数 学 精 品 课 件北 师 大 版成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 选修选修2-3 计数原理计数原理第一章第一章1计数原理数原理 第一章第一章课堂典例探究课堂典例探究 2课课 时时 作作 业业3课前自主预习课前自主预习1课前自主预习课前自主预习1.理解并掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理2能根据具体问题的特征，正确地选用分类加法计数原理或分步乘法计数原理进行处理3在理解两个计数原理的过程中，提高学生的综合、归纳及比较能力；在运用两个原理解决实际问题的过程中，提高学生学习数学的兴趣和理性分析问题的能力本节重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理本节难点：正确的使用两个原理解题.1.分类加法计数原理原理内容：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中m2种方法，在第n类办法中有mn种方法那么，完成这件事共有N_种方法(也称_)加法计数原理针对的是“_”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以_完成这件事加法原理分类单独2分步乘法计数原理原理内容：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N_种方法(也称_)乘法原理1.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关如果完成一件事，有几类方案，这几类方案彼此之间是相互独立的，无论哪类方案的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理如果完成一件事需要分成几个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理2理解“分类”与“分步”(1)分类：“做一件事，完成它可以有几类方案”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；属于不同类的方法是不同的方法(2)分步：“做一件事，完成它需要分成几个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法都要分成几个步骤，分步时，首先根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这几个步骤后，这件事才算最终完成“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘3分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题两个基本原理的区别在于：分类加法计数原理每次得到的是最后结果，分步乘法计数原理每次得到的是中间结果，表解如下：分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复1.2014年南京青奥会这是世界体坛的一大盛事一名志愿者从沈阳赶赴南京为游客提供导游服务，但需在北京停留，已知从沈阳到北京每天有7个航班，从北京到南京每天有6列火车，该志愿者从广州到沈阳共有_种不同的方法()A13 B42C7D6答案B解析根据乘法原理，此人可选择的行车方式共有6742种2把10个水果分成3份，要求每份至少1个，至多5个，则不同的分法种数共有()A5种B6种C4种D3种答案C解析由于分成3份，每份至少1个，至多5个，故有一份1个苹果，其余两分只能选一份5个，一份4个；有一份2个苹果，则其余两份可能一份5个，一份3个，或两分都是4个；有一份3个苹果，则其余两份只能是一份4个，一份3个共有1214(种)3如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有()A63种B64种C6种D36种答案A解析因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，而只要有一个脱落了，则电路就不能，共有26163种，故选A.反思总结在解决实际计数问题时，当直接法比较复杂难以计数时，利用正难则反的策略，采用间接法常能使问题化难为易，化繁为简，给人以“柳暗花明又一村”的感觉45位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则报名方法共有_种答案32解析本题关键在于弄清楚要完成的事情是什么，在这里是5位同学(设为甲、乙、丙、丁、戊)报名参加课外活动小组，因而完成这件事需要分5步：第一步：甲同学报名参加课外活动小组，有2种报名方法第二步：乙同学报名参加课外活动小组，有2种报名方法第五步：戊同学报名参加课外活动小组，有2种报名方法根据乘法原理，满足条件的报名方法共有2222232种课堂典例探究课堂典例探究 高三一班有学生50人，男30人，女20人；高三二班有学生60人，男30人，女30人；高三三班有学生55人，男35人，女20人(1)从高三一班、二班或三班中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？分类加法计数原理 分析所谓“完成一件事，有几类方案”，是指对完成这件事情的所有方案的一个分类利用分类加法计数原理求解解析(1)分三类：第一类选法，从高三一班中任选一名有50种不同的方法；第二类选法，从高三二班中任选一名有60种不同的方法；第三类选法，从高三三班中任选一名有55种不同的方法根据分类加法计数原理，得506055165(种)因此共有165种不同的选法(2)分三类：第一类选法，从高三一班男生中任选一名有30种不同的方法；第二类选法，从高三二班男生中任选一名有30种不同的方法；第三类选法，从高三三班女生中任选一名有20种不同的方法根据分类加法计数原理，得30302080(种)故共有80种不同的选法反思总结运用分类加法计数原理时，首先要依据问题的特征，确定恰当的分类标准，然后在这个标准下进行分类分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必须属于某一类而且仅属于这一类，即各类办法是互斥的，相互独立的满足a、b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13C12D10答案B解析当a0时，2xb0总有实数根，(a，b)的取值有4个当a0时，需44ab0，ab1.a1时，b的取值有4个，a1时，b的取值有3个，a2时，b的取值有2个(a，b)的取法有9个综合知，(a，b)的取法有4913个.分步乘法计数原理 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信均不相同(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？分析(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，共有5420(种)(2)把信投入邮筒，是将9封信分别投入，投一封信，就是一步，共有49种解析(1)各取一封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5420(种)(2)若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能第九封信还有4种可能共有49种不同的放法反思总结使用分步乘法计数原理做题时，必须是各步骤全部完成，事情才能完成，切忌缺步骤某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？解析先分三步选号，再计算总钱数按号段选号，分成三步第一步从01至17中选3个连续的号，有15种选法；第二步从19至29中选2个连续的号，有10种选法；第三步从30至36中选1个号，有7种选法由分步乘法计数原理可知，满足要求的号共有151071 050(注)，故至少要花1 05022 100(元).“分类加法”与“分步乘法”的辨析 现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人作中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？分析主要考查两个计数原理的综合应用， 先考虑分类再考虑分步解析(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法所以，不同的选法共有N7891034种(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以不同的选法共有N789105040种(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法所以，不同的选法共有N787971089810910431种反思总结对于综合问题，要清楚是先分类，每类之中有分步；还是先分步，每步之中有分类；一般是先分类再分步，分类时要确定分类标准及分类方案，以防重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性对于较复杂的两个原理的综合应用问题，恰当地画出示意图或表格，是解决这类问题的关键设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画(1)从中任选1幅画布置房间，有多少种选法？(2)从3种画中各选1幅布置房间，有多少种选法？解析(1)分3类计数：第一类：选出的是国画，有5种选法第二类：选出的是油画，有2种选法第三类：选出的是水彩画，有7种选法根据加法原理，共有52714种选法(2)分3步计数：第一步：选1幅国画，有5种选法第二步：选1幅油画，有2种选法第三步：选1幅水彩画，有7种选法根据乘法原理，共有52770种选法反思总结从5幅国画中任选1幅，对于第(1)问，完成了整件事；对于第(2)问，仅仅完成了一个环节，并没有完成整件事，所以第(1)问是分类，第(2)问是分步从具体的一个选法来看是否完成整件事，即可判断是采用分类加法，还是分步乘法.综合问题 分析方法一：给区域标记号A，B，C，D，E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，E区域涂的色依赖于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同，则有2种涂色方法，不相同，则只有1种，因此应先分类后分步方法二：由题意可知5个区域要着色，从4种不同颜色中选，而且相邻区域不能同色，可知至少要选3种颜色，这样可进行分类，选择3种颜色或4种颜色两类办法解法二：第一类：填涂4种颜色第1步，如图所示，将图中的5块区域合并成4块区域，有2种方式：1,2与4,3,5；1,2,3与5,4；第2步，将4种颜色分别填涂在4块区域上，有432124(种)方法所以将图着4色的方法有22448(种)第二类：填涂3种颜色第1步，将图中5块区域合并为3块区域，有一种方法：1,2与4,3与5；第2步，将3种颜色分别填涂在3块区域上，有43224(种)所以将图着3色的方法有12424(种)综上所述：不同的着色方法共有482472(种)反思总结本题是图形涂色问题图形涂色问题是利用两个原理处理的一种对能力要求较高的问题，需要特别关注图形的特征，有多少块区域，用多少种颜色如果图形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，每一类再进行分步综合运用两个原理时，要先分步还是先分类应视具体情况而定如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总共为多少种？分析有4种不同的花供选种，并不是4种花都种；AB、BC、CD、DA相邻种的花不同解答本题可按分步乘法计数原理，先种A，再种B，最后种C、D，也可按所种花的种类分类计数解析方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同的种法总数为N43(1322)84(种)方法二：若种4种花有432124(种)；若种3种花，则A和C或B和D相同，有243248(种)；若种2种花，则A和C相同且B和D相同，有4312(种)共有N24481284(种)反思总结解决此类给区域涂色(种植)问题的一般思路为：(1)便于分析问题先给区域(种植的品种)标上相应序号；(2)按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分类；(3)利用两个原理计数.正解分三步进行：第一步：确定个位上数字有6种选法；第二步：确定十位上数字，因个位上数字已定，其反面数字不能选取，只能从剩余的2张卡片中选取，有4种选法；第三步：确定百位上数字，只能从剩余的1张卡片中选取，有2种选法由分步乘法计数原理知，共有64248(个)不同的三位数反思总结本题是有约束条件的问题，即同一张卡片的两数在同一个三位数中不能同时出现，错解的原因是对题中条件体会认识不到位