概率论与数理统计概率论与数理统计第一节第一节 假设检验假设检验二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理四、典型例题四、典型例题五、小结五、小结2 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性为了推断总体的某些性质质, 提出某些关于总体的假设提出某些关于总体的假设. 假设检验就是根据得到样本对所提出的假假设检验就是根据得到样本对所提出的假设作出判断设作出判断: 是接受是接受, 还是拒绝还是拒绝. 例如例如, 提出总体服从泊松分布的假设提出总体服从泊松分布的假设; 一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理3如何利用样本值对一个具体的假设进行检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法论分析相结合的做法,其基本原其基本原理就是人们在实际问题中经常采理就是人们在实际问题中经常采用的所谓实际推断原理用的所谓实际推断原理:“一个小一个小概率事件在一次试验中几乎是不概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的可能发生的”.下面结合实例来说明假设检验的基本思想下面结合实例来说明假设检验的基本思想.假设检验问题是统计推断的另一类重要问题假设检验问题是统计推断的另一类重要问题.4 实例实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包包得的袋装糖重是一个随机变量得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布它服从正态分布.当机器正常时当机器正常时, 其均值为其均值为0.5千克千克, 标准差为标准差为0.015千克千克.某日开工后为检验包装机是否正常某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地随机地抽取它所包装的糖抽取它所包装的糖9袋袋, 称得净重为称得净重为(千克千克):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常问机器是否正常? 分析分析:5由长期实践可知由长期实践可知, 标准差较稳定标准差较稳定, 问题问题: 根据样本值判断根据样本值判断提出两个对立假设提出两个对立假设 再利用已知样本作出判断是接受假设再利用已知样本作出判断是接受假设 H0 ( 拒拒绝假设绝假设 H1 ) , 还是拒绝假设还是拒绝假设 H0 (接受假设接受假设 H1 ). 如果作出的判断是接受如果作出的判断是接受 H0, 即认为机器工作是正常的即认为机器工作是正常的, 否则否则, 认为是不正常的认为是不正常的.6 由于要检验的假设设计总体均值由于要检验的假设设计总体均值, 故可借助于故可借助于样本均值来判断样本均值来判断.于是可以选定一个适当的正数于是可以选定一个适当的正数k,7由标准正态分布分位点的定义得由标准正态分布分位点的定义得如何确定常数如何确定常数k呢？呢？8于是拒绝假设于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常.假设检验过程如下假设检验过程如下:9以上所采取的检验法是符合实际推断原理的以上所采取的检验法是符合实际推断原理的.10111. 显著性水平显著性水平二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念12132. 检验统计量检验统计量3. 原假设与备择假设原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为假设检验问题通常叙述为:144. 拒绝域与临界点拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域当检验统计量取某个区域C中的值时中的值时, 我们我们拒绝原假设拒绝原假设H0, 则称区域则称区域C为为拒绝域拒绝域, 拒绝域的边拒绝域的边界点称为界点称为临界点临界点.如在前面实例中如在前面实例中, 155. 两类错误及记号两类错误及记号 假设检验的依据是假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中很难发生中很难发生, 但很难发生不等于不发生但很难发生不等于不发生, 因而假因而假设检验所作出的结论有可能是错误的设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误这种错误有两类有两类: (1) 当原假设当原假设H0为真为真, 统计量的观察值却落统计量的观察值却落入拒绝域入拒绝域, 而作出了拒绝而作出了拒绝H0的判断的判断, 称做称做第一类第一类错误错误, 又叫又叫弃真错误弃真错误, 这类错误是这类错误是“以真为假以真为假”. 犯第一类错误的概率不超过显著性水平犯第一类错误的概率不超过显著性水平16 (2) 当原假设当原假设 H0 不真不真, 而观察值却落入接而观察值却落入接受域受域, 而作出了接受而作出了接受 H0 的判断的判断, 称做称做第二类错误第二类错误, 又叫又叫取伪错误取伪错误, 这类错误是这类错误是“以假为真以假为真”. 当样本容量当样本容量 n 一定时一定时, 若减少犯第一类错误若减少犯第一类错误的概率的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大则犯第二类错误的概率往往增大.犯第二类错误的概率记为犯第二类错误的概率记为 若要使犯两类错误的概率都减小若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加除非增加样本容量样本容量.176. 显著性检验显著性检验7. 双边备择假设与双边假设检验双边备择假设与双边假设检验 只对只对犯第一类错误的概率加以控制犯第一类错误的概率加以控制, 而不考而不考虑犯第二类错误的概率的检验虑犯第二类错误的概率的检验, 称为称为显著性检验显著性检验.188. 右边检验与左边检验右边检验与左边检验右边检验与左边检验统称为右边检验与左边检验统称为单边检验单边检验.199. 单边检验的拒绝域单边检验的拒绝域203. 确定检验统计量以及拒绝域形式确定检验统计量以及拒绝域形式;三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤21例例1四、典型例题四、典型例题22这是右边检验问题这是右边检验问题, 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.解解根据题意需要检验假设根据题意需要检验假设23五、小结假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤.真实情况真实情况(未知未知)所所 作作 决决 策策接受接受 H0拒绝拒绝 H0H0 为真为真正确正确犯第犯第I类错误类错误H0 不真不真犯第犯第II类错误类错误正确正确假设检验的两类错误假设检验的两类错误24单个正态总体单个正态总体 均值的检验均值的检验两个正态总体均值差的检验两个正态总体均值差的检验小结小结第二节第二节 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验25 1. 已知，关于已知，关于 的检验（的检验（Z检验）检验） 在上一小节中已讨论过正态总体在上一小节中已讨论过正态总体 , 当当 已知时关于已知时关于 的检验问题的检验问题.在这些检验在这些检验问题中，我们都是利用在问题中，我们都是利用在 为真时服从为真时服从 分布的统计量分布的统计量 来确定拒绝域。这种检验法来确定拒绝域。这种检验法常称为常称为 Z检验法检验法。一、单个总体 均值 的检验26一、单个总体一、单个总体 均值均值 的检验的检验2728 例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割每段金属切割每段金属棒的平均长度为棒的平均长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一今从一批产品中随机的抽取批产品中随机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下: 假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没且标准差没有变化有变化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?解解29查表得查表得拒绝区域为拒绝区域为3031根据根据第六章第六章2定理三定理三知知,32 在实际中在实际中, 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, 所以所以我们常用我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检检验法来检验关于正态总体均值的检验问题验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法.33 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服服从正态分布从正态分布, 均为未知均为未知. 现现测得测得16只元件的只元件的寿命如下寿命如下:问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时小时)?例例2解解 依题意需检验假设依题意需检验假设34查表得查表得35二、两个总体二、两个总体 的情况的情况 利用利用t检验法可以检验检验法可以检验具有相同方差具有相同方差的两正的两正态总体态总体均值差均值差的假设的假设.36根据根据第六章第六章2定理四定理四知知,37其拒绝域的形式为其拒绝域的形式为38故拒绝域为故拒绝域为 关于均值差的单边检验问题的拒绝域见表关于均值差的单边检验问题的拒绝域见表8.1, 当两个正态总体的方差均为已知当两个正态总体的方差均为已知(不一定相不一定相等等)时时,我们可用我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值检验法来检验两正态总体均值差的假设问题差的假设问题, 见表见表8.1 .39 例例3 在平炉进行一项试验以确定改变操作方在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的法的 建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了10炉，其得率分别为炉，其得率分别为 标准方法标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.140 设这两个样本相互独立，且分别来自正态总设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体体 和和 , 均未均未知。问建议的新操作方法能否提高得率？知。问建议的新操作方法能否提高得率？（取（取 ）41解解分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差方差:42即认为建议的新操作方法较原来的方法为优即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.查表查表8.1知其拒绝域为知其拒绝域为43三、小结三、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表44 432 14576546单个总体的情况单个总体的情况两个总体的情况两个总体的情况课堂练习课堂练习小结小结第三节第三节 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验47一、单个总体的情况 设总体设总体 均属未知，均属未知， 是来自是来自X的样本，要求检验假的样本，要求检验假 设（显著性水平为设（显著性水平为 ）：）： 为已知常数。为已知常数。48由于由于 是是 的无偏估计，当的无偏估计，当 为真时为真时 ，比值，比值 一般来说应在一般来说应在1附近摆动，而不应过分大于附近摆动，而不应过分大于1或过分小于或过分小于1。由于当。由于当 为真时为真时, 我们取我们取 作为检验统计量，如上所说作为检验统计量，如上所说知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式：知道上述检验问题的拒绝域具有以下的形式：或或49或或此处的此处的 值由下式确定：值由下式确定： P拒绝拒绝 为真为真 为计算方便起见，习惯上取为计算方便起见，习惯上取 （3.1） 故得故得 50于是得拒绝域为于是得拒绝域为 或或上述检验法为上述检验法为 检验法。关于方差检验法。关于方差 的单边检的单边检验法得拒绝域已在附表中给出。验法得拒绝域已在附表中给出。51解解例例1 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以其寿命长期以来服从方差来服从方差 =5000 (小时小时2) 的正态分布的正态分布, 现有一现有一批这种电池批这种电池, 从它生产情况来看从它生产情况来看, 寿命的波动性有寿命的波动性有所变化所变化. 现随机的取现随机的取26只电池只电池, 测出其寿命的样本测出其寿命的样本方差方差 =9200(小时小时2). 问根据这一数据能否推断问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?52拒绝域为拒绝域为: 认为这批电池的寿命的波动性较以往的有认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化显著的变化.53解解认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度. 例例2 某自动车床生产的产品尺寸服从某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布正态分布,按按规定产品尺寸的规定产品尺寸的方差方差 不得超过不得超过0.1, 为检验该为检验该自自动车床的工作精度动车床的工作精度, 随机的取随机的取25件产品件产品, 测得样本测得样本方差方差 s2=0.1975, . 问该车床生产的产品是问该车床生产的产品是否达到所要求的精度否达到所要求的精度?54例例3 (续第八章第二节例续第八章第二节例1)如果只假设切割长度如果只假设切割长度服从正态分布服从正态分布, 问该机切割的金属棒长度的标准问该机切割的金属棒长度的标准差有无显著变化差有无显著变化?解解55查表得查表得认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化.56二、两个总体二、两个总体 的情况的情况需要检验假设需要检验假设:5758根据根据第六章第六章2定理四定理四知知59检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为上述检验法称为上述检验法称为 F 检验法检验法.60例例4 两台车床加工同一零件两台车床加工同一零件, 分别取分别取6件和件和9件测件测量直径量直径, 得得: 假定零件直径假定零件直径服从正态分布服从正态分布, 能否据此断定能否据此断定解解本题为方差齐性检验本题为方差齐性检验:61例例5 分别用两个不同的计算机系统检索分别用两个不同的计算机系统检索10个资料个资料, 测得平均检索时间及方差测得平均检索时间及方差(单位单位:秒秒)如下如下:解解假定假定检索时间服从正态分布检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资问这两系统检索资料有无明显差别料有无明显差别? 根据题中条件根据题中条件, 首先应检验方差的齐性首先应检验方差的齐性.6263 例例6 研究机器研究机器A和机器和机器B生产的钢管的内径生产的钢管的内径 ，随机抽取机器随机抽取机器 A 生产的管子生产的管子18 只，测得样本方差只，测得样本方差 ；抽取机器；抽取机器B生产的管子生产的管子13只，只， 测得样本方差测得样本方差 。设两样本相互独。设两样本相互独立，且设由机器立，且设由机器A,机器机器B生产的管子的内径分别服生产的管子的内径分别服从正态分布从正态分布 , ，这里，这里 均未知。作假设检验均未知。作假设检验:(取取 )64解：解： 此处此处 拒绝域为拒绝域为 现在现在故接受故接受.6566作业 第八章习题第232页第1, 2,14题66671假设检验的依据是什么？答：假设检验的依据是“实际推断原理”，即“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”。67682假设检验可能产生的两类错误是什么？第一类错误： 为真但拒绝了，称此类错误为“弃真”；(称为显著性检验问题)第二类错误：为假但接受了，称此类错误为“取伪”。68693假设检验的一般步骤是什么？假设检验的一般步骤是 根据给定问题提出原假设和备择假设； 选取适当的统计量，并在原假设成立的条件下确定其分布； 给定显著性水平，确定检验的拒绝域和接受域； 根据样本观察值计算统计量的观察值； 做出判断。69