第五章 平面向量5.3平面向量的数量积及其应用高考理数高考理数考点一数量积的定义考点一数量积的定义1.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos叫做a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos,并规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)一向量在另一向量方向上的投影定义:设是两个非零向量a和b的夹角,则|a|cos叫做a在b方向上的投影,|b|cos叫做b在a方向上的投影.a在b(或b在a)方向上的投影是一个实数,而不是向量,当090时,它是正数,当90180时,它是负数,当=90时,它是0.知识清单ab的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积.2.向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos.(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地:aa=a2=|a|2或|a|=.(4)|ab|a|b|.(5)cos=(是a与b的夹角).3.向量数量积的运算律(1)ab=ba(交换律).(2)(a)b=(ab)=a(b)(R)(数乘结合律).(3)(a+b)c=ac+bc(分配律).考点二平面向量的长度问题考点二平面向量的长度问题1.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)ab=x1x2+y1y2.(2)|a|=,|b|=.2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|=.考点三平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用考点三平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)若a与b的夹角为,则cos=.(2)abx1x2+y1y2=0.向量的长度即向量的模,通常有以下求解方法:(1)|a|=;(2)|ab|=;(3)若a=(x,y),则|a|=;(4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长;(5)通过解方程(组)求解.例1(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.求向量长度的方法求向量长度的方法方法1方法技巧解析解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4,|a+b|+|a-b|4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4.=,|a+b|+|a-b|2.当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时ab=0.故当ab时,|a+b|+|a-b|有最大值2.解法二:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|,得1x3.设y=|a-b|,同理,1y3.而x2+y2=2a2+2b2=10,故可设x=cos,cos,y=sin,sin.设1,2为锐角,且sin1=,sin2=,则有12,又012,则x+y=(cos+sin)=2sin,1+2+,而1+2+,故当+=,即=时,x=y,此时|a+b|=|a-b|,所以当ab时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2.又sin=sin=,故当=1或=2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时ab,x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4.解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1.则|a+b|+|a-b|=+=+=+=,0x21,故当x=0,即ab时,|a+b|+|a-b|有最大值2,当x2=1,即ab时,|a+b|+|a-b|有最小值4.答案4;21.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出它们之间的关系.2.若已知a与b的坐标,则可直接利用公式cos=,平面向量a与b的夹角0,.3.转化成解三角形,利用正弦定理或余弦定理求解.例2(2017湖南五市十校联考,8)ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则向量a,b的夹角为(C)A.30B.60C.120D.150求向量夹角问题的方法求向量夹角问题的方法方法2解析解法一:设向量a,b的夹角为,由已知得=-=2a+b-2a=b,|b|=|=2,|=2|a|=2,|a|=1,则=(2a+b)2=4a2+4ab+b2=8+8cos=4,cos=-,又0180,=120.故选C.解法二:=-=2a+b-2a=b,则向量a与b夹角为向量与的夹角,故a与b的夹角为120,选C.向量既有大小又有方向,具有数和形的特征.在解题时要注意利用数形结合的方法.若题设中有动点问题,将涉及变量的值或范围问题,应重视函数的思想方法.在求值问题中应重视方程的思想方法.例3(2017课标全国,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是(B)A.-2B.-C.-D.-1数形结合的方法和方程与函数的思想方法数形结合的方法和方程与函数的思想方法方法3解题导引解析设BC的中点为D,AD的中点为E,则有+=2,则(+)=2=2(+)(-)=2(-).而=,当P与E重合时,有最小值0,故此时(+)取最小值,最小值为-2=-2=-.方法总结在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用=-可快速求出最值.一题多解以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.(+)=2=2(-1-x,-y)=2(x+1)+y=2+-.因此,当x=-,y=时,(+)取得最小值,为2=-,故选B.例4(2017天津,13,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值为.解题导引解析如图,由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos60=3,=9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解得=.答案一题多解以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,BAC=60,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=-=(1,)-(3,0)=(-3,),因此=(-3)+=-5=-4,解得=.