日是日是365天的任何一天是等可能的，试求事天的任何一天是等可能的，试求事件件“至少有两人同生日至少有两人同生日”的概率的概率. rrPAP)365()(365=rrPAPAP)365(1)(1)(365-=-=为求为求P(A), 先求先求P( )解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人同生日 = r 个人的生日都不同个人的生日都不同则则退 出前一页后一页第一章 概率论的基本概念2等可能概型等可能概型目 录用上面的公式可以计算此事出现的概率为用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1- -0.524=0.476 美美国国数数学学家家伯伯格格米米尼尼曾曾经经做做过过一一个个别别开开生生面面的的实实验验，在在一一个个盛盛况况空空前前、人人山山人人海海的的世世界界杯杯足足球球赛赛赛赛场场上上，他他随随机机地地在在某某号号看看台台上上召召唤唤了了22个个球球迷迷，请请他他们们分分别别写写下下自自己己的的生生日日，结结果果竟竟发发现现其其中中有两人同生日有两人同生日.即即22个球迷中至少有两人同生日的概率个球迷中至少有两人同生日的概率为为0.476.退 出前一页后一页4等可能概型等可能概型目 录 表表 3.1 人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在假定所有这些概率都是在假定一个人的生日在一个人的生日在 365天的任天的任何一天是等可能的前提下计何一天是等可能的前提下计算出来的算出来的. 实际上实际上,这个假这个假定并不完全成立，有关的实定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过当人数超过23时，打赌说时，打赌说至少有两人同生日是有利的至少有两人同生日是有利的.（分组问题）（分组问题）例例4：30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均名学生平均分成分成3组，求：组，求：（1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。解解:设设A为为“每组有一名运动员每组有一名运动员”这一事件这一事件;B为为 “3名名运动员集中在一组运动员集中在一组”这一事件这一事件。例例*同时掷同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：颗骰子，试求下列事件的概率： A = 5 颗骰子不同点颗骰子不同点 ； B = 5 颗骰子恰有颗骰子恰有 2 颗同点颗同点 ； C = 5 颗骰子中有颗骰子中有 2 颗同点，另外颗同点，另外 3 颗颗 同是另一个点数同是另一个点数第一章 概率论的基本概念4等可能概型等可能概型解：解：退 出前一页后一页目 录第一章 概率论的基本概念等可能概型4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录古典概率的常用的几种类型古典概率的常用的几种类型：1 抽球问题2 分球入盒问题3 分组问题4 随机取数问题等退 出前一页后一页目 录例例 5 5（抽球问题）（抽球问题）设有设有1010件产品，其中有件产品，其中有4 4件次品，从件次品，从中任取中任取3 3件，每次取一件不放回，连取三次；求下列事件，每次取一件不放回，连取三次；求下列事件的概率：件的概率：A A: : 所取所取3 3件均为正品；件均为正品； B B: 3: 3件均为次品；件均为次品；C C :3 :3件中恰有一件为次品；件中恰有一件为次品；D D: : 直到第直到第3 3次才取到正品。次才取到正品。n解解: :. .不考虑所取不考虑所取3 3件的次序，可能结果为组合问题得件的次序，可能结果为组合问题得样本空间样本点数样本空间样本点数: : n=Cn=C10103 3 n所取所取3 3均为正品的样本点数：均为正品的样本点数：m m A A=C=C6 63 3 n所取所取3 3件均为次品的样本点数件均为次品的样本点数: : m m B B=C=C4 43 3 n m m C C= C= C3 31 1C C6 62 2C C4 41 1 n m m D D= =4 43 36 6 = =7272n则则P P( (A A)=)=1 1/ /6 ,6 ,P P( (B B)=)=1 1/ /30 30 ，P P( (C C)=)=3 3/ /5 5 ，P P( (D D)=)=1 1/ /1010 例例6 设有设有 N 件产品，其中有件产品，其中有 M 件次品，今从中任件次品，今从中任取取 n 件，问其中恰有件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品件次品的概率是多少的概率是多少?又又 在在 M 件次品中取件次品中取 k 件，所有可能的取法有件，所有可能的取法有 在在 N-M 件正品中取件正品中取 n-k 件件, 所有可能的取法有所有可能的取法有 解：解：在在 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽样不放回抽样1）第一章 概率论的基本概念等可能概型4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录于是所求的概率为：于是所求的概率为：此式即为此式即为超几何分布超几何分布的概率公式。的概率公式。由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有 第一章 概率论的基本概念等可能概型4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录2） 有放回抽样有放回抽样而在而在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k 件次品的件次品的取法共有取法共有 于是所求的概率为：于是所求的概率为：从从 N 件产品中有放回地抽取件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，件产品进行排列，可能的排列数为可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事个，将每一排列看作基本事件，总数为件，总数为 。此式即为此式即为二项分布二项分布的概率公式。的概率公式。第一章 概率论的基本概念等可能概型4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录 例例 7 某厂家称一批数量为某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率件的产品的次品率为为5%。现从该批产品中有放回地抽取了。现从该批产品中有放回地抽取了30件，经件，经检验发现有次品检验发现有次品5件，问该厂家是否谎报了次品率件，问该厂家是否谎报了次品率？解：解：第一章 概率论的基本概念4等可能概型等可能概型 假设这批产品的次品率为假设这批产品的次品率为5%，那么，那么1000件产品件产品中有次品为中有次品为50件。这时有放回地抽取件。这时有放回地抽取30件，次品有件，次品有5件的概率为件的概率为退 出前一页后一页目 录人们在长期的实践中总结得到人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的在一次实验中几乎是不发生的”（称之为称之为实际推实际推断原理断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。第一章 概率论的基本概念等可能概型4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录例例 将将 n个男生和个男生和m个女生个女生(mn) 随机地排成一列随机地排成一列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？ 解：解：第一章 概率论的基本概念4等可能概型等可能概型任意两个女生都不相邻时，任意两个女生都不相邻时， 首先首先n个男生的排法有个男生的排法有n!种，种，每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队列两侧各有一个位置可以站女生，这样队列两侧各有一个位置可以站女生，这样m个女生个女生共有共有n+1个位置可以站，个位置可以站，所以，所以，任意两个女生都不相邻这一事件的概率为任意两个女生都不相邻这一事件的概率为n+m个学生随机地排成一列共有排法个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种种总共排法有总共排法有 种。种。退 出前一页后一页目 录思考题：思考题：如果这如果这n+m个学生不是排成一列，而是排个学生不是排成一列，而是排成一个圆状，首尾相接，这时，成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生都不任意两个女生都不相邻的概率是多少？相邻的概率是多少？ 第一章 概率论的基本概念4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录 例例 8 袋中有袋中有 a只白球，只白球，b 只黑球从中将球取出只黑球从中将球取出 依次排成一列，问第依次排成一列，问第 k 次取出的球是黑球的次取出的球是黑球的 概率概率 解：解： 设设 A=“第第 k 次取出的球是黑球次取出的球是黑球”第一章 概率论的基本概念4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录退 出前一页后一页4等可能概型等可能概型目 录例例9 将一颗骰子抛掷将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次次，问至少出一次“ 6”点的概率是多少？点的概率是多少？令令 事件事件A=至少出一次至少出一次“ 6”点点A发生发生出出1次次 6点点出出2次次“6”点点出出3次次“6”点点出出4次次“6”点点直接计算直接计算A的概率较麻烦的概率较麻烦, 我们先来计算我们先来计算A的对立事件的对立事件=4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“ 6”点点的概率的概率.退 出前一页后一页目 录于是于是 =0.518 因此因此 = =0.482由于将一颗骰子抛掷由于将一颗骰子抛掷4次次,共有共有 =1296种等可能结果种等可能结果,而导致事件而导致事件 =4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的结果数有的结果数有 =625种种 例例 10 从从 19 这这 9 个数中有放回地取出个数中有放回地取出 n 个个. 试求取出的试求取出的 n 个数的乘积能被个数的乘积能被 10 整除的概率整除的概率解：解：A =取出的取出的 n 个数的乘积能被个数的乘积能被 10 整除整除； B = 取出的取出的 n 个数至少有一个偶数个数至少有一个偶数 ； C =取出的取出的 n 个数至少有一个个数至少有一个 5 则则 A = B C.第一章 概率论的基本概念4等可能概型等可能概型退 出前一页后一页目 录