第第第第 1 1 页页页页4.10 4.10 序列的傅里叶分析序列的傅里叶分析 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (DFS) 非周期序列的离散时间傅里叶变换非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)(DTFT) 四种傅里叶变换的特点和关系四种傅里叶变换的特点和关系 将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用于离将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用于离散时间信号称为序列的傅里叶分析散时间信号称为序列的傅里叶分析 。 第第第第 2 2 页页页页一周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 周期序列记为周期序列记为fN(k)，N为周期，数字角频率为为周期，数字角频率为 由于由于 也是也是周期为周期为N的序列，即的序列，即由于由于 也是也是周期为周期为N的序列，即的序列，即则则fN(k)可展开为可展开为推导推导注意：注意：ejk是周期为是周期为2的周期函数。的周期函数。第第第第 3 3 页页页页离散傅里叶系数推导两端同乘两端同乘e-jmk，并在一个周期求和，有，并在一个周期求和，有上式右端对上式右端对k求和时，仅当求和时，仅当n=m时为时为非零非零且等于且等于N，故上，故上式可写为式可写为第第第第 4 4 页页页页DFS定义定义令令则则FN(n)称为称为离散傅里叶系数。离散傅里叶系数。 称为称为周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(Discrete Fourier Series, DFS) 。令令 则则 离散傅里叶级离散傅里叶级数变换对数变换对 注意：注意：fN(k)只有只有N个谐波分量。个谐波分量。 例例第第第第 5 5 页页页页离散傅里叶级数例例例 求图所示周期脉冲序列求图所示周期脉冲序列的离散傅里叶级数展开式。的离散傅里叶级数展开式。解解 周期周期N =4， =2 /N= /2，求，求和范围取为和范围取为0，3 fN(k) =2 + (1 j1)ej0.5k +( 1+ j1) ej1.5k/4 =0.51+cos(0.5k)+sin(0.5k) 第第第第 6 6 页页页页二、非周期序列的离散时间傅里叶变换二、非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)周期序列周期序列fN(k)非周期序列非周期序列f(k)连续谱；连续谱；离散谱离散谱1. 引出0定义非周期序列定义非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换的离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)为为 第第第第 7 7 页页页页逆变换的导出fN(k) f(k)由于n的取值周期为N，2n/N的周期为2，所以 周期为2 。 非周期序列的离散非周期序列的离散时间傅里叶逆变换时间傅里叶逆变换 第第第第 8 8 页页页页表示说明：说明： F(ej)是是的连续周期函数，周期为的连续周期函数，周期为2。 DTFTDTFT存在的充分条件是存在的充分条件是f(k)满足绝对可和，即满足绝对可和，即例例第第第第 9 9 页页页页DTFT举例举例例：例：求下列序列的离散时间傅里叶变换。求下列序列的离散时间傅里叶变换。 解解 F1(ej ) = DTFTf1(k) = 第第第第 1010 页页页页三、四种傅里叶变换的特点和关系三、四种傅里叶变换的特点和关系 ，类别时域特点频域特点(连续连续)傅里叶级数傅里叶级数(CFS) 连续、周期信号连续、周期信号fT(t)（周期为（周期为T） 离散、非周期频谱离散、非周期频谱Fn(离散间隔为离散间隔为=2/T) (连续时间连续时间)傅里叶变换傅里叶变换(CTFT) 连续、非周期信号连续、非周期信号f(t) 连续、非周期频谱连续、非周期频谱F(j ) 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS) 离散、周期序列离散、周期序列 fN(n)（周期为（周期为N） 离散、周期频谱离散、周期频谱FN(n)（周期为（周期为N,离散间隔为离散间隔为=2/N) 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT) 离散、非周期序列离散、非周期序列 f(k) 连续、周期频谱连续、周期频谱F(e j )（周期为（周期为2 ） 一般说来一般说来，在一个域中为，在一个域中为连续的连续的表示，在另一个域中就表示，在另一个域中就是非周是非周期性期性的表示；与此对比，在一个域中为的表示；与此对比，在一个域中为离散的离散的表示，在另一个表示，在另一个域中就是域中就是周期性周期性的表示。的表示。 第第第第 1111 页页页页关系 fT(t)的傅里叶级数的傅里叶级数(CFS)与与f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换(CTFT)的关系的关系 f(t)为剪裁为剪裁fT(t)主周期得到的非周期信号。主周期得到的非周期信号。 fN(k)的离散傅里叶级数的离散傅里叶级数(DFS)与与f(k)的离散时间的离散时间傅里叶变换傅里叶变换(DTFT)的关系的关系 FN(n)= F(ej ) ，F(e j ) = FN(n) f(k)为剪裁为剪裁fN(k)主周期得到的非周期序列。主周期得到的非周期序列。