定积分元素法定积分元素法和和我们知道求由我们知道求由所围成的曲边梯形所围成的曲边梯形的面积的面积 A 须经过以下四个步骤：须经过以下四个步骤： （2）近似计算：）近似计算： （4）取极限：）取极限： （3）求和：）求和：分成分成n个小区间，个小区间，（1）分割）分割: 把把设第设第 i 个小曲边梯形的面积为个小曲边梯形的面积为则：则：第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法2例例3 求椭圆求椭圆所围成的图形的面积所围成的图形的面积利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程应用定积分换元法，令应用定积分换元法，令则：则：当当 x 由由 0 变到变到 a 时，时，t 由由变到变到0，所以：，所以：设椭圆在第一象限部分的面积为设椭圆在第一象限部分的面积为 解解则椭圆的面积为则椭圆的面积为9一般地，当曲边梯形的曲边一般地，当曲边梯形的曲边:由参数方程由参数方程给出时，给出时， 则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知， 曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为在在（或（或）上具有连续导数，）上具有连续导数，适合：适合：如果如果连续连续10二、极坐标情形二、极坐标情形 下面我们求下面我们求这个曲边扇形的面积。这个曲边扇形的面积。所以曲边扇形的面积为：所以曲边扇形的面积为： 设由曲线设由曲线及射线及射线围成一图形（称为围成一图形（称为曲边扇形）。曲边扇形）。面积元素为：面积元素为： 为为取极角取极角积分变量，积分区间为积分变量，积分区间为任取小区间任取小区间，。在在上连续，且上连续，且假设假设。圆扇形面积公式为圆扇形面积公式为11例例4 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线上相应于上相应于 从从0 变到变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积。的一段弧与极轴所围成的图形的面积。在此区间上任取小区间在此区间上任取小区间 ，于是所求面积为于是所求面积为面积元素为面积元素为 解解积分变量为积分变量为积分区间为积分区间为12 例例5 计算心形线计算心形线所围成的图形面积。所围成的图形面积。因此所求图形的面积因此所求图形的面积 A 是极轴以上部分图形面积是极轴以上部分图形面积 的两倍，的两倍，注：当然这个题可以用定积分的元素法来解。注：当然这个题可以用定积分的元素法来解。 解解 如图所示，这个图形关于极轴对称如图所示，这个图形关于极轴对称,即即13结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！14