第六节幂函数与二次函数(全国卷5年5考)【知识梳理知识梳理】1.1.幂函数幂函数(1)(1)定义定义一般一般地地, ,形如形如_的函数称为幂函数的函数称为幂函数, ,其中其中x x是自变量是自变量,是常数是常数. .y=xy=x(2)(2)常见的常见的5 5种幂函数的图象种幂函数的图象(3)(3)常见的常见的5 5种幂函数的性质种幂函数的性质y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3y= y= y=xy=x-1-1定义定义域域R RR RR R0,+)0,+)x|xR,x|xR,且且x0x0值域值域R R0,+)0,+)R R0,+)0,+)y|yR,y|yR,且且y0y0奇偶性奇偶性奇奇偶偶奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇2.2.二次函数二次函数(1)(1)解析式的三种形式解析式的三种形式一般式一般式:f(x)=_;:f(x)=_;顶点式顶点式:f(x)=_;:f(x)=_;两根式两根式:f(x)=_.:f(x)=_.axax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)a(x-h)a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)a(x-xa(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a0)(a0)(2)(2)图象与性质图象与性质解析式解析式f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)(a0)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)(a0)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)(a0)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a00时时,y=x,y=x在在0,+)0,+)上为增函数上为增函数; ;当当00.f(x)0.(2)(2)当当 时时, ,对对xRxR恒有恒有f(x)0.f(x)0n0时时, ,幂函数幂函数y=xy=xn n在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数. . ( () )(3)(3)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(xR)+bx+c(xR)不可能是偶函数不可能是偶函数. . ( () )(4)(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交如果幂函数的图象与坐标轴相交, ,则交点一定是原则交点一定是原点点. .( () )(5)(5)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c,xa,b+bx+c,xa,b的最值一定是的最值一定是 ( () )提示提示: :(1)(1). .不符合幂函数的形式不符合幂函数的形式. .(2).(2).根据根据5 5个基本幂函数知个基本幂函数知,n0,n0时为增函数时为增函数,n0,n1,x= 1,所以函数所以函数y=2xy=2x2 2-6x+3-6x+3在在-1,1-1,1上单调递减上单调递减, ,所以所以y yminmin= =2-6+3=-1.2-6+3=-1.答案答案: :-1-1题组二题组二: :走进教材走进教材1. (20161. (2016全国卷全国卷)已知已知则则( () () (源于必修源于必修1P181P18中间性质中间性质) ) A.bac B.abcA.bac B.abcC.bca D.cabC.bca D.cab【解析解析】选选A.A.因为因为又因为函数又因为函数y= y= 在在0,+)0,+)上是增函数上是增函数, ,所以所以bac.bacbaA.dcba B.abcd B.abcdC.dcabC.dcab D.abdc D.abdc【解析解析】选选B.B.由幂函数的图象可知由幂函数的图象可知, ,在在(0,1)(0,1)上幂函数上幂函数的指数越大的指数越大, ,函数图象越接近函数图象越接近x x轴轴, ,由题图知由题图知abcd.abcd.3.3.已知已知 则则a,b,ca,b,c的大小关系的大小关系为为( () )A.bacA.bac B.abc B.abcC.cbaC.cba D.cab D.cabc.abc.4.(20194.(2019晋中模拟晋中模拟) )若若 则实数则实数a a的的取值范围是取值范围是_._.【解析解析】不等式不等式 等价于等价于a+13-2a0a+13-2a0或或3-2aa+103-2aa+10或或a+103-2a.a+103-2a.解得解得a-1a-1或或 a .a0,0,若在若在(0,+)(0,+)上单调递减上单调递减, ,则则0.0a0时时, ,函数函数f(x)f(x)在区间在区间-1,2-1,2上是增函数上是增函数, ,最大最大值为值为f(2)=8a+1=4,f(2)=8a+1=4,解得解得a= .a= .(3)(3)当当a0a0时时, ,函数函数f(x)f(x)在区间在区间-1,2-1,2上是减函数上是减函数, ,最大最大值为值为f(-1)=1-a=4,f(-1)=1-a=4,解得解得a=-3.a=-3.综上可知综上可知,a,a的值为的值为 或或-3.-3. 【互动探究互动探究】将本例改为将本例改为: :求函数求函数f(x)=xf(x)=x2 2+2ax+1+2ax+1在区在区间间-1,2-1,2上的最大值上的最大值. .【解析解析】f(x)=(x+a)f(x)=(x+a)2 2+1-a+1-a2 2, ,所以所以f(x)f(x)的图象是开口向上的抛物线的图象是开口向上的抛物线, ,对称轴为对称轴为x=-a.x=-a.(1)(1)当当-a -a- a- 时时,f(x),f(x)maxmax=f(2)=4a+5,=f(2)=4a+5,(2)(2)当当-a -a 即即a- a- 时时,f(x),f(x)maxmax=f(-1)=2-2a,=f(-1)=2-2a,综上综上,f(x),f(x)maxmax= = 【状元笔记状元笔记】二次函数最值问题中的二次函数最值问题中的“三点一轴三点一轴”三点是指区间两个端点和中点三点是指区间两个端点和中点, ,一轴指的是对称轴一轴指的是对称轴, ,结结合配方法合配方法, ,用函数的单调性及分类整合的思想即可完成用函数的单调性及分类整合的思想即可完成. . 命题角度命题角度2 2二次函数中的恒成立问题二次函数中的恒成立问题【典例典例】(2018(2018武邑调研武邑调研) )已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(x)f(x)满足满足: :当当x0x0时时,f(x)=x,f(x)=x3 3, ,若不等式若不等式f(-4t)f(-4t)f(2m+mtf(2m+mt2 2) )对任意实数对任意实数t t恒成立恒成立, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是 ( () )A.(-,- )A.(-,- )B.(- ,0)B.(- ,0)C.(-,0)( ,+)C.(-,0)( ,+)D.(-,- )( ,+)D.(-,- )( ,+)【解析解析】选选A.A.当当x0xf(2m+mtf(2m+mt2 2) )对任意实数对任意实数t t恒成立恒成立, ,知知-4t2m+mt-4t2m+mt2 2对任意对任意实数实数t t恒成立恒成立, ,即即mtmt2 2+4t+2m0+4t+2m0对任意实数对任意实数t t恒成立恒成立, ,故故有有 解得解得m(-,- ).m(-,- ).【状元笔记状元笔记】由不等式恒成立求参数的取值范围的两种思路由不等式恒成立求参数的取值范围的两种思路(1)(1)数形结合法数形结合法.ax.ax2 2+bx+c0)+bx+c0)对对xxxx1 1,x,x2 2) )恒成立恒成立 其中其中f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c.+bx+c.(2)(2)分离参数法分离参数法, ,转化为求函数最值问题转化为求函数最值问题, ,其依据是其依据是af(x)af(x)af(x)af(x)maxmax,af(x),af(x)af(x)af(x)minmin. .【对点练对点练找规律找规律】1.1.已知已知a a是实数是实数, ,函数函数f(x)=2axf(x)=2ax2 2+2x-3+2x-3在在x-1,1x-1,1上恒上恒小于零小于零, ,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为_._.【解析解析】2ax2ax2 2+2x-30+2x-30在在-1,1-1,1上恒成立上恒成立. .当当x=0x=0时时,-30,-30,成立成立; ;当当x0x0时时,a ,a 因为因为 (-,-11,(-,-11,+),+),当当x=1x=1时时, ,右边取最小值右边取最小值 , ,所以所以a .a .综上综上, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是 . .答案答案: : 2.2.设函数设函数y=xy=x2 2-2x,x-2,a,-2x,x-2,a,若函数的最小值为若函数的最小值为g(a),g(a),求求g(a).g(a).【解析解析】因为函数因为函数y=xy=x2 2-2x=(x-1)-2x=(x-1)2 2-1,-1,所以对称轴为直线所以对称轴为直线x=1,x=1,当当-2a1-21a1时时, ,函数在函数在-2,1-2,1上单调递减上单调递减, ,在在1,a1,a上单上单调递增调递增, ,则当则当x=1x=1时时,y,y取得最小值取得最小值, ,即即y yminmin=-1.=-1.综上综上, ,g(a)=g(a)= 思想方法系列思想方法系列5 5数形结合思想和分类整合思想在二数形结合思想和分类整合思想在二次函数中的应用次函数中的应用【思想诠释思想诠释】研究二次函数的性质研究二次函数的性质, ,可以结合图象进行可以结合图象进行; ;对于含参数的二次函数问题对于含参数的二次函数问题, ,要明确参数对图象的影要明确参数对图象的影响响, ,进行分类讨论进行分类讨论. .【典例典例】设函数设函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x+2,xt,t+1,tR,-2x+2,xt,t+1,tR,求函求函数数f(x)f(x)的最小值的最小值. .【解析解析】f(x)=xf(x)=x2 2-2x+2=(x-1)-2x+2=(x-1)2 2+1,xt,t+1,tR,+1,xt,t+1,tR,函函数图象的对称轴为数图象的对称轴为x=1.x=1.当当t+11,t+11,即即t0t1t1时时, ,函数图象如图函数图象如图(3)(3)所示所示, ,函数函数f(x)f(x)在区间在区间t,t+1t,t+1上为增函数上为增函数, ,所以最小值为所以最小值为f(t)=tf(t)=t2 2-2t+2.-2t+2.综上可知综上可知,f(x),f(x)minmin= = 【技法点拨技法点拨】解二次函数定区间问题的两点关注解二次函数定区间问题的两点关注(1)(1)抛物线的开口抛物线的开口, ,对称轴位置对称轴位置, ,定义区间三者相互制约定义区间三者相互制约, ,要注意分类讨论要注意分类讨论. .(2)(2)要注意数形结合思想的应用要注意数形结合思想的应用, ,尤其是给定区间上的尤其是给定区间上的二次函数最值问题二次函数最值问题, ,先先“定性定性”( (作草图作草图),),再再“定量定量”( (看图求解看图求解).).【即时训练即时训练】已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+mx+m,+mx+m,对于任意的对于任意的x0,m+1,x0,m+1,都有都有f(x)0,f(x)0,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】依题意得依题意得f(x)0f(x)0在在x0,m+1x0,m+1上恒成立上恒成立, ,又因为函数又因为函数f(x)=xf(x)=x2 2+mx+m+mx+m图象的开口向上图象的开口向上, ,则则 即即 解得解得:-1m :-1m . .答案答案: :-1m-1m