1一、几何非线性问题基本理论一、几何非线性问题基本理论二、几何非线性有限元方程的建立二、几何非线性有限元方程的建立三、非线性结构分析简介三、非线性结构分析简介四、非线性分析的基本过程四、非线性分析的基本过程五、几何非线性五、几何非线性六、屈曲分析六、屈曲分析七、材料非线性七、材料非线性第第7讲讲2在经典的材料力学和弹性力学中有一个基本假设，即位移与应变在经典的材料力学和弹性力学中有一个基本假设，即位移与应变关系是线性的，且应变为小量，这样得到的最后方程是线性的。关系是线性的，且应变为小量，这样得到的最后方程是线性的。 但在实际工程领域内，这个线性假设往往不再适用，例如航空薄壁结构、但在实际工程领域内，这个线性假设往往不再适用，例如航空薄壁结构、在某些载荷情况下的薄板和薄壳、机械上的柔软支架等，位移可以较大，在某些载荷情况下的薄板和薄壳、机械上的柔软支架等，位移可以较大，因此位移与应变关系不可用线形关系来描述。更有一些力学现象，例如金因此位移与应变关系不可用线形关系来描述。更有一些力学现象，例如金属的塑性变形、金属辗压成形等，属的塑性变形、金属辗压成形等，应变超过应变超过10%10%以上以上，因此要用大应变，因此要用大应变( (或或称有限应变称有限应变) )理论。理论。 凡考虑位移与应变的非线性关系或采用大应变理论均属于凡考虑位移与应变的非线性关系或采用大应变理论均属于几何非线性几何非线性问题问题，几何非线性包括大位移的小应变问题以及大位移大应变问题。，几何非线性包括大位移的小应变问题以及大位移大应变问题。 3(2) 柯西柯西(Cauchy)应变，也称阿尔曼西应变，也称阿尔曼西(Almansi)应变或欧拉应变或欧拉(Eular)应变应变 (1) 格林格林(Green)应变，也称格林拉格朗日应变，也称格林拉格朗日(GreenLargrange)应变应变 结构的变形结构的变形 41物质描述物质描述2. 参照描述参照描述3. 相对描述相对描述 很少用于连续介质力学和有限元法中很少用于连续介质力学和有限元法中 拉格朗日描述拉格朗日描述 位移是以原始构形为出发点位移是以原始构形为出发点 独立变量为任意选择的参照构形中质点独立变量为任意选择的参照构形中质点P P的当前坐标与时的当前坐标与时间间t t，其中参照构形的任意选择是任意的，而且不影响计，其中参照构形的任意选择是任意的，而且不影响计算结果算结果 用时间用时间t tn n的构形为参考构形的当前质点坐标。的构形为参考构形的当前质点坐标。 更新的拉格朗日描述更新的拉格朗日描述 54. 空间描述空间描述 5. 任意拉格朗任意拉格朗日欧拉描述日欧拉描述 独立变量是质点独立变量是质点P P当前位置当前位置x xi in+1n+1( (i i=1,2,3)=1,2,3)和和t t。在瞬时。在瞬时t t的运的运动是以变形后该时刻的构形为观察的依据。这种描述称为动是以变形后该时刻的构形为观察的依据。这种描述称为欧欧拉描述拉描述。在欧拉描述中，有限元网格在空间是固定的，材料。在欧拉描述中，有限元网格在空间是固定的，材料流过这些网格，因此它适用于流体及定常运动过程，如稳态流过这些网格，因此它适用于流体及定常运动过程，如稳态挤压过程。由于拉格朗日描述的坐标附着在物质点上，因而挤压过程。由于拉格朗日描述的坐标附着在物质点上，因而易于引入本构关系和处理表面载荷问题易于引入本构关系和处理表面载荷问题。 任意拉格朗日欧拉描述又称任意拉格朗日欧拉描述又称耦合拉格朗日欧拉描述耦合拉格朗日欧拉描述。在在ALEALE描述中，另外引入了一个独立于初始构形和现时构描述中，另外引入了一个独立于初始构形和现时构形的参照构形，在物体变形过程中，观察者始终跟随参照形的参照构形，在物体变形过程中，观察者始终跟随参照构形运动，因而对观察者而言，参照构形是固定不动的，构形运动，因而对观察者而言，参照构形是固定不动的，而初始构形和现时构形都相对于参照构形运动。而初始构形和现时构形都相对于参照构形运动。 6一是从虚功原理出发，直一是从虚功原理出发，直接使用应力与共轭应变。接使用应力与共轭应变。几何非线性有限元法至今没有一个统一的方法，从不同的能几何非线性有限元法至今没有一个统一的方法，从不同的能量原理，应变位移方程和不同的应力和应变可以得到不同的量原理，应变位移方程和不同的应力和应变可以得到不同的非线性有限元方程。非线性有限元方程。在建立几何非线在建立几何非线性方程时，选择性方程时，选择的能量平衡方程的能量平衡方程大体有两类：大体有两类：另一类是由增量变形的变分另一类是由增量变形的变分原理出发，使用应变率和应原理出发，使用应变率和应变率。变率。71 全拉格朗日列式法全拉格朗日列式法(T.L) 设一个运动的物体，假定对于时刻以前的解均已得设一个运动的物体，假定对于时刻以前的解均已得到，当前的目标是去建立一个方程，由方程可解得到，当前的目标是去建立一个方程，由方程可解得时刻的各未知量。时刻的各未知量。 See:P124-1268采用如下假设：采用如下假设：1.1.在有限应变中可恢复的在有限应变中可恢复的( (弹性的弹性的) )应变较之不可恢复的应变较之不可恢复的( (非弹非弹性的性的) )应变小得多，因此可把总应变线性分解为两部分之和，应变小得多，因此可把总应变线性分解为两部分之和，这与小应变理论相同；这与小应变理论相同；2.2.材料各向同性硬化，材料系数量值仅随加载历程变化，但其材料各向同性硬化，材料系数量值仅随加载历程变化，但其轴的方向不变；轴的方向不变；3.3.在一个增量步内采用线性化方法，把应力与应变视为线性关在一个增量步内采用线性化方法，把应力与应变视为线性关系。系。 9在有限元理论中列出的静力平衡问题的非线性有限元方程，可以用于分析在有限元理论中列出的静力平衡问题的非线性有限元方程，可以用于分析结构力学中的一类重要问题，即结构力学中的一类重要问题，即结构稳定性和屈曲问题结构稳定性和屈曲问题。分析的目的是求。分析的目的是求解结构从稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界载荷和失稳后的屈曲形态。解结构从稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界载荷和失稳后的屈曲形态。特征是特征是：结构在基本的载荷：结构在基本的载荷- -位移平衡路径位移平衡路径( ( ) )的附近还存在另一分叉平衡路径的附近还存在另一分叉平衡路径( ( ) )。当。当载荷到达临界值载荷到达临界值PcrPcr时，如果结构或载荷有一时，如果结构或载荷有一微小的扰动，载荷微小的扰动，载荷- -位移将沿分叉平衡路径发位移将沿分叉平衡路径发展。展。 结构的载荷结构的载荷临界点可分临界点可分为两种类型为两种类型分叉临界点分叉临界点极值临界点极值临界点 特征是特征是：当载荷到达临界：当载荷到达临界( (最大最大) )值时，如果值时，如果载荷或位移有微小变化，将分别发生位移的跳载荷或位移有微小变化，将分别发生位移的跳跃或载荷的快速下降。前者称为急速跳过。后跃或载荷的快速下降。前者称为急速跳过。后者称为垮塌。者称为垮塌。 10分叉临界点分叉临界点的载荷位移平衡路径的载荷位移平衡路径 例如直杆受精确沿中心线方向的例如直杆受精确沿中心线方向的压力作用，当载荷到达临界值时，压力作用，当载荷到达临界值时，杆子除平直的平衡路径杆子除平直的平衡路径( ( ) )以外，以外，还存在横向屈曲的平衡路径还存在横向屈曲的平衡路径(II)(II)，而前者是不稳定的。，而前者是不稳定的。 极值临界点极值临界点的载荷位移平衡路径的载荷位移平衡路径 11如果失稳前结构处于如果失稳前结构处于小变形状态小变形状态，可以不考虑可以不考虑几何非线性对平衡方程和几几何非线性对平衡方程和几何方程的影响。如同时假定材料仍处于弹性状态，则失稳前可采用线弹性何方程的影响。如同时假定材料仍处于弹性状态，则失稳前可采用线弹性分析来求解结构内的位移和应力。分析来求解结构内的位移和应力。 12此类分析是指失稳前结构处于大变形状态，这时结构的刚度矩阵是此类分析是指失稳前结构处于大变形状态，这时结构的刚度矩阵是载荷幅值载荷幅值p p和位移向量和位移向量u u的非线性函数。的非线性函数。 SeeP128-13013订书机订书机木架木架轮胎轮胎几何非线性几何非线性材料非线性材料非线性状态变化状态变化(包括接触包括接触)14纯粹增量近似与牛顿拉普森近似的关系纯粹增量近似与牛顿拉普森近似的关系纯粹增量式解纯粹增量式解全牛顿拉普森迭代求解全牛顿拉普森迭代求解真实响应真实响应误差误差计算响应计算响应两给载荷增量两给载荷增量15载荷步载荷步1载荷步载荷步2子步子步载荷步载荷步子步子步非线性分析的典型的载荷历程非线性分析的典型的载荷历程161718以载荷增量加以载荷增量加载，程序在每载，程序在每一步中进行平一步中进行平衡迭代衡迭代（1）子步数或时间步长）子步数或时间步长（2）自动时间步长）自动时间步长19非线性分析建模过程中可能包含非线性分析建模过程中可能包含特殊的单元或非线性材料性质。特殊的单元或非线性材料性质。除此之外，建模过程与线性分析除此之外，建模过程与线性分析类似。类似。来自非线性静态分析的结果主要由位移、应来自非线性静态分析的结果主要由位移、应力、应变以及反作用力组成。可以用力、应变以及反作用力组成。可以用POST1POST1或者用或者用POST26POST26来检查这些结果。来检查这些结果。20初始速度初始速度铜圆柱体铜圆柱体一个铜弹以给定的速度射向壁面，壁面假定是刚性的一个铜弹以给定的速度射向壁面，壁面假定是刚性的和无摩擦的。目的是研究弹和壁面接触后和无摩擦的。目的是研究弹和壁面接触后8080 s s内的内的现象，即弹的整个变形，速度历程以及最大等效现象，即弹的整个变形，速度历程以及最大等效Von Von MisesMises应变。求解使用应变。求解使用SISI单位系统。单位系统。21/prep7et , 1 , visco106keyopt , 1 , 3 , 1mp , ex , 1 , 117e9mp ,dens , 1 , 8930mp , nuxy , 1 , 0.35tb , biso , 1 , 1 , , 0tbmodif , 2 , 1 , 4e8tbmodif , 3 , 1 , le8tbplot , biso , 1rectng , 0 , 0.0032 , 0 , 0.0324lesize , 2 , , , 20 , 1lesize , 1 , , , 4 , 1mshape , 0 , 2dmshkey , 1amesh , 1fini/soluantype , 4trnopt , fulllumpm , onnlgeom , 1ic , all , uy , ,-227d , all , 0 , , , , uznsel , s , loc , x , 0d,all , ,0, , , ,uxnsel , s , loc , y , 0d ,all , , 0 , , , ,uyallseltime , 8e-5autots , 1deltim , 4.4e-7kbc , 1outres , all , 4solvefini/postlset , lasttop_node = 26* get , deform , node , top_node , u ,y/dscale , 1 , 1pldisp , 2plnsol , epto , eqvfini/post26nsol , 2 , top_node , u , y , displacederiv , 3 , 2 , 1 , , velocity , , , 1/axlab , y , velocityplvar , 3fini建模建模网格网格约束约束22等效应变等效应变合位移合位移m23X方向位移方向位移等效应力等效应力Pa2425不同时刻等效应力及变形不同时刻等效应力及变形26不同时刻等效应力及变形不同时刻等效应力及变形27其它例子其它例子ANSYS Verification Manual, ANSYS Verification Manual, 描述了描述了一些一些另外的非线性分析另外的非线性分析实例实例。下表显示。下表显示给你一些给你一些Verification Manual Verification Manual 包括的非线性分析包括的非线性分析例子例子：VM7 VM7 管组装的塑性压缩管组装的塑性压缩VM11 VM11 残余应力问题残余应力问题VM24 VM24 矩形梁的塑性矩形梁的塑性VM38 VM38 受压厚壁柱体的塑性加载受压厚壁柱体的塑性加载VM56 VM56 内部受压的超弹性厚柱体内部受压的超弹性厚柱体VM78 VM78 悬替梁中的横向剪切应力悬替梁中的横向剪切应力VM80 VM80 对突然施加恒力的塑性响应对突然施加恒力的塑性响应VM104 VM104 液一固相变液一固相变VM124 VM124 蓄水池中水的排出蓄水池中水的排出VM126 VM126 流动流体的热传导流动流体的热传导VM132 VM132 由于蠕变辉栓的应力消除由于蠕变辉栓的应力消除VM133 VM133 由于辐射感应蠕棒的运力由于辐射感应蠕棒的运力VM134 VM134 一端固定梁的塑性弯曲一端固定梁的塑性弯曲VM146 VM146 钢盘混凝土梁的弯曲钢盘混凝土梁的弯曲VM165 VM165 铁性导体的载流铁性导体的载流VM198 VM198 面内扭转实验的大应变面内扭转实验的大应变VM199 VM199 承受剪切变形的物体的粘弹性分析承受剪切变形的物体的粘弹性分析VM200 VM200 粘弹性的叠层密封分析粘弹性的叠层密封分析28大变形大变形291 1大应变效应大应变效应2 2关于大应变的特殊建模讨论关于大应变的特殊建模讨论3. 3. 具有小应变的大挠度（转角）具有小应变的大挠度（转角）4 4应力刚化应力刚化5 5旋转软化旋转软化30大变形大变形大转动大转动一个结构的一个结构的总刚度总刚度当一个单元的节点经历位移后，那个单元对总体结构刚度的贡献可以以两种方式改变。它的组成部件它的组成部件单元的方向单元的方向和单元的刚和单元的刚依赖于依赖于单元的形单元的形状改变状改变单元的取单元的取向改变向改变大转角大转角单元刚度单元刚度将改变将改变它的局部刚度转化到全它的局部刚度转化到全局部件的变换也将改变局部件的变换也将改变31对真实应变超过对真实应变超过50的塑性分析，应使用的塑性分析，应使用大应变单元（大应变单元（VISCO106，107及及108）32在大变形分析的任何迭代中粗劣的单元形状（即大的横纵比，过度的顶角及具有负面积的已扭曲单元）是不好的，所以必须象注意单元的原始形状一样注意单元已扭曲后的形状。变形前的单元变形前的单元变形后的大应变单元变形后的大应变单元(不好的边长比不好的边长比)修改后变形前的单元修改后变形前的单元变形后的大应变单元变形后的大应变单元(较好的边长比较好的边长比)33用用NLGEOM，ON命令来激活那些支命令来激活那些支持这一特性的单元中的大挠度效应。持这一特性的单元中的大挠度效应。GUI：Main MenuSolutionAnalysis Options34它在薄的、高应力的结构中，如缆索或薄膜中，是最明显的。一个鼓面，当它绷紧时会产生垂向刚度，这是应力刚化结构的一个普通的例子。刚化应力仅可以通过刚化应力仅可以通过进行大挠度分析得到进行大挠度分析得到P应力硬化梁应力硬化梁刚化应力可采用小挠刚化应力可采用小挠度或线性理论得到度或线性理论得到P35在小位移分析中这种调整近似于由于大的环形运动而导致几何形状改变的效应旋转软化是指动态质量效应调整（软化）旋转物体的刚度矩阵旋转软化是指动态质量效应调整（软化）旋转物体的刚度矩阵旋转软化用旋转软化用OMEGA命命令中的令中的KPSIN来激活来激活GUI：Main MenuSolution Analysis Options通常它和预应力通常它和预应力PSTRES一起使用，这种预应力由旋一起使用，这种预应力由旋转物体中的离心力所产生。转物体中的离心力所产生。它不应和其它变形非线性、它不应和其它变形非线性、大挠度和大应变一起使用大挠度和大应变一起使用GUI：Main MenuPreprocessorLoad-Load-Apply -Structura1-OtherAngular Velocity361.概念概念ANSYS提供两种分析结构屈曲载荷和屈曲模态的技术提供两种分析结构屈曲载荷和屈曲模态的技术(1).非线性非线性屈曲分析屈曲分析(2).特征值特征值屈曲分析屈曲分析特征值（或线性）屈曲分析屈曲分析是一种用于确定结构开始变得不屈曲分析是一种用于确定结构开始变得不稳定时的临界载荷和屈曲模态形状（结构稳定时的临界载荷和屈曲模态形状（结构发生屈曲响应的特征形状）的技术。发生屈曲响应的特征形状）的技术。特征值屈曲分析用于预测一个理想弹性结构的理论特征值屈曲分析用于预测一个理想弹性结构的理论屈曲强度（歧点）。特征值屈曲分析经常产生非保屈曲强度（歧点）。特征值屈曲分析经常产生非保守结果，通常不能用于实际现实生活中的工程分析。守结果，通常不能用于实际现实生活中的工程分析。非线性屈曲分析比线性屈曲分析更精确，故非线性屈曲分析比线性屈曲分析更精确，故建议用于对实际结构进行的设计或估计中。建议用于对实际结构进行的设计或估计中。37非线性屈曲分析是在大变形效应开关打开的情况下非线性屈曲分析是在大变形效应开关打开的情况下(NLGEOM(NLGEOM，ON)ON)所作的一种静力分析，该分析过程一直进行到结构的限制载所作的一种静力分析，该分析过程一直进行到结构的限制载荷或最大载荷。荷或最大载荷。38建立模型；建立模型；获得静力解；获得静力解；获得特征值屈曲解；获得特征值屈曲解；展开解；展开解；观察结果。观察结果。39如图如图5一一15所示，一根长为所示，一根长为L，两端铰支的细，两端铰支的细长杆受到轴向加载。此杆截面的高度为长杆受到轴向加载。此杆截面的高度为h，面，面积为积为A。由于对称性，只给杆的上端建模，则。由于对称性，只给杆的上端建模，则上半部分的边界条件变为自由一固支。为了描上半部分的边界条件变为自由一固支。为了描述屈曲模态，在述屈曲模态，在x方向取方向取10个主自由度。杆的个主自由度。杆的惯性矩为惯性矩为I=Ah2120.0052083 in4详细参数如下：详细参数如下：材料性质：材料性质： 模型尺寸：模型尺寸： 载荷。载荷。EX=30E6 psi L=200 in F=1 lbf A=0.25 in2 h0.5 in40/PREP7/TITLE, BUCKLING . ET , 1 , BEAM3R , 1 , 0.25 , 52083E-7 , 0.5MP , EX , 1 , 30E6N , 1N , 11 , , 100FILLE , 1 , 2EGEN , 10 , 1 , 1FINISHSave , buckle1 , dbResume , buckle1 , db/SOLUANTYPE , STATICPSTRES ,OND, 1 , ALL111110 9 8 7 6 5 4 3 210 9 8 7 6 5 4 3 241F , 11 , FY , -1SOLVEFINISHSAVE , BUCKLE1 , DBRESUME , BUCKLE1 , DB/SOLUANTYPE , BUCKLEBUCOPT , REDUC , 1MXPAND , 1M , 2 , UX, 11 , 1SOLVE*get,FCR,MODE,1,FREQ ! FcR-曲屈分析中第曲屈分析中第1阶频率为失稳载荷阶频率为失稳载荷NFINISH/POST1SET , FIRSTPLDISP , 1FINISH111110 9 8 7 6 5 4 3 210 9 8 7 6 5 4 3 2FY=142fini/clear!/prep7!et,1,beam3R,1,161.29,2167.87,12.7mp,ex,1,207000 ! N/mm2mp,prxy,0.3n,1n,11,2540 ! mmfille,1,2egen,10,1,1fini!/soluantype,staticpstres,on ! 考虑预应力考虑预应力d,1,allf,11,fy,-1 ! Y方向施加单位载荷方向施加单位载荷outpr,1 !输出第输出第1荷载计算结果荷载计算结果solvefini/soluantype,bucklebucopt,Lanb,1 ! 只展开第只展开第1阶失稳状态阶失稳状态mxpand,1 ! 展开第展开第1阶失稳状态阶失稳状态!solve*get,FCR,MODE,1,FREQ ! FcR-曲屈分析中第曲屈分析中第1阶频率为失稳载荷阶频率为失稳载荷N*status,parmfinish!Fc求失稳载荷？求失稳载荷？43fini/clear/prep7antype,transnlgeom,onet,1,beam3,1r,1,161.29,2167.86,12.7mp,ex,1,2.07e5mp,prxy,0.3!n,1n,11,2540fille,1,2egen,10,1,1finish/ESHAPE,10/solusolcontrol,0neqit,250!outpr,basic,lastoutres,all,alld,1,allfcr=-171.5pi=3.1415926!time,1DELT,0.05,0.005,0.5AUTO,ONkbc,0f,11,fy,fcr*1.884f,11,fx,1solve!超过失稳载荷的动力计算超过失稳载荷的动力计算44七、材料非线性七、材料非线性(一一)、 弹塑性分析弹塑性分析1有关塑性的概念有关塑性的概念(1)路径相关性路径相关性(2)率相关性率相关性(3)工程应力、应变与工程应力、应变与 真实的应力、应变真实的应力、应变ANSYS的材料非线性分析的材料非线性分析弹塑性分析弹塑性分析超弹分析超弹分析蠕变分析蠕变分析塑性是不可恢复的，与路径塑性是不可恢复的，与路径相关的。相关的。必须按照系统真正必须按照系统真正经历的加载过程加载。经历的加载过程加载。与应变率有关的塑性叫与应变率有关的塑性叫作与率相关的塑性。作与率相关的塑性。P/A0、 L/L0小应变分析小应变分析P/A、ln(L/L0)大应变的塑性分析大应变的塑性分析452塑性选项塑性选项1).经典双线性随动强化经典双线性随动强化 BKIN2).双线性等向强化双线性等向强化 BISO3).多线性随动强化多线性随动强化 MKIN4).多线性等向强化多线性等向强化 MISO注意，使用注意，使用MP命令来定义弹性模量；命令来定义弹性模量；弹性模量也可以是与温度相关的；弹性模量也可以是与温度相关的；切向斜率切向斜率Et不可以是负数，也不能大于弹性模量。不可以是负数，也不能大于弹性模量。定义弹性模量。定义弹性模量。激活双线性随动强化选项。激活双线性随动强化选项。使用数据表来定义非线性特性使用数据表来定义非线性特性用于初始各向同性用于初始各向同性材料的大应变问题材料的大应变问题比例加载的情况和大应变比例加载的情况和大应变分析。可以输入最多分析。可以输入最多100个个应力一应变曲线应力一应变曲线多线性来表示应力应变曲多线性来表示应力应变曲线，模拟随动强化效应，最线，模拟随动强化效应，最多多5个应力一应变数据点个应力一应变数据点463. 塑性分析实例塑性分析实例一个周边简支的圆盘，在其中心受到一个冲杆的周期作用。由于冲杆被假定一个周边简支的圆盘，在其中心受到一个冲杆的周期作用。由于冲杆被假定是刚性的，因此在建模时不考虑冲杆，而将圆盘上和冲杆接触的结点的是刚性的，因此在建模时不考虑冲杆，而将圆盘上和冲杆接触的结点的Y方方向上的位移耦合起来。向上的位移耦合起来。 由于模型和载荷都是轴对称的，因此用轴对称模型来进行计算。求解通过由于模型和载荷都是轴对称的，因此用轴对称模型来进行计算。求解通过四个载荷步实现。四个载荷步实现。 问题详细说明：问题详细说明： 材料性质：材料性质： EX70000MPa(杨氏模量杨氏模量) NUXY：0.325 (泊松比泊松比) 塑性时的应力一应变关系如下：塑性时的应力一应变关系如下： 应变应变 应力应力MPa 0.0007857 55 0.00575 112 0.02925 172 0.1 241 加载历史：加载历史： 时间时间s 载荷载荷N 0 0 1 -6000 2 750 3 -6000F130106.547F130106.5