第九章第九章 微分方程微分方程9.1 基本概念基本概念1基本概念基本概念微分方程微分方程:含有未知函数及其导数的等式含有未知函数及其导数的等式常微分方程常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程未知函数是一元函数的微分方程偏微分方程偏微分方程:未知函数是多元函数的微分未知函数是多元函数的微分方程方程本章讨论本章讨论: 常微分方程的求解问题常微分方程的求解问题微分方程的阶微分方程的阶: 在一微分方程中在一微分方程中 , 出现未知函数导出现未知函数导数的最高阶数数的最高阶数 例如例如( 一阶微分方程一阶微分方程 )( 二阶微分方程二阶微分方程 )微分方程的解微分方程的解:可以验证可以验证:是方程是方程 (2) 的解的解( c为任意常数为任意常数 )是方程是方程 (1) 的解的解若某一函数及其导数代入微分方程若某一函数及其导数代入微分方程之后使之成为恒等式之后使之成为恒等式 , 则称这个函数是微分则称这个函数是微分方程的解方程的解 微分方程的通解与特解微分方程的通解与特解如果微分方程的解中含有一些独立的任意常数如果微分方程的解中含有一些独立的任意常数,而且这种任意常数的个数与方程的阶数相同而且这种任意常数的个数与方程的阶数相同, 则称则称这样的解为微分方程的这样的解为微分方程的通解通解 , 而称那种不含任意常而称那种不含任意常数的解为微分方程的数的解为微分方程的特解特解说明说明: (1) 通解是一族微分方程解的曲线通解是一族微分方程解的曲线 , 即构成即构成解曲线族解曲线族(2) 微分方程解的图形称为微分方程的微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线积分曲线 ,即解曲线亦称为积分曲线即解曲线亦称为积分曲线一般地一般地 , 从通解中确定任意常数的取值而得到从通解中确定任意常数的取值而得到特解的条件称为特解的条件称为定解条件定解条件 给出不同的定解条件就产生不同的问题给出不同的定解条件就产生不同的问题.在这一在这一章章 , 我们讨论常微分方程的我们讨论常微分方程的初值问题初值问题(cauchy问题问题):(1)(2)其中其中 是已知值是已知值 定解条件定解条件 (2) 中的中的 x0 称为称为初始点初始点 ,称为称为初始值初始值 , (2) 称为称为初始条件初始条件 2 建立微分方程建立微分方程例例旋转容器内的液面形状问题旋转容器内的液面形状问题设容器是圆筒形容器设容器是圆筒形容器 , 绕中心轴以匀角速度绕中心轴以匀角速度旋转旋转 , 求其液面的形状求其液面的形状 解解建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示 0yxMmg设经过一定时间的转动后设经过一定时间的转动后 , 液液面形成稳定的形状面形成稳定的形状 . 此时此时 , 截线截线上任一质量为上任一质量为 m 的液体质点的液体质点 M(x , y)处的受力平衡处的受力平衡 质点质点 M(x , y)的受力的受力: 重力重力 mg , 离心力为离心力为F 则则( v 为为 M 点的线速度点的线速度)现由现由M点处受力平衡点处受力平衡 , 所以在所以在 M点的切线方向上点的切线方向上 ,重力重力 , 离心力在此方向上的各分力平衡离心力在此方向上的各分力平衡 ,又又积分得积分得0yxmgM从而有从而有例例一船从一船从O点以恒定速度点以恒定速度 v0 垂直向对岸行驶垂直向对岸行驶 , 假假定水流速度与船离两岸距离的乘积成正比定水流速度与船离两岸距离的乘积成正比 , 设河宽设河宽为为 a , 求船的运动状况求船的运动状况 0yxaM(x,y)解解建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示 设船的运动曲线为设船的运动曲线为 y=y(x) ,由题意知由题意知:于是有于是有由于船从原点由于船从原点O出发出发 , 故船的运动轨迹曲线故船的运动轨迹曲线y=y(x) 满足初值问题满足初值问题:例例一水箱盛有盐水一水箱盛有盐水 100 公升公升 , 其中含盐其中含盐 20 公斤公斤 .现将每公升含盐现将每公升含盐 0.1 公斤的低浓度盐水以每分钟公斤的低浓度盐水以每分钟 5 公升的速度注入水箱公升的速度注入水箱 , 同时开启箱底阀门同时开启箱底阀门 , 以同样以同样的速度将此混合盐水从箱中排出的速度将此混合盐水从箱中排出 , 求水箱中盐水的求水箱中盐水的含盐量含盐量 y 与时间与时间 t 的关系的关系 解解设在时刻设在时刻 t , 水箱中盐水含盐量为水箱中盐水含盐量为 y = y(t) 则在则在 t , t+dt 时间段内时间段内 流进盐量流进盐量 流出盐量流出盐量 = 存储盐量的增量存储盐量的增量于是得于是得又又 y(0) = 20 所以所以 y = y (t) 满足以下初值问题满足以下初值问题:现流进盐量现流进盐量 流出盐量流出盐量 有连接两点有连接两点A(0,1), B(1,0)的一条曲线的一条曲线,它位于弦它位于弦AB 之上之上 , P(x , y)为曲线上任一点为曲线上任一点 , 已知曲线与弦已知曲线与弦求此曲线满足的微分方程求此曲线满足的微分方程.AP之间的面积为之间的面积为 ,例例解解 设曲线的方程为设曲线的方程为 y=y(x) 0yxABP(x,y)xyy=y(x)这是一积分方程这是一积分方程 , 两边对两边对 x 求导得求导得由条件知由条件知又又 y(1) = 0 , 所以所以 y = y(x) 满足初值问题满足初值问题( 微分方程微分方程 )