第5章 概率与概率分布5.1 随机事件及其概率随机事件及其概率5.2 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则5.3离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布5.4 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布概率与概率分布(4)课件5.1 随机事件及其概率随机事件及其概率5.1.1随机事件的几个基本概念1.在相同条件下，对事物或现象所进行的观察2.例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数3.试验具有以下特点l可以在相同的条件下重复进行l每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的l在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果试试 验验概率与概率分布(4)课件随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)例如：掷一枚骰子出现的点数为3随机事件：随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件例如：掷一枚骰子可能出现的点数必然事件必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数小于7不不可可能能事事件件：每次试验一定不出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数大于6事事 件件概率与概率分布(4)课件1.基本事件一个不可能再分的随机事件例如：掷一枚骰子出现的点数2.样本空间一个试验中所有基本事件的集合，用表示例如：在掷枚骰子的试验中，1,2,3,4,5,6在投掷硬币的试验中，正面，反面样本空间样本空间样本空间样本空间概率与概率分布(4)课件事件的关系和运算（事件的包含）若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或 A B或 B AA ABB A概率与概率分布(4)课件事件的关系和运算（事件的并或和）事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B 的并。它是由属于事件A或事件B的所有的样本点组成的集合，记为AB或A+BBA AB概率与概率分布(4)课件事件的关系和运算（事件的交或积）事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为BA 或ABA AB AB概率与概率分布(4)课件事件的关系和运算（互斥事件）事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生，则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点A AB A 与与 B互不相容互不相容概率与概率分布(4)课件事件的关系和运算（事件的逆）一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成的集合，记为AA A概率与概率分布(4)课件事件的关系和运算（事件的差）事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合，记为A-B A - BAB B概率与概率分布(4)课件事件的关系和运算（事件的性质）设A、B、C为三个事件，则有1.交换律：AB=BA AB=BA2.结合律：A(BC)=(AB)C A(BC) =(AB) C3.分配律：A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)概率与概率分布(4)课件5.1.2事件的概率1.事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量2.表示事件A出现可能性大小的数值3.事件A的概率表示为P(A)4.概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义概率与概率分布(4)课件1.概率的古典定义如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为概率与概率分布(4)课件概率的古典定义（实例）某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人，问：（1）该职工为男性的概率（2）该职工为炼钢厂职工的概率某钢铁公司所属企业职工人数某钢铁公司所属企业职工人数工厂工厂男职工男职工女职工女职工合计合计炼钢厂炼钢厂炼铁厂炼铁厂轧钢厂轧钢厂4000320090018001600600620048001500合计合计8500400012500概率与概率分布(4)课件解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则 (2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则概率与概率分布(4)课件2. 概率的统计定义在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为试验的次数正面 /试验次数1.001.000.000.000.250.250.500.500.750.750 0252550507575100100125125概率与概率分布(4)课件概率的统计定义 （实例）某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有概率与概率分布(4)课件3. 主观概率定义对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定。概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断。 概率与概率分布(4)课件5.2 概率的性质与运算法则5.2.1 概率的性质可加性可加性若A与B互斥，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An )规范性规范性P ( ) = 1； P ( ) = 0非负性非负性 对任意事件A，有 0 P 1概率与概率分布(4)课件5.2.2 概率的加法法则1.两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )2.事件A1，A2，An两两互斥，则有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An )法则一法则一概率与概率分布(4)课件【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率 解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为概率与概率分布(4)课件对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) 法则二法则二概率与概率分布(4)课件【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。 解：设A读甲报纸，B读乙报纸，C至少读一种报纸。则 P ( C ) =P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28概率与概率分布(4)课件5.2.3条件概率与独立事件1.条件概率在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为P(B)P(AB)P(A|B) =事件 AB及其概率P (AB)事件B及其概率P (B)事件事件A A 事件事件B B一旦事件一旦事件B发生发生概率与概率分布(4)课件2.乘法公式1.用来计算两事件交的概率2.以条件概率的定义为基础3.设 A、 B为 两 个 事 件 ， 若 P(B)0， 则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)概率与概率分布(4)课件【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？ 解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2)概率与概率分布(4)课件3.独立性1.一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立2.若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) 1.此时概率的乘法公式可简化为P(AB)=P(A)P(B)4.推广到n个独立事件，有P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)概率与概率分布(4)课件【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求 （1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率 （2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率 解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件，A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.9*0.8*0.85=0.612(2) P(A1A2 A3)= P(A1)P(A2)P(A3) = 0.9*0.8*(1-0.85)=0.108概率与概率分布(4)课件5.2.4 全概率公式及贝叶斯公式【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。概率与概率分布(4)课件设事件A1，A2，An两两互斥，A1+A2+ An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则对任意事件B，有全概率公式全概率公式概率与概率分布(4)课件【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率概率与概率分布(4)课件与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因设n个事件A1，A2，An 两两互斥，A1+A2+ An= (满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则 贝叶斯公式贝叶斯公式概率与概率分布(4)课件5.3 离散型随机变量及其分布5.3.1 随机变量的概念1.一次试验的结果的数值性描述2.一般用 X、Y、Z 来表示3.例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量4.根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量概率与概率分布(4)课件离散型随机变量1.随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1 , X2，2.以确定的概率取这些不同的值试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽抽查100个个产品产品一家餐馆营业一天一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售电脑公司一个月的销售销售一辆汽车销售一辆汽车取到次品的个数取到次品的个数顾客数客数销售量售量顾客性客性别0,1,2, ,1000,1,2, 0,1, 2,男性男性为0,女性女性为1概率与概率分布(4)课件连续型随机变量1.随机变量 X 取无限个值2.所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点试验试验随机变量随机变量可能的取值可能的取值抽抽查一批一批电子元件子元件新建一座住宅楼新建一座住宅楼测量一个产品的测量一个产品的长度度使用寿命使用寿命(小小时)半年后工程完成的百分比半年后工程完成的百分比测量量误差差(cm)X 00 X 100X 0概率与概率分布(4)课件5.3.2离散型随机变量的概率分布1.离散型随机变量的概率分布列出离散型随机变量X的所有可能取值列出随机变量取这些值的概率通常用下面的表格来表示P(X =xi)=pi称为X的概率函数X = xix1 ，x2 ， ，xnP(X =xi)=pip1 ，p2 ， ，pnpi 0概率与概率分布(4)课件【例】如规定打靶中域得3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外。则考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为X = xi0 1 2 3P(X=xi) pi0.05 0.10 0.55 0.30概率与概率分布(4)课件离散型随机变量的概率分布（01分布）1.一个离散型随机变量X只取两个可能的值例如，男性用 1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示2.列出随机变量取这两个值的概率概率与概率分布(4)课件【例】已知一批产品的次品率为p0.05，合格率为q=1-p=1-0.5=0.95。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为X = xi0 1P(X=xi)=pi0.95 0.050.50.50 01 11 1x xP P( (x x) )概率与概率分布(4)课件离散型随机变量的概率分布（均匀分布）1.一个离散型随机变量取各个值的概率相同2.列出随机变量取值及其取值的概率3.例如，投掷一枚骰子，出现的点数及其出现各点的概率X = xi1 2 3 4 5 6P(X=xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/601/6P(x)1x23456概率与概率分布(4)课件2.离散型随机变量的数学期望和方差(1)期望值1.在离散型随机变量X的一切可能取值的完备组中，各可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和2.描述离散型随机变量取值的集中程度3.计算公式为概率与概率分布(4)课件（2）方差1.随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为D(X)2.描述离散型随机变量取值的分散程度3.计算公式为概率与概率分布(4)课件【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差X = xi1 2 3 4 5 6P(X =xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6概率与概率分布(4)课件（3）离散系数比较不同期望值的总体之间的离中趋势（4）均值和方差在财务分析中的应用利用方差或标准差评估某个投资的预期平均回报率及其相应的风险，从而做出投资的决策例5.14概率与概率分布(4)课件3.二项分布和泊松分布（1）二项分布u试验包含了n 个相同的试验u每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败”u出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1u试验是相互独立的u试验“成功”或“失败”可以计数二项试验（贝努里试验）二项试验（贝努里试验）概率与概率分布(4)课件1.进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布2.设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为概率与概率分布(4)课件1.显然， PX=x 0， x =0,1,2,n2.同样有3.当 n = 1 时，二项分布化简为概率与概率分布(4)课件二项分布的数学期望和方差1.二项分布的数学期望为 E ( X ) np2.方差为 D ( X ) npq概率与概率分布(4)课件【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则XB ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有 概率与概率分布(4)课件（2）泊松分布1.用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布2.泊松分布的例子一个城市在一个月内发生的交通事故次数消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数概率与概率分布(4)课件泊松概率分布函数 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数概率与概率分布(4)课件【例】假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求 （1）X 的均值及标准差 （2）在给定的某周一正好请事假是5人的概率 解：概率与概率分布(4)课件1. 均数与方差相等，即D (X) = E (X) = 2. 可加性 如果X1,X2,Xk相互独立,且它们分别服从以1, 2k为参数的泊松分布，则T=X1+X2+Xk也服从泊松分布，其参数为1+2+k。 3.正态近似 相当大时，近似服从正态分布：N(,) 4.二项分布的泊松分布近似 设XB (n, p)，则当n，p很小，且np = 保持不变时，可以证明X的极限分布是以为参数的泊松分布。概率与概率分布(4)课件5.4 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值它取任何一个特定的值的概率都等于0不能列出每一个值及其相应的概率通常研究它取某一区间值的概率用数学函数的形式和分布函数的形式来描述概率与概率分布(4)课件5.4.1概率密度函数设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x)值值值值( (值值值值, , 频数频数频数频数) )频数频数频数频数f f( (x x) )a ab bx x概率与概率分布(4)课件在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 x1 x2，P(x1 X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积f(x)xab概率是曲线下的面积概率与概率分布(4)课件分布函数1.连续型随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示2.分布函数定义为3.根据分布函数，P(aXb)可以写为概率与概率分布(4)课件分布函数与密度函数的图示1.密度函数曲线下的面积等于12.分布函数是曲线下小于 x0 的面积f(x)xx0F ( x0 )概率与概率分布(4)课件连续型随机变量的期望和方差1.连续型随机变量的数学期望为2.方差为概率与概率分布(4)课件【例】设连续型随机变量X在有限区间（a,b）内取值，其概率密度为试求（1）分布函数；（2）期望值与方差f（x）=0， 其他概率与概率分布(4)课件均匀分布若随机变量X的概率密度函数为称X在区间a ,b上均匀分布数学期望和方差分别为概率与概率分布(4)课件5.4.2 正态分布1.描述连续型随机变量的最重要的分布2.可用于近似离散型随机变量的分布例如: 二项分布3.经典统计推断的基础x xf f ( (x x) )概率与概率分布(4)课件1.正态分布的定义及图形特点f(x) = 随机变量 X 的频数 = 总体方差 =3.14159; e = 2.71828x = 随机变量的取值 (- x 0，即概率密度函数在x 的上方2.正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数3.决定曲线的高度，决定曲线的平缓程度，即宽度4.曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交5.正态曲线下的总面积等于16.随机变量的概率由曲线下的面积给出概率与概率分布(4)课件 和 对正态曲线的影响xf(x)CAB概率与概率分布(4)课件正态分布的概率a ab bx xf f( (x x) )概率与概率分布(4)课件2.标准正态分布任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布概率密度函数分布函数概率与概率分布(4)课件标准正态分布 =1Z 标准正态分布一般正态分布概率与概率分布(4)课件标准正态分布表的使用1.将一个一般的转换为标准正态分布2.计算概率时 ，查标准正态概率分布表3.对于负的 x ，可由 (-x) x得到4.对于标准正态分布，即XN(0,1)，有P (a X b) b aP (|X| a) 2 a 15.对于一般正态分布，即XN( , )，有概率与概率分布(4)课件标准化的例子 P(5 X 6.2) x =5=10一般正态分布一般正态分布一般正态分布6.2 =1Z标准正态分布标准正态分布标准正态分布 0 0.12.0478.0478.0478概率与概率分布(4)课件标准化的例子P(2.9 X 7.1) 一般正态分布一般正态分布.1664.1664.1664.0832.0832.0832.0832标准正态分布标准正态分布标准正态分布概率与概率分布(4)课件【例例】设XN(0，1)，求以下概率： (1) P(X 2)； (3) P(-1X 3) ； (4) P(| X | 2) 解解：(1) P(X 2)=1- P(2 X)=1-0.9973=0.0227 (3) P(-1X 3)= P(X 3)- P(X -1) = (3)- (-1)= (3) 1-(1) = 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) P(| X | 2) = P(-2 X 2)= (2)- (-2) = (2)- 1-(2)=2 (2)- 1=0.9545概率与概率分布(4)课件【例】设XN(5，32)，求以下概率 (1) P(X 10) ； (2) P(2X 10)概率与概率分布(4)课件二项分布的正态近似1.当n 很大时，二项随机变量X近似服从正态分布Nnp , np(1-p)2.对于一个二项随机变量X，当n很大时，求 P(x1Xx2)时可用正态分布近似为概率与概率分布(4)课件增加的部分与减少增加的部分与减少的部分不一定相等的部分不一定相等概率与概率分布(4)课件【例】100台机床彼此独立地工作，每台机床的实际工作时间占全部工作时间的8%。求(1)任一时刻有7080台机床在工作的概率(2)任一时刻有80台以上机床在工作的概率解 ： 设X表 示 100机 床 中 工 作 着 的 机 床 数 ， 则XB(100,0.8)。现用正态分布近似计算，np=80，npq=16概率与概率分布(4)课件