第二节函数的单调性与最值总纲目录教材研读1.函数的单调性考点突破2.函数的最值考点二求函数的单调区间考点二求函数的单调区间考点一函数单调性的判断考点三函数单调性的应用考点三函数单调性的应用1.函数的单调性函数的单调性(1)单调函数的定义单调函数的定义教材研读教材研读增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是单调增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)判断函数单调性的方法判断函数单调性的方法(i)定义法:利用定义判断.(ii)利用函数的性质:如,若y=f(x)、y=g(x)为增函数,则a.y=f(x)+g(x)为增函数;b.y=为减函数(f(x)0);c.y=为增函数(f(x)0);d.y=f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0);e.y=-f(x)为减函数.(iii)利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”,即若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.(iv)图象法(v)导数法2.函数的最值函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的最大值M为函数y=f(x)的最小值1.(2014北京,2,5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=e-xB.y=x3C.y=lnxD.y=|x|答案答案By=e-x在R上为减函数;y=x3是定义域为R的增函数;y=lnx的定义域为(0,+);y=|x|在R上不单调,故选B.B2.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上()A.递减B.递增C.先递减后递增D.先递增后递减答案答案C函数y=x2-6x+10的图象为抛物线,且开口向上,对称轴为直线x=3,函数y=x2-6x+10在(2,3)上为减函数,在(3,4)上为增函数.C3.(2016北京东城(上)期中)已知函数y=,那么()A.函数的单调递减区间为(-,1),(1,+)B.函数的单调递减区间为(-,1)(1,+)C.函数的单调递增区间为(-,1),(1,+)D.函数的单调递增区间为(-,1)(1,+)3.(2016北京东城(上)期中)已知函数y=,那么()A.函数的单调递减区间为(-,1),(1,+)B.函数的单调递减区间为(-,1)(1,+)C.函数的单调递增区间为(-,1),(1,+)D.函数的单调递增区间为(-,1)(1,+)答案答案A函数y=的图象可看作y=的图象向右平移1个单位得到的,y=在(-,0)和(0,+)上单调递减,y=在(-,1)和(1,+)上单调递减,故选A.A4.若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是.答案答案解析解析因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+10,即k-.5.若函数f(x)满足“对任意的x1,x2R,当x1f(x2)”,则满足f(2x-1)f(1)的实数x的取值范围为.答案答案(1,+)解析解析由题意知,函数f(x)在定义域内为减函数,f(2x-1)1,即x1,x的取值范围为(1,+).(1,+)6.(2013北京,13,5分)函数f(x)=的值域为.答案答案(-,2)解析解析x1时,f(x)=lox是单调递减的,此时,函数的值域为(-,0;x1时,f(x)=2x是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2).综上,f(x)的值域是(-,2).(-,2)典例典例1(1)下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是()考点一函数单调性的判断考点一函数单调性的判断考点突破考点突破A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-|x|(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是.答案答案(1)C(2)0,1)解析解析(1)f(x)=3-x在(0,+)上为减函数;当x时,f(x)=x2-3x为减函数,当x时,f(x)=x2-3x为增函数;f(x)=-在(0,+)上为增函数;f(x)=-|x|在(0,+)上为减函数.(2)由题意知g(x)=函数图象如图所示,其递减区间是0,1).1-1(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案答案D选项A中,y=的图象是将y=-的图象向右平移1个单位得到的,故y=在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.D典例典例2(1)函数f(x)=maxx2-x,1-x2的单调增区间是()A.,1,+)B.,0,1C.D.0,1(2)函数y=的单调递增区间为,单调递减区间为.考点二求函数的单调区间考点二求函数的单调区间答案答案(1)A(2)2,+);(-,-3解析解析(1)令x2-x=1-x2,得x=-或x=1.当x1时,f(x)=x2-x;当-x1时,f(x)=1-x2,f(x)=画出函数f(x)的图象,如图.观察图象得单调增区间为和1,+).故选A.(2)令u=x2+x-6,则y=可以看作是由y=与u=x2+x-6复合而成的函数.令u=x2+x-60,得x-3或x2.u=x2+x-6在(-,-3上是减函数,在2,+)上是增函数,而y=在0,+)上是增函数,y=的单调减区间为(-,-3,单调增区间为2,+).方法技巧方法技巧1.函数的单调性与“区间”紧密相关,函数的单调区间是函数定义域的子集,所以要求函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.2.由图象确定函数的单调区间需注意:图象不连续且有多个上升段(下降段)的函数,其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“”连接.3.利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定相应各函数的单调性.2-1函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是()A.1,2B.-1,0C.0,2D.2,+)2-1函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是()A.1,2B.-1,0C.0,2D.2,+)答案答案Af(x)=|x-2|x=结合图象(图略)可知函数的单调减区间是1,2,故选A.A2-2函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+)B.(-,0)C.(2,+)D.(-,-2)答案答案D由x2-40得x2.易知u=x2-4在(-,-2)上为减函数,在(2,+)上为增函数,y=lou为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-,-2).D考点三函数单调性的应用考点三函数单调性的应用命题角度一比较大小命题角度一比较大小典例典例3已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在0,+)上是减函数,则下列各式一定成立的是()A.f(0)f(2)C.f(-1)f(3)D.f(-2)f(-3)C答案答案C解析解析因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|),又f(x)在0,+)上是减函数,所以f(6)f(|-3|)f(|-2|)f(|-1|)f(a+3),则实数a的取值范围是.答案答案(-3,-1)(3,+)解析解析由已知可得解得-3a3,所以实数a的取值范围是(-3,-1)(3,+).(-3,-1)(3,+)命题角度三求参数命题角度三求参数典例典例5(2017北京朝阳期末)已知函数f(x)=在(-,+)上具有单调性,则实数m的取值范围是.(1,答案答案(1,解析解析易知m=0不符合题意.由题意得或解得10恒成立,试求实数a的取值范围.解析解析(1)当a=时,f(x)=x+2,易知其在1,+)上是增函数,f(x)在1,+)上的最小值为f(1)=.(2)在区间1,+)上f(x)=0恒成立x2+2x+a0在1,+)上恒成立.令g(x)=x2+2x+a,x1,+).g(x)=(x+1)2+a-1在1,+)上是增函数,g(x)在1,+)上的最小值为g(1)=3+a.3+a0,即a-3.方法技巧方法技巧函数单调性应用的解题技巧函数单调性的应用比较广泛,主要用来比较函数值的大小、解函数不等式、求相关参数的范围、求函数的最值等.(1)比较两个函数值的大小若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2A,则x1x2f(x1)f(x2);若f(x)在给定的区间A上是递减的,任取x1,x2A,则x1f(x2).若给定的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较大小,否则,要先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比较大小.(2)利用函数单调性解函数不等式解函数不等式的关键是利用函数的单调性去掉函数符号“f”,变函数不等式为一般不等式.去掉“f”时,要注意f(x)的定义域的限制.(3)利用函数的单调性求参数的取值范围依据函数单调性的定义,对给定区间内的任意两个不相等的自变量对应的函数值作差(满足函数关系式的自变量必须在定义域内,这是一个容易被忽视的问题),通过构造关于参数的不等式进行求解.在求抽象函数中参数的范围时,往往是利用函数的单调性将符号“f”去掉,得到关于参数的不等式.(4)利用函数的单调性求解函数的最值步骤:判断函数的单调性;计算端点处的函数值;确定最大值和最小值.3-1(2016北京朝阳二模)设函数f(x)=(a0且a1)的最大值为1,则实数a的取值范围是()A.B.(0,1)C.D.(1,+)答案答案A当x2时,f(x)=x-1单调递增,f(x)max=f(2)=1.由题意知当x2时,f(x)=2+logax必为减函数,解得a1.a的取值范围是.A3-2(2017北京朝阳二模)设函数f(x)=则f(1)=;若f(x)在其定义域内为单调递增函数,则实数a的取值范围是.答案答案2;(-,1解析解析易得f(1)=1+1=2.由f(x)在其定义域内为单调递增函数,知f(x)在(0,+)和(-,0上均为增函数,且满足03+a0+1,解得a1.