第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系 与向量的概念与向量的概念一、空间直角坐标系二、空间两点的距离三、向 量 的 概 念一、空间直角坐标系 过空间一点过空间一点O引三条相互引三条相互垂直的数轴垂直的数轴Ox，Oy，Oz，1 1 定定 义义 一般一般地，它们有相同的长度单位，地，它们有相同的长度单位，这样就建立了空间直角坐标系，这样就建立了空间直角坐标系，如右图。如右图。其中，其中，O称坐标原点，称坐标原点，OX X、Oy y、Oz z为坐标轴。为坐标轴。（纵轴）（纵轴）Oxyz（横轴）（横轴）（竖轴）（竖轴）正方向满足右手法则。正方向满足右手法则。2 坐标面和空间的划分Oxyz3 空间点的坐标空间任意一点空间任意一点A有序数组（有序数组（x x，y y，z z）xOyzA二、空间两点的距离设设M M1 1（x x1 1,y,y1 1,z,z1 1),M),M2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )是空间两点，如图，是空间两点，如图，如何求如何求|M|M1 1M M2 2| |？xOyzM1M2x1x2y1y2z1z2NP 所以有所以有 特殊地，空间任一点特殊地，空间任一点A A（x x，y y，z z）到坐标原点）到坐标原点O O的距离为的距离为例例1 1 在在z z轴上求与点轴上求与点A(-4A(-4，1 1，7)7)和点和点B B（3 3，5 5，-2-2）等距离的点等距离的点M M，并求，并求ABAB的中点坐标。的中点坐标。解：解：因为点因为点M M在在z z轴上，轴上，则设其坐标为则设其坐标为M M（0 0，0 0，z z）。）。依题意得依题意得|MA|=|MB|MA|=|MB|，故有故有所以所以，故所求的点的坐标为故所求的点的坐标为M M（0 0，0 0， ）设设A，B中点坐标为中点坐标为故有故有三、向量的概念1 1 定义定义既有大小又有方向的量称为既有大小又有方向的量称为向量向量， 用有向线段表示，用有向线段表示，如图。如图。或用或用AB或用黑体字或用黑体字a，b等表示。等表示。a向量的大小称为向量的向量的大小称为向量的模模，用用等表示。等表示。长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量， 用用 等表示。等表示。始点和终点重合的向量称为始点和终点重合的向量称为零向量零向量，用用O表示，表示，其方向任意。其方向任意。2 向量的关系和运算（1）向量的相等）向量的相等方向相同，模相等的两个向量方向相同，模相等的两个向量a、b称为称为相等相等，记作，记作a=b。向量仅与模、方向有关，而与始点的位置无关。向量仅与模、方向有关，而与始点的位置无关。（2）向量的加法）向量的加法平行四边形法则平行四边形法则aba+b或三角形法则：或三角形法则：abba+b运运 算算 律律交换律交换律 a+b=b+a结合律结合律 （a+b）+c=a+（b+c）（3）向量的减法）向量的减法负向量：负向量： 与向量与向量a模相等而方向相反的向量称为模相等而方向相反的向量称为a的的负向量负向量，记作记作-a。 向量向量a减去向量减去向量b，可以看成向量，可以看成向量a加上向量加上向量b的负向的负向量量-b，即，即a-b=a+（-b）。）。如图所示如图所示aba-b（4）数与向量的乘积）数与向量的乘积定义：定义： 数量数量与向量与向量a的乘的乘积记为 a，它是一个向，它是一个向 量。量。模模| a|=| |a|；方向：方向：如果如果0，则与向量，则与向量a a的方向相同；的方向相同；如果如果0，则与向量，则与向量a a的方向相反；的方向相反；运算律：运算律： （a）=（ ）a（ ， 为实数）为实数）（ +）a= a+ a（ ，为实数）为实数） （a+b）= a+ b（ 为实数）为实数）例例2如图的三角形如图的三角形ABCABC，ABCD、E是是BC边上三等分点，边上三等分点，DE设设试用试用a，b表示向量表示向量 。解：解： 由三角形法则知：由三角形法则知：再由数与向量的乘积，得再由数与向量的乘积，得从从ABDABD及及AECAEC中可得中可得所以所以