8.4 重积分的应用重积分的应用 8.4.1 微元法（元素法）微元法（元素法） 如果要求的量如果要求的量U：（ii）在）在D内任取一直径很小的闭区域内任取一直径很小的闭区域d(dv)，相应的相应的部分量可近似地表示为部分量可近似地表示为量量U的元素（微元）的元素（微元） （i）U对于有界闭区域对于有界闭区域D具有可加性；具有可加性；1通过三重积分可求空间区域通过三重积分可求空间区域 的体积，物体的的体积，物体的质量质量1. 空间区域空间区域 的的体积体积 如如果果 (x，y，z)表表示示某某物物体体在在点点(x，y，z)处处的的体体密密度度，是是该该物物体体所所占占的的空空间间闭闭区区域域， (x，y ， z)在在上连续上连续.2. 物体的质量物体的质量例例如如,通通过过二二重重积积分分可可求求曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积、平平面面薄薄片的质量、平面区域的面积片的质量、平面区域的面积 2例例1 求半径为求半径为a的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的内接锥的内接锥面所围成的立体（如图）的体积。面所围成的立体（如图）的体积。 解解 设球面通过原点设球面通过原点O，球心在球心在 z 轴上，又内接锥轴上，又内接锥面的顶点在原点面的顶点在原点O，其轴其轴与与 z 轴重合，轴重合，立体所占有的空间闭区域立体所占有的空间闭区域 可用不等式表示可用不等式表示:Oxyz球面方程为球面方程为 r = 2acos ，锥面方程为锥面方程为 = 。3所以所以Oxyz458.4.2 曲面的面积曲面的面积 1平面有界闭区域在另一平面上投影的面积平面有界闭区域在另一平面上投影的面积(如图如图)即即 Acos= 2曲面面积的计算方法曲面面积的计算方法21 为两平面的夹角。为两平面的夹角。6(1)设曲面的方程为：设曲面的方程为：如图，如图，7曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：8()设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：()设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得9例例3 求半径为求半径为a的球的表面积。的球的表面积。 xyzoa 因为这函数在闭区域因为这函数在闭区域D上无界，上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。我们不能直接应用曲面面积公式。10 取区域取区域D1：x2+y2 b2(0b0)处的单位质量的质处的单位质量的质点的引力点的引力。 P(x,y,0)xyozxy(0,0,a)30xyozxy(0,0,a)P(x,y,0)3132例例10 求半径为求半径为R的匀质球的匀质球：x2+y2+z2 R2对于位对于位于点于点M0(0,0,a)(a R)处的单位质量的质点的引力处的单位质量的质点的引力。 zxyoa33zxyoa34由球体的对称性易知由球体的对称性易知Fx=Fy=0zxyoa3536