第二章 自动控制系统的数学模型2-1 控制系统微分方程的建立2-2 非线性微分方程的线性化2-3 传递函数 (transfer function)2-4 动态结构图2-5 系统的脉冲响应函数2-6 典型反馈系统传递函数1自动控制原理课程的任务与体系结构2时域模型时域模型微分方程微分方程复域模型复域模型传递函数传递函数频域模型频域模型频率特性（第五章）频率特性（第五章）自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型3 分分析析和和设设计计任任何何一一个个控控制制系系统统，首首要要任任务务是是建建立立系系统统的的数学模型。数学模型。1.数学模型数学模型 描述系统输入、输出变量以及内描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。部各变量之间关系的数学表达式。 2. 建立数学模型的目的建立数学模型的目的 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。工作（或基础工作）。 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统的模型却可以是相同的。因此，的等等，然而描述这些系统的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。概述（概述（1 1）43. 建模方法建模方法:建立数学模型的方法分为解析法和实验法建立数学模型的方法分为解析法和实验法 (1) 解析法解析法本课研究本课研究概述（概述（2 2）u解析法：解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式。理、化学定律列写出变量间的数学表达式。u实验法：实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型型。(2)实验法实验法 系统辩识课研究系统辩识课研究 5总结：总结： 解析方法适用于简单、典型、常见的系统，解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。4. 数学模型的主要形式数学模型的主要形式: 图 模 型： 结构图结构图 数学模型： 微分方程（或差分方程）、传递函微分方程（或差分方程）、传递函数数 、 频率特性、状态空间表达式频率特性、状态空间表达式概述（概述（3 3）65 . “三域三域”模型及其相互关系模型及其相互关系概述（概述（4 4）72-1控制系统微分方程的建立3.3.消去中间变量，得到输出量与输入量关系的微分方消去中间变量，得到输出量与输入量关系的微分方消去中间变量，得到输出量与输入量关系的微分方消去中间变量，得到输出量与输入量关系的微分方程。程。程。程。 标准化微分方程标准化微分方程标准化微分方程标准化微分方程，惯例把与输入量有关各项，惯例把与输入量有关各项，惯例把与输入量有关各项，惯例把与输入量有关各项写在方程右边写在方程右边写在方程右边写在方程右边, ,把输出量有关各项写在方程左边把输出量有关各项写在方程左边把输出量有关各项写在方程左边把输出量有关各项写在方程左边, ,方程两边各导数项均按降幂排列。方程两边各导数项均按降幂排列。方程两边各导数项均按降幂排列。方程两边各导数项均按降幂排列。返回子目录返回子目录qq基本步骤：基本步骤：基本步骤：基本步骤：1.1.分析各元件的工作原理，分析各元件的工作原理，分析各元件的工作原理，分析各元件的工作原理，确定确定确定确定元件的元件的元件的元件的输入量输入量输入量输入量和和和和输出量输出量输出量输出量( (必要时还需考虑扰动输入量和引入中间必要时还需考虑扰动输入量和引入中间必要时还需考虑扰动输入量和引入中间必要时还需考虑扰动输入量和引入中间变量变量变量变量) )2. 2. 从输入端开始，从输入端开始，从输入端开始，从输入端开始，根据根据根据根据各元件在工作过程中所遵循的各元件在工作过程中所遵循的各元件在工作过程中所遵循的各元件在工作过程中所遵循的物物物物理或化学定律列出微分方程。理或化学定律列出微分方程。理或化学定律列出微分方程。理或化学定律列出微分方程。8 列写微分方程的一般方法列写微分方程的一般方法例例1. 列写如图所示列写如图所示RC网络的微分方程。网络的微分方程。RCuruci9 i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:令 （时间常数），则微分方程为：RCuruci解解解解:(1):(1):(1):(1)确定确定确定确定输输入入入入: ur 输出输出: uc(2)(2)(2)(2) 列原始方程列原始方程列原始方程列原始方程 由基由基尔尔霍夫定律得霍夫定律得: (3)(3)消去中间变量消去中间变量消去中间变量消去中间变量 并标准化并标准化并标准化并标准化它是一个一阶线性定常微分方程。它是一个一阶线性定常微分方程。10例例例例2 2 求求求求RLCRLC电路的微分方程电路的微分方程电路的微分方程电路的微分方程 解解解解:(1):(1):(1):(1)确定确定确定确定输入输入输入输入: : u ui i(t (t) ) 输出输出输出输出: : u u0 0(t) (t) (2)(2)(2)(2) 列原始方程列原始方程列原始方程列原始方程设设 i(t)为流过电阻为流过电阻R和电容和电容C上的电流。根据基尔霍夫定律：上的电流。根据基尔霍夫定律：RCL (3)(3)消去中间变量消去中间变量消去中间变量消去中间变量 并标准化并标准化并标准化并标准化T称为时间常数称为时间常数, 为阻尼比。为阻尼比。是二阶线性定常微分方程。是二阶线性定常微分方程。11例例3. 设有一弹簧设有一弹簧-质量质量- 阻尼动力系统如图所阻尼动力系统如图所示，当外力示，当外力F(t)作用于作用于系统时，系统将产生系统时，系统将产生运动，试写出外力运动，试写出外力F(t)与质量块的位移与质量块的位移y(t)之之间的动态方程。其中间的动态方程。其中弹簧的弹性系数弹簧的弹性系数为为k，阻尼器的阻尼系数为阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为质量块的质量为m。12分析分析质量量块m受力，有受力，有外力外力F,弹簧恢复力簧恢复力 -Ky（t）阻尼力阻尼力 -解解解解: (1) : (1) 确定输入确定输入确定输入确定输入: F(t): F(t) ； 输出输出输出输出: y(t): y(t)(2)(2)列原始方程：列原始方程：列原始方程：列原始方程：所以，牛所以，牛顿第二定律，第二定律，S S S SF=maF=ma13式中：ym的位移（m）； f阻尼器的阻尼系数（Ns/m); K 弹簧弹性系数（N/m)。(3)(3)标准化标准化标准化标准化 ， 则式 可写成令 ， 即 14T称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了mKf系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。15例例例例4 4 电枢控制的他励直流电动机电枢控制的他励直流电动机电枢控制的他励直流电动机电枢控制的他励直流电动机, ,建立输入电压建立输入电压建立输入电压建立输入电压u ua a和输出转角和输出转角和输出转角和输出转角 mm微分方程微分方程微分方程微分方程. .解解解解: (1) : (1) 确定输入输出量确定输入输出量确定输入输出量确定输入输出量: :输入量输入量输入量输入量: : 给定输入给定输入给定输入给定输入-电枢电压电枢电压电枢电压电枢电压u ua a 输出量输出量输出量输出量: : 电动机转角电动机转角电动机转角电动机转角 mm(2) (2) 列写原始方程列写原始方程列写原始方程列写原始方程引进中间变量引进中间变量 、 、牛顿定律牛顿定律fm电机轴上的粘性摩擦系数电机轴上的粘性摩擦系数 Ml 负载力矩负载力矩16(3)(3)从式从式从式从式(2-8) (2-8) (2-11)(2-11)中消去中间变量中消去中间变量中消去中间变量中消去中间变量 并标准化并标准化并标准化并标准化可见可见可见可见, ,数学模型是由系统结构数学模型是由系统结构数学模型是由系统结构数学模型是由系统结构, ,元件参数以及基本运动规律元件参数以及基本运动规律元件参数以及基本运动规律元件参数以及基本运动规律所决定的。同一系统，从不同角度研究数学模型不一样。所决定的。同一系统，从不同角度研究数学模型不一样。所决定的。同一系统，从不同角度研究数学模型不一样。所决定的。同一系统，从不同角度研究数学模型不一样。17列写微分方程要注意：列写微分方程要注意：确切反映系统的动态性能，忽略次要因素，简化分析确切反映系统的动态性能，忽略次要因素，简化分析计算。计算。 在一般情况下，描述线性定常系统的微分方程为在一般情况下，描述线性定常系统的微分方程为C(t)C(t)为输出量，为输出量，r(t)r(t)为输入量，所有系数为实常数。为输入量，所有系数为实常数。对实际系统有对实际系统有n n m m。返回1822 非线性微分方程的线性化n严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。对于不太严特性，而非线性微分方程的求解非常困难。对于不太严重的非线性系统，重的非线性系统，在一定的条件下或在一定范围内把非在一定的条件下或在一定范围内把非线性的微分方程化为线性模型的处理方法称为非线性微线性的微分方程化为线性模型的处理方法称为非线性微分方程的线性化。分方程的线性化。返回子目录返回子目录n在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。如下图所示。19于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。一、对弱非线性的线性化一、对弱非线性的线性化如上图（如上图（a），），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为线性特性。对（线性特性。对（b）和（和（c），），当死区或间隙很小时（相对于当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为线性特性，如图中虚输入信号）同样忽略其影响，也近似为线性特性，如图中虚线所示。线所示。二、平衡位置附近的小偏差线性化二、平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。20假设假设：y=f(x)，且，且x，y在平衡点（在平衡点（x0，y0)附近变化，即附近变化，即 x=x0+x, y=y0+y则在则在y0=f(x0)附近将附近将y展开成泰勒级数：展开成泰勒级数： 考虑控制系统经常工作在平衡点考虑控制系统经常工作在平衡点A（x0，y0）处）处 ，当系统受到当系统受到干扰，干扰， y只在只在平衡点平衡点A附近附近作小范围的作小范围的变化，变化，可在平衡点可在平衡点A处将处将非线性函数展开为泰勒级数，忽略去二阶以上导数项，可得只非线性函数展开为泰勒级数，忽略去二阶以上导数项，可得只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为小偏差法小偏差法。（1 1 1 1）单变量的非线性系统）单变量的非线性系统）单变量的非线性系统）单变量的非线性系统21于是可用于是可用A处的切线方程代替曲线方处的切线方程代替曲线方程程(非线性非线性)y=f(x) ，即小偏差线性化。即小偏差线性化。为书写方便，为书写方便，简记为简记为 y=kx。22 经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。凡是可以进行线性化的系统，可第七章的非线性理论来分析。凡是可以进行线性化的系统，可采用叠加原理来分析系统。采用叠加原理来分析系统。（2 2 2 2）双变量的非线性系统）双变量的非线性系统）双变量的非线性系统）双变量的非线性系统 zf（x,y） 若非线性函数由两个自变量，同样可在平衡点处（若非线性函数由两个自变量，同样可在平衡点处（x0,y0x0,y0）展成泰勒级数展开为展成泰勒级数展开为 略去二级以上导数项，并令略去二级以上导数项，并令zzz-f(xz-f(x0 0,y,y0 0) )简记为简记为23u叠加原理叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和齐次性（或叫均匀性）。例： 设线性微分方程式为注意注意注意注意: (1 )(1 )小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。 (2) (2) 实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能在小实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能在小实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能在小实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能在小范范范范 围内变化。围内变化。围内变化。围内变化。(3)(3)线性化方程中的系数线性化方程中的系数线性化方程中的系数线性化方程中的系数k k与工作点有关。与工作点有关。与工作点有关。与工作点有关。 (4)(4)严重的非线性不能用小偏差法，用第严重的非线性不能用小偏差法，用第严重的非线性不能用小偏差法，用第严重的非线性不能用小偏差法，用第7 7章的方法。章的方法。章的方法。章的方法。 24若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 时，必存在解为 ，即为可叠加性。 上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理叠加原理。若 时， 为实数，则方程解为 ，这就是齐次性。若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 时，必存在解为 ，即为可叠加性。25 线性定常微分方程求解微分方程求解方法微分方程求解方法 初条件初条件26用拉氏变换方法解微分方程用拉氏变换方法解微分方程L变换变换系统微分方程系统微分方程L-1变换变换27复习复习 拉普拉斯变换有关内容（拉普拉斯变换有关内容（1）1.拉氏变换定义拉氏变换定义拉氏变换定义拉氏变换定义2. 2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换 L(t)=1 LtL(t)=1 Ltn-1n-1/(n-1)!=1/s/(n-1)!=1/sn n L1(t)=1/s Le L1(t)=1/s Le- -a at t=1/(s+=1/(s+a a) ) Lt=1/s Lt=1/s2 2 Lsint=/(s Lsint=/(s2 2+2 2) ) Lt Lt2 2/2=1/s/2=1/s3 3 LcostLcost= s/(s= s/(s2 2+2 2）F(s) 像函数像函数f(t)原函数原函数28复习复习 拉普拉斯变换有关内容（拉普拉斯变换有关内容（2）3. 拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理(1)线性定理线性定理线性定理线性定理 (2)位移定理位移定理位移定理位移定理 (3)延迟定理延迟定理延迟定理延迟定理(4)终值定理终值定理终值定理终值定理(5)初值定理初值定理初值定理初值定理(6)微分定理微分定理微分定理微分定理(7)积分定理积分定理积分定理积分定理294 4 拉氏反变换拉氏反变换（1 1）定义式）定义式（2 2）分解部分分式法）分解部分分式法试凑法试凑法留数法留数法例例1 1 已知已知，求，求解解. .复习复习 拉普拉斯变换有关内容（拉普拉斯变换有关内容（3）30用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式其中：其中：一般有一般有设设I. 当当 无重根时无重根时复习复习 拉普拉斯变换有关内容（拉普拉斯变换有关内容（4）31例例2 2 已知已知，求，求解解. .例例3 3 已知已知，求，求解解. .复习复习 拉普拉斯变换有关内容（拉普拉斯变换有关内容（5）32例例4 4 已知已知，求，求复习复习 拉普拉斯变换有关内容（拉普拉斯变换有关内容（6）33II. 当当 有重根时有重根时( (设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根) )复习复习 拉普拉斯变换有关内容（拉普拉斯变换有关内容（7）34例例5 5 已知已知，求，求解解. .复习复习 拉普拉斯变换有关内容（拉普拉斯变换有关内容（8）355. 5. 用拉普拉斯变换求解微分方程用拉普拉斯变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程的一般步骤是：用拉氏变换求解微分方程的一般步骤是：对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，使微分方程变成以对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，使微分方程变成以s变量的代数方程；变量的代数方程；求解代数方程，得到输出变量象函数的表达式；求解代数方程，得到输出变量象函数的表达式；将象函数展开成部分分式；将象函数展开成部分分式；对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的解。对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的解。复习复习 拉普拉斯变换有关内容（拉普拉斯变换有关内容（9）例例 6. 已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为36解：解： 对微分方程进行拉氏变换得对微分方程进行拉氏变换得 复习复习 拉普拉斯变换有关内容（拉普拉斯变换有关内容（10）37控制系统的数学模型时域模型时域模型 微分方程微分方程线性元件及线性系统微分方程的编写线性元件及线性系统微分方程的编写非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 微分方程的求解微分方程的求解 复习复习 拉普拉斯变换有关内容拉普拉斯变换有关内容课程小结 (1)381 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 （2 2）单位阶跃）单位阶跃2 2 常见函数常见函数L变换变换（5 5）指数函数）指数函数（1 1）单位脉冲）单位脉冲（3 3）单位斜坡）单位斜坡（4 4）单位加速度）单位加速度（6 6）正弦函数）正弦函数（7 7）余弦函数）余弦函数课程小结 (2)393. 拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理(1)线性定理线性定理线性定理线性定理 (2)位移定理位移定理位移定理位移定理 (3)延迟定理延迟定理延迟定理延迟定理(4)终值定理终值定理终值定理终值定理(5)初值定理初值定理初值定理初值定理(6)微分定理微分定理微分定理微分定理(7)积分定理积分定理积分定理积分定理课程小结 (3)40课程作业：第二章（课程作业：第二章（1）2-1(2)(4)(5)，2-3 (3)(4)2-441