第一部分第一部分 考点研究考点研究第四章第四章 三角形三角形课时课时20 全等三角形全等三角形全等三角形全等三角形性质性质判定方法判定方法全等三角形常见模型全等三角形常见模型考点精讲 名师名师PPTPPT 全等三角形全等三角形性质性质1. .全等三角形的对应边全等三角形的对应边 ，对应角，对应角 . .2.2.全等三角形的对应线段（角平分线、中线、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高、中位线）相等，对应周长相等，对应面高、中位线）相等，对应周长相等，对应面积相等积相等相等相等相等相等判定判定方法方法1. 分别相等的两个三角形全等（简写成分别相等的两个三角形全等（简写成“SSS”）2.两边及其两边及其 分别相等的两个三角形全等（简写成分别相等的两个三角形全等（简写成“SAS”）3.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“ASA”）4.两角分别相等且其中一组等角的两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三相等的两个三角形全等（简写成角形全等（简写成“AAS”）5.在直角三角形中，斜边和一条直角边分别相等的两个直在直角三角形中，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成角三角形全等（简写成“HL”）对边对边三边三边夹角夹角模型模型图形示例图形示例总结总结平移模型可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成，故对应点的相等关系一般可由同一直线上线段的和或差证得对称模型图形沿某一直线对称，且这条直线两边的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应点全等三角形常见模型模型全等三角形常见模型模型模型模型图形示例图形示例总结总结旋转模型旋转模型注：注：若若AC=BC,CD=CE,ACB=DCE,则此模型也叫手拉手模型则此模型也叫手拉手模型可看成由三角形某一个可看成由三角形某一个顶点为中心旋转构成的，顶点为中心旋转构成的，故一般有一对相等的角故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中某些角的和或差中三垂直三垂直模型模型也叫双直角三角形，其也叫双直角三角形，其中的证明多数可以用到中的证明多数可以用到同（等）角的余角相等同（等）角的余角相等这个定理，相等的角就这个定理，相等的角就是对应的角是对应的角 重难点突破全等三角形的判定全等三角形的判定判定两个三角形全等的思路判定两个三角形全等的思路:1. 已知两边已知两边2.已知一已知一边和一角边和一角3. 已知两角已知两角找夹角找夹角SAS找直角找直角HL找另一边找另一边SSS边为角的对边边为角的对边找任一角找任一角AAS边为角边为角的邻边的邻边找夹角的另一边找夹角的另一边SAS找夹边的另一角找夹边的另一角ASA找边的对角找边的对角AAS找夹边找夹边ASA找夹边外的另一边找夹边外的另一边AAS一满满 分分 技技 法法练习练习1 下下列各组条件中，不能判定列各组条件中，不能判定ABC和和DEF 全等的是全等的是 ( )A. AB=DE,B=E,C=FB. AC=DF,AB=DE,C=DC. AB=EF,A=E,B=FD. A=F,B=E,AC=DFB【解析解析】A.ABDE，BE，CF，符合，符合“AAS”，能判定，能判定ABC和和DEF全等，故本选项不符合全等，故本选项不符合题意；题意；B.ACDF，ABDE，CD，C是是AB的对的对角，角，D是是DE，DF的夹角，不能判定的夹角，不能判定ABC和和DEF全全等，故本选项符合题意；等，故本选项符合题意；C.ABEF，AE，BF，符合，符合“ASA”，能判定，能判定ABC和和DEF全等，故本全等，故本选项不符合题意；选项不符合题意；D.AF，BE，ACDF，符合符合“AAS”，能判定，能判定ABC和和DEF全等，故本选项不全等，故本选项不符合题意故选符合题意故选B.练习练习2 (20152 (2015宜昌宜昌) )如图，在方格纸中，以如图，在方格纸中，以AB为一边作为一边作ABP，使之与，使之与ABC全等，从全等，从 ， , , 四四个点中找出符合条件的点个点中找出符合条件的点P，则点，则点P有有 （ ） A. 1 个个 B. 2 个个 C. 3 个个 D. 4 个个练习练习2题图题图C【解析解析】要使】要使ABP和和ABC全等，点全等，点P到到AB的距离应的距离应该等于点该等于点C到到AB的距离，即的距离，即3个单位长度，故点个单位长度，故点P的位置的位置可以是可以是 ， ， 三三个个全等三角形的相关证明与计算全等三角形的相关证明与计算 1. 证明两条线段或两个角相等时，常用的方法是证明两条线段或两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等，当证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等，当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中，可通过所证的线段或者角不在两个全等的三角形中，可通过添加辅助线构造全等三角形添加辅助线构造全等三角形; 2. 探究两条线段之间的位置关系时，一般是先探究两条线段之间的位置关系时，一般是先利用全等的性质证明角相等，进而判断线段的位置关利用全等的性质证明角相等，进而判断线段的位置关系系.二满满 分分 技技 法法例例 如图所示，在四边形如图所示，在四边形ABCD中，中，ADBC,E为为CD的中点，的中点，连接连接AE、BE，延长，延长AE交交BC的延长线于点的延长线于点F.（1）判断）判断FC与与AD的数量关系，并说明理由的数量关系，并说明理由;（2）若若AB=BC+AD,则则BEAF吗？为什么？若吗？为什么？若ECBF,EC=3，求点，求点E到到AB的距离的距离. 例题例题图图（1）【）【思维教练思维教练】已知】已知ADBC可得可得ADC=ECF，又，又已知点已知点E是是CD的中点可求出的中点可求出ADE FCE，根据全等三，根据全等三角形的性质即可解答；角形的性质即可解答；解：解：FCAD；理由如下：；理由如下：ADBC，ADEECF，E是是CD的中点，的中点，DEEC，在在ADE与与FCE中，中， ADE= ECF AEDFEC , DEEC ,ADEFCE(ASA)，FCAD；(2)【思维教练思维教练】由（】由（1）知）知ADE FCE,得得到到AE=EF,AD=CF,由由AB=BC+AD,等量代换得到等量代换得到AB=BC+CF，即，即AB=BF,根据等腰三角形三线合根据等腰三角形三线合一一,即可得到结论；由即可得到结论；由ABE=FBE，根据角，根据角平分线的性质即可得到点平分线的性质即可得到点E到到AB的距离的距离.解：解：垂直；理由如下：垂直；理由如下：由由(1)知知ADEFCE，AEEF，ADCF，ABBCAD，ABBCCF，即即ABBF，在，在ABE与与FBE中，中，AB=BF,BEBE，AEEF，ABEFBE(SSS)，AEBFEB90，BEAF；由由ABEFBE，则点，则点E到到BF的距离等于点的距离等于点E到到AB的距离，的距离，ECBF，CE3，点点E到到AB的距离为的距离为3.练习练习3 (20163 (2016常州常州) )如图如图,已知已知ABC中中,AB=AC,BD、CE是是高高,BD与与CE相交于点相交于点O.（1）求证：）求证：OB=OC；（2）若）若ABC=50,求求BOC的度数的度数.练习练习3 3题图题图(1)(1)证明证明：ABAC，ABCACB，即即EBCDCB，又又CEAB，BEC90，同理同理CDB90，在在BEC和和CDB中，中，BECCDB, EBCDCB, BCCB,BECCDB(AAS)，ECBDBC，OBOC；(2)(2)解解：由题知，由题知，ABC50，ABAC，A180505080，又又BDAC，ADB90，AABD90，ABD10.又又BOC为为RtBEO的外角，的外角，BOCBEOABD9010100.