北京航空航天大学204教研室 孙国梁1第二章第二章离散时间系统变换域分析离散时间系统变换域分析2.1 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换2.2 Z Z变换及其性质变换及其性质2.3 系统函数及频率响应2.4 LTILTI系统幅相特性分析系统幅相特性分析北京航空航天大学204教研室 孙国梁2n定义？定义？n基本序列的基本序列的DTFT?DTFT?nDTFTDTFT的主要性质？的主要性质？2.12.1序列傅立叶变换序列傅立叶变换( (DTFT)DTFT)北京航空航天大学204教研室 孙国梁3一、一、DTFTDTFT及逆变换定义及逆变换定义n序序列列的的傅傅立立叶叶变变换换（DTFT)DTFT)用用来来表表示示离离散散时时间间非周期信号非周期信号及其及其傅立叶频谱傅立叶频谱之间的关系：之间的关系：n正变换：正变换：n反变换反变换: :n由由于于三三角角函函数数的的周周期期性性，反反变变换换右右边边的的积积分分区区间间可可以为以为任何一个周期任何一个周期区间区间。 北京航空航天大学204教研室 孙国梁4二、二、DTFT反变换推导反变换推导北京航空航天大学204教研室 孙国梁5n（一）单位冲激序列（一）单位冲激序列n（二）（二）单位常数序列单位常数序列n（三（三）单位阶跃序列单位阶跃序列n（四）指数序列（四）指数序列三、典型序列的傅立叶变换：三、典型序列的傅立叶变换：矩形窗的DTFT北京航空航天大学204教研室 孙国梁6北京航空航天大学204教研室 孙国梁7四、序列傅立叶变换的主要性质四、序列傅立叶变换的主要性质n1、线性n2、时域平移-频域调制n3、时域调制-频域平移n4、时域翻褶北京航空航天大学204教研室 孙国梁8n5、时域相乘n6、时域卷积n7、帕塞瓦尔定理北京航空航天大学204教研室 孙国梁9n共轭对称序列：共轭对称序列：n共轭反对称序列：共轭反对称序列：n可以证明：可以证明：共轭反对称序列共轭反对称序列的性质如何？的性质如何？8、DTFT的的对称性对称性北京航空航天大学204教研室 孙国梁10序列共轭分量的傅立叶变换序列共轭分量的傅立叶变换与序列傅立叶变换的共轭分量的关系与序列傅立叶变换的共轭分量的关系北京航空航天大学204教研室 孙国梁11 同理可得：同理可得： 结论：结论：对对实序列实序列而言而言，其傅立叶变换是其傅立叶变换是共轭对称的共轭对称的，即：，即：实序列的傅立叶变换的实序列的傅立叶变换的实部实部是是偶对称，虚部偶对称，虚部是是奇对称；奇对称；幅度幅度是是偶对称，幅角偶对称，幅角是是奇对称。奇对称。 北京航空航天大学204教研室 孙国梁12北京航空航天大学204教研室 孙国梁13北京航空航天大学204教研室 孙国梁142.2 Z变换及性质n一、一、Z变换定义变换定义n二、二、Z变换变换收敛域收敛域n三、三、Z变换性质定理变换性质定理n四、四、Z反变换反变换北京航空航天大学204教研室 孙国梁15n设序列为设序列为x(n)，则，则幂级数幂级数：n称为序列称为序列x(n)的的Z变换变换，其中，其中z为变量。为变量。也可记作：也可记作：n当当幂级数收敛幂级数收敛时，时，Z变换变换才有意义才有意义。Z变换收敛的所有变换收敛的所有z值的集合称为值的集合称为收敛域收敛域。n在收敛域内，在收敛域内，Z变换处处解析，不含任何奇异点。变换处处解析，不含任何奇异点。一、一、Z变换定义及收敛域变换定义及收敛域北京航空航天大学204教研室 孙国梁16n根据根据级数理论级数理论，幂级数收敛的充分且必，幂级数收敛的充分且必要条件是该级数要条件是该级数绝对可和绝对可和，即要求：，即要求：n对于不同形式的序列，其收敛域的形式对于不同形式的序列，其收敛域的形式亦有所不同，分类讨论如下亦有所不同，分类讨论如下二、不同序列的收敛域 北京航空航天大学204教研室 孙国梁17nX(z)为有限项级数之和，只要级数的为有限项级数之和，只要级数的每每一项有界一项有界，则级数就是，则级数就是收敛收敛的。的。n收敛域至少包括收敛域至少包括有限有限Z平面平面1、有限长序列有限长序列x(n)n北京航空航天大学204教研室 孙国梁18n根据区间的不同，级数有可根据区间的不同，级数有可能在能在原点原点和和无穷远无穷远出现奇异出现奇异点，故仍可细分为如下三种点，故仍可细分为如下三种情况：情况：n1）、）、正半轴正半轴有限长序列，有限长序列，其收敛域为其收敛域为有限有限Z平面和无平面和无穷远点穷远点；n2）、）、负半轴负半轴有限长序列，有限长序列，其收敛域为其收敛域为有限有限Z平面和原平面和原点；点；n3）、跨原点有限长序列，）、跨原点有限长序列，则收敛域仅为则收敛域仅为有限有限Z平面平面；北京航空航天大学204教研室 孙国梁19n第一部分第一部分若若存在，则为一负半轴有限长序列，其收敛存在，则为一负半轴有限长序列，其收敛域为不包括无穷远点的所有域为不包括无穷远点的所有Z平面。平面。n第二部分是第二部分是z的负幂级数，由的负幂级数，由阿贝尔定理阿贝尔定理可知，存在一可知，存在一个个最小的收敛半径最小的收敛半径，在此半径外的任何点级数都绝对，在此半径外的任何点级数都绝对收敛。收敛。 2、右边序列、右边序列x(n)n北京航空航天大学204教研室 孙国梁20右右边边序序列列Z Z变变换换的的收收敛敛域域至至少少从从某某一一不不为为零零的的有有限限半半径径处处向向外外扩扩张张的的有有限限Z Z平平面面；若若 ，还要包括无穷远点。，还要包括无穷远点。 时时的的右右边边序序列列又又称称为为因因果果序序列列，是是最最重重要要的的一一种种右右边边序序列列。因因此此，在在无无穷穷远远处处收收敛是因果序列的重要特征敛是因果序列的重要特征。北京航空航天大学204教研室 孙国梁21x(n)n3、左边序列、左边序列n若第一部分存在，则为正半轴有限长序列，若第一部分存在，则为正半轴有限长序列，其收敛域为其收敛域为不包括原点不包括原点的所有的所有Z平面。平面。n第二部分是第二部分是z的正幂级数，由阿贝尔定理知，的正幂级数，由阿贝尔定理知，存在一个存在一个最大的收敛半径最大的收敛半径 ，在此半径内的，在此半径内的任何点级数都绝对收敛。任何点级数都绝对收敛。北京航空航天大学204教研室 孙国梁22左左边边序序列列的的收收敛敛域域至至少少从从某某一一不不有有限限半半径处向内收敛的圆形区域径处向内收敛的圆形区域 ；在在 时（反因果序列），还包括原点。时（反因果序列），还包括原点。北京航空航天大学204教研室 孙国梁234、双边序列、双边序列n在全部时轴上皆有定义的序列，可以看作在全部时轴上皆有定义的序列，可以看作左边序列和右边序列之和（或者因果序左边序列和右边序列之和（或者因果序列与反因果序列之和）。列与反因果序列之和）。n其收敛域应该是其收敛域应该是正半轴正半轴序列与序列与负半轴负半轴序列序列收敛域的收敛域的重叠重叠北京航空航天大学204教研室 孙国梁24n设第一项的收敛区域为：设第一项的收敛区域为： ，第二项的收敛区，第二项的收敛区域为：域为： ；n 1）、若）、若 ,则双边序列则双边序列Z变换的收敛域为变换的收敛域为环状区域环状区域： ；n 2）、若）、若 ，则双边序列，则双边序列Z变换在变换在Z平面上平面上处处不收敛处处不收敛。 北京航空航天大学204教研室 孙国梁25n解：解：n 这是一个无穷项等比级数求和，由这是一个无穷项等比级数求和，由比例判比例判定法定法可知，只有在可知，只有在 ，即，即 时，时，级数收敛为：级数收敛为：Ex:求求 Z变换及收敛域。变换及收敛域。北京航空航天大学204教研室 孙国梁26 Ex:求求 Z变换及收敛域。变换及收敛域。n解：解：n 这是一个无穷项等比级数求和，由这是一个无穷项等比级数求和，由比例判比例判定法定法可知，只有在可知，只有在 ，即，即 时，时，级数收敛为：级数收敛为：北京航空航天大学204教研室 孙国梁27结论：n不同不同的序列其的序列其Z变换的数学表达式可以完全变换的数学表达式可以完全一致一致。n对于一个序列而言，仅仅用其对于一个序列而言，仅仅用其Z变换来表示变换来表示是是不够充分不够充分的，必须同时给出其的，必须同时给出其Z变换的变换的收收敛范围敛范围。n同一个同一个Z变换函数，当收敛域不同时，代表变换函数，当收敛域不同时，代表时轴上性质不同的序列。时轴上性质不同的序列。n对于仅具有对于仅具有三个极点三个极点的的Z变换，可以代表变换，可以代表四种序四种序列列。如下图所示：。如下图所示： 北京航空航天大学204教研室 孙国梁28 北京航空航天大学204教研室 孙国梁29三、三、Z变换性质定理变换性质定理n1、线性、线性n需要需要注意注意的是的是n若参与和运算的序列在若参与和运算的序列在时域上不重合时域上不重合，则相加后的和，则相加后的和序列的收敛域为各个序列的收敛域的序列的收敛域为各个序列的收敛域的交集交集n若不满足上述条件，则线性组合过程中两个序列若不满足上述条件，则线性组合过程中两个序列Z变变换的零、极点可能会互相抵消，导致收敛域的换的零、极点可能会互相抵消，导致收敛域的扩大扩大。北京航空航天大学204教研室 孙国梁302、序列的移位序列的移位n序列的移位仅对序列的移位仅对有限长有限长、单边单边序列（左边序序列（左边序列、右边序列）在原点和无穷远点处的是否列、右边序列）在原点和无穷远点处的是否收敛有影响。收敛有影响。n对于对于双边序列双边序列，由于它的收敛域为环形域，由于它的收敛域为环形域，不包括原点和无穷远点，所以不包括原点和无穷远点，所以收敛域不发生收敛域不发生变化变化。 北京航空航天大学204教研室 孙国梁31n在尺度变换中，若在尺度变换中，若a为实数，则零、极点在为实数，则零、极点在Z平面上沿平面上沿径向运动径向运动；n若若a为单位复数，则零、极点在以原点为圆心为单位复数，则零、极点在以原点为圆心的园上的园上旋转旋转；n若若a为任意复数，则零、极点既有径向伸缩，为任意复数，则零、极点既有径向伸缩，又有角度旋转。又有角度旋转。3、Z域域尺度变换尺度变换北京航空航天大学204教研室 孙国梁324、序列线性加权序列线性加权（Z域求导）域求导）n序列的线性加权对收敛域的影响与序列的序列的线性加权对收敛域的影响与序列的移位相类移位相类似似，仅对有限长、单边序列（左边序列、右边序列），仅对有限长、单边序列（左边序列、右边序列）在原点和无穷远点的是否收敛有影响。在原点和无穷远点的是否收敛有影响。n对于双边序列，由于它的收敛域为环形域，不包括对于双边序列，由于它的收敛域为环形域，不包括原点和无穷远点，所以收敛域也不发生变化。原点和无穷远点，所以收敛域也不发生变化。北京航空航天大学204教研室 孙国梁335、共轭序列、共轭序列n此处要注意，原序列此处要注意，原序列Z变换极点的共轭是共变换极点的共轭是共轭序列轭序列Z变换的极点。变换的极点。n由于共轭关系仅关于由于共轭关系仅关于X轴对称，不影响极点轴对称，不影响极点矢径的长度，因而矢径的长度，因而不改变收敛半径和收敛不改变收敛半径和收敛域域。北京航空航天大学204教研室 孙国梁346、序列翻褶、序列翻褶n序列的翻褶导致序列的翻褶导致Z变换的收敛域以变换的收敛域以单位圆单位圆为基准作了为基准作了镜像映射镜像映射北京航空航天大学204教研室 孙国梁357、初值定理（、初值定理（因果序列因果序列）北京航空航天大学204教研室 孙国梁368、终值定理、终值定理n若序列为若序列为因果序列因果序列，并且极点处于单位，并且极点处于单位圆以内（若恰好在单位圆上，则圆以内（若恰好在单位圆上，则最多可最多可在在z=1处有一阶极点处有一阶极点），则：），则：北京航空航天大学204教研室 孙国梁37北京航空航天大学204教研室 孙国梁389、时域累加（、时域累加（因果序列因果序列）北京航空航天大学204教研室 孙国梁3910、时域卷积和、时域卷积和n若时域为卷积和，则若时域为卷积和，则Z域是相乘，乘积的收敛域是域是相乘，乘积的收敛域是X(z)收敛域和收敛域和H(z)收敛域的收敛域的交集交集。n需要需要注意注意的是，上述结论是在两个卷积和序列无零、极点的是，上述结论是在两个卷积和序列无零、极点对消的情况下才成立。若出现对消的情况下才成立。若出现零、极点对消零、极点对消，则收敛域将，则收敛域将会会扩大扩大。 n利用利用卷积和定理，可以求得卷积和定理，可以求得LTI系统的响应系统的响应北京航空航天大学204教研室 孙国梁4011、时域相乘（、时域相乘（Z域复卷积域复卷积）北京航空航天大学204教研室 孙国梁41 证明：证明：北京航空航天大学204教研室 孙国梁42n为了使复卷积数学意义明显，令围线为一个以原为了使复卷积数学意义明显，令围线为一个以原点为圆心的圆，即：点为圆心的圆，即：n 则复卷积公式变为：则复卷积公式变为：n由于积分是在由于积分是在 到到 的周期上进行的，所以称的周期上进行的，所以称为为周期卷积周期卷积。 北京航空航天大学204教研室 孙国梁4312、帕塞瓦定理、帕塞瓦定理北京航空航天大学204教研室 孙国梁44 若积分围线取为单位圆，即：若积分围线取为单位圆，即： 则有：则有： 再进一步，若令再进一步，若令 ，则有：，则有： 上式表明：上式表明：时域中序列的能量与变换域中频谱的能时域中序列的能量与变换域中频谱的能量是一致的量是一致的。 北京航空航天大学204教研室 孙国梁45n从给定的从给定的Z变换变换及其及其收敛域中收敛域中还原出原始还原出原始序列序列x(n)，称为，称为Z反变换反变换nZ反变换的实质是求反变换的实质是求X(Z)的幂级数展开式，的幂级数展开式，通常有三种方法：通常有三种方法：长除法、部分分式法、长除法、部分分式法、留数法留数法（围线积分法）。（围线积分法）。四、四、Z反变换反变换北京航空航天大学204教研室 孙国梁46部分分式法部分分式法n在实际应用中，一般在实际应用中，一般X(z)是是z的的有理分式有理分式：nA(z)及及B(z)都是变量都是变量z的的实系数实系数多项式，并多项式，并且且没有公因式没有公因式，则可展成部分分式形式，则可展成部分分式形式北京航空航天大学204教研室 孙国梁47例题： 求x(n)n解：由可知有两个一阶极点， 可展成n由所给的收敛域可知，对应第一极点z1=2为反因果序列，对应第二极点z2=0.5为因果序列,所以原始序列为：北京航空航天大学204教研室 孙国梁48作业：n2.8n2.11n2.17n2.44n3.1(b)、(g) n3.3 n3.4n3.6(c) n3.9n3.28 2.3.1 LTI的系统函数的系统函数北京航空航天大学204教研室 孙国梁49n一、一、 系统函数定义系统函数定义nLTI系统可以由其单位冲激响应来完整表示，即：系统可以由其单位冲激响应来完整表示，即：nH(z)描述了系统输入输出之间的关系，称之为描述了系统输入输出之间的关系，称之为传递传递函数函数或或系统函数系统函数。北京航空航天大学204教研室 孙国梁50n线性时不变系统线性时不变系统稳定稳定的的充分必要条件充分必要条件是：是：n系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应绝对可和绝对可和n如果系统函数的如果系统函数的收敛域包括单位圆收敛域包括单位圆，则系统是，则系统是稳定的，反之亦成立；即系统的稳定的，反之亦成立；即系统的频率响应存在频率响应存在且连续且连续。二、二、 系统函数与因果、稳定性的关系系统函数与因果、稳定性的关系北京航空航天大学204教研室 孙国梁51n对于对于因果系统因果系统而言，其收敛域：而言，其收敛域： 。nLTI因果稳定的充分必要条件因果稳定的充分必要条件是：是：n收敛域必须包括收敛域必须包括单位圆及单位圆外的所有区域单位圆及单位圆外的所有区域，n系统函数的系统函数的全部极点必须在单位圆内部全部极点必须在单位圆内部。 ZS不稳定稳定北京航空航天大学204教研室 孙国梁52n常系数线性差分方程处于常系数线性差分方程处于零状态零状态时，可描述时，可描述线性时不变系统线性时不变系统。n系统函数为：系统函数为：三、系统函数与差分方程的关系三、系统函数与差分方程的关系结论n差分方程和系统函数的系数对应；差分方程和系统函数的系数对应；n仅由差分方程得来的仅由差分方程得来的系统函数系统函数并没有给定并没有给定收敛收敛域域，因而可代表不同的系统；，因而可代表不同的系统；n差分方程差分方程并不唯一地确定一个并不唯一地确定一个LTI系统的单位系统的单位抽样响应抽样响应,需要有相应的需要有相应的边界条件边界条件；n系统函数实际上仅描述了系统在零状态下的情系统函数实际上仅描述了系统在零状态下的情况况，即可以用于解决零状态的常系数线性差分，即可以用于解决零状态的常系数线性差分方程，对于非零状态则无法解决方程，对于非零状态则无法解决北京航空航天大学204教研室 孙国梁53北京航空航天大学204教研室 孙国梁54单边单边Z变换变换n系统函数实际上仅仅描述了系统在零状态下的系统函数实际上仅仅描述了系统在零状态下的情况情况，即可以用于解决零状态的常系数线性差，即可以用于解决零状态的常系数线性差分方程，对于非零状态则无法解决。分方程，对于非零状态则无法解决。n主要原因主要原因在于采用的是在于采用的是双边双边Z变换变换。n为了能够完整地解决系统的非零状态解的问题，为了能够完整地解决系统的非零状态解的问题，将对双边将对双边Z变换进行变形，构成变换进行变形，构成单边单边Z变换变换,如如下：下：北京航空航天大学204教研室 孙国梁55其时移特性如下：其时移特性如下：北京航空航天大学204教研室 孙国梁56n单边单边Z变换的时移特性比双边变换的时移特性比双边Z变换的时移特性复杂，变换的时移特性复杂，但却可以用来但却可以用来解决解决差分方程差分方程非零状态非零状态的问题。的问题。n Ex:求解差分方程：求解差分方程：n 其中：其中：n 初始条件为：初始条件为： 。n 解：对差分方程两边同时进行单边解：对差分方程两边同时进行单边Z变换，得到：变换，得到：北京航空航天大学204教研室 孙国梁57n将初始条件代入后可得：将初始条件代入后可得：n所以：所以：2.3.2 频率响应n同样道理北京航空航天大学204教研室 孙国梁58l1、单位圆上的系统函数是单位圆上的系统函数是频率响应。频率响应。l2、传递函数存在，频率响应未必存在；l3、任意信号通过任意信号通过LTI系统系统不会产生新频率分量不会产生新频率分量。一、一、LTI对信号频谱的作用对信号频谱的作用北京航空航天大学204教研室 孙国梁59n设设LTI输入的复指数序列为：输入的复指数序列为： 1、输出信号与输入为同频信号，、输出信号与输入为同频信号， 2、输出信号幅度受频率响应的、输出信号幅度受频率响应的幅值加权幅值加权， 3、输出信号相位为输入信号的、输出信号相位为输入信号的“相位相位”与系统相位响应与系统相位响应之和之和频谱及频率响应的再解释n信号的频率分量（DTFT再解释）北京航空航天大学204教研室 孙国梁60n1、输入信号输入信号可可看作看作在在频域上分段划分的许频域上分段划分的许多个多个复指数分量复指数分量信号信号n2、系统、系统响应响应是系统对是系统对输入信号的每一个输入信号的每一个复复指数分量响应之和指数分量响应之和北京航空航天大学204教研室 孙国梁61输入为正、余弦信号输入为正、余弦信号n设设n由复信号的情况，则得系统的输出为：由复信号的情况，则得系统的输出为：北京航空航天大学204教研室 孙国梁62n假设假设 是实序列，则是实序列，则 满足共轭对称条件，满足共轭对称条件， 幅度幅度 为偶对称，相角为偶对称，相角 为奇对称。为奇对称。所以有：所以有：增益和群延迟的理解北京航空航天大学204教研室 孙国梁63北京航空航天大学204教研室 孙国梁64北京航空航天大学204教研室 孙国梁65n式中式中 是系统的零点，是系统的零点， 是系统的极点，它是系统的极点，它们都由差分方程的系数们都由差分方程的系数 和和 决定。决定。n另外也可以看出，除比例常数另外也可以看出，除比例常数K以外，以外，系统系统函数完全由它的全部零点、极点来确定函数完全由它的全部零点、极点来确定。二、系统零极点与频率响应的关系二、系统零极点与频率响应的关系幅度响应幅度响应n原点处的零、极点对幅度响应无任何影响原点处的零、极点对幅度响应无任何影响。n经过经过单位圆上单位圆上的一个的一个零点，幅度响应零点，幅度响应就就变为零变为零，经过，经过靠近靠近单位圆的零点则会出现单位圆的零点则会出现谷点谷点；n经过单位圆经过单位圆附近的极点附近的极点时时幅度响应幅度响应就会出现就会出现峰点峰点n远离极点和零点的区域幅度特性会比较平坦远离极点和零点的区域幅度特性会比较平坦相位响应北京航空航天大学204教研室 孙国梁67n原点处的零、极点对相位响应为线性作用，极点为正群延迟（滞后），零点为负群延迟（超前）原点处的零、极点对相位响应为线性作用，极点为正群延迟（滞后），零点为负群延迟（超前）。n单位圆内部的零点或极点会造成相位的连续增长或变化，而单位圆外的零极点对相位的影响则随频单位圆内部的零点或极点会造成相位的连续增长或变化，而单位圆外的零极点对相位的影响则随频率周期性变化归零率周期性变化归零n靠近靠近单位圆的零点和极点会造成相位的剧烈变化，导致较大的群延迟；单位圆的零点和极点会造成相位的剧烈变化，导致较大的群延迟；n远离极点和零点的区域相位特性会比较平坦远离极点和零点的区域相位特性会比较平坦。北京航空航天大学204教研室 孙国梁68北京航空航天大学204教研室 孙国梁69北京航空航天大学204教研室 孙国梁70北京航空航天大学204教研室 孙国梁71北京航空航天大学204教研室 孙国梁72总结：总结：n系统函数n定义（前提 LTI)n因果稳定性的约束n与差分方程的关系n频率响应n定义（稳定的LTI）n对输入信号的作用n频谱分量n特征函数n增益和相位及群延迟n与零极点的关系n幅度与零极点n相位与零极点北京航空航天大学204教研室 孙国梁73北京航空航天大学204教研室 孙国梁74作业n2.32n2.33n2.42n3.40n3.41n5.1 5.4 5.12