第 三 章 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念自主学习新知突破1了解数系的扩充过程2理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法1复数的定义：形如_的数叫作复数其中i叫作_，满足：i2_.2复数的表示：复数通常用字母z表示，即_，这种表示形式叫作复数的代数形式，其中实数a叫作复数z的_，实数b叫作复数z的_复数的概念及其代数表示法abi虚数单位1zabi实部虚部1复数的分类复数的分类2集合表示设a，b，c，d都是实数，那么abicdi_.1理解复数与复数集的概念应注意以下几点(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成abi(a，bR)的形式，其中000i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数zabi只有在a，bR时才是复数的代数形式，否则不是代数形式复数相等的充要条件ac且bd2复数代数形式的应用(1)由代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数若z是纯虚数，可设zbi(b0，bR)若z是虚数，可设zabi(b0，bR)若z是复数，可设zabi(a，bR)(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但当两个复数都是实数时，可以比较大小1复数ii2的虚部为()A0B1CiD2解析：ii21i.答案：B2下列复数中，是实数的是()A1iBi2CiDmi解析：1i显然是虚数，i21是实数，当m0时，mi是实数0，当m0时mi不确定，i是纯虚数答案：B3已知(2m5n)3i3n(m5)i，m，nR，则mn_.合作探究课堂互动复数的概念判断下列命题的真假：(1)若x2y20，则xy0；(2)若zabi，则仅当a0，b0时为纯虚数；(3)若aR，则(a1)i是纯虚数(1)中，当x1，yi时，x2y20成立，(1)是假命题(2)中，当a，bR时才成立，(2)是假命题(3)中，当a1时，a10不满足纯虚数的条件，(3)是假命题正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答1下列四个命题：两个复数不能比较大小；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；若aR，则(a2)i是纯虚数其中，假命题的序号是_解析：当这两个复数都是实数时，可以比较大小若a0，则ai不是纯虚数由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集当aR且a2时，(a2)i0不是纯虚数因此所给的4个命题全部是假命题答案：复数的分类思路点拨复数的分类：复数zabi(a，bR)，当满足b0时复数z是实数，b0时复数z是虚数，a0，b0时复数z是纯虚数研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是否有意义特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，采用的是标准形式的代数式，若不是复数的标准代数形式，应先化为复数的标准代数形式zabi(a，bR)，再依据概念求解、判断复数是实数，仅注重虚部为零是不够的，还需要考虑它的实部是否有意义复数相等的充要条件已知集合M1,2，(m23m1)(m25m6)i，N1,3，MN3，则实数m的值为()A4B1C1或4D1或6复数相等的充要条件是求复数及解方程组的主要依据，是复数问题实数化的桥梁和纽带，但这一条件必须在标准代数形式下确定实部与虚部后才可应用3已知2x1(y1)ixy(xy)i，求实数x，y的值求满足条件2a(ba)i5(a2b6)i的实数a，b的取值情况【错因】错解想当然地认为大的复数所对应的实部和虚部都大，而忽视了只有实数才能比较大小的前提，因此本题中的复数应为实数