中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第2 2章章 一一元函数元函数微分学微分学高等数学高等数学A A2.1 2.1 导数及微分导数及微分2.1.1 引例引例 2.1.2 导数概念导数概念2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义 2.1.4 可导与连续的关系可导与连续的关系2.1.5 求导数的例题求导数的例题 导数基本公式表导数基本公式表 微积分学微积分学(calculus)(calculus)以研究函数的微分和积分及其应用为主的一门以研究函数的微分和积分及其应用为主的一门数学学科数学学科微分学微分学1.物体运动时要求出它在任一时刻的速度和加速度物体运动时要求出它在任一时刻的速度和加速度2.研究光线通过透镜的规律时要求出光滑曲线上给定研究光线通过透镜的规律时要求出光滑曲线上给定点的切线和法线点的切线和法线3.研究炮弹的射程时要求出函数的最大值和最小值研究炮弹的射程时要求出函数的最大值和最小值积分学积分学研究曲线的长度、物体的体积、曲面的面积、研究曲线的长度、物体的体积、曲面的面积、以及天体间的引力等以及天体间的引力等2.1 2.1 导数及微分导数及微分2.1.1 2.1.1 引例引例引例引例 切线问题切线问题速度问题速度问题 2.1.2 2.1.2 导数的概念导数的概念导数的概念导数的概念定义定义左右导数定义左右导数定义区间上导函数定义区间上导函数定义用导数定义求函数导数用导数定义求函数导数 用定义求导步骤用定义求导步骤用定义求导数习例用定义求导数习例1-52.1.3 2.1.3 导数的意义导数的意义导数的意义导数的意义几何意义几何意义物理意义物理意义2.1.4 2.1.4 可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系2.1.5 2.1.5 求导数的例题求导数的例题求导数的例题求导数的例题 导数基本公式导数基本公式导数基本公式导数基本公式求导数的习例求导数的习例求导数的习例求导数的习例8-118-11连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例导数基本公式导数基本公式导数基本公式导数基本公式内容小结内容小结课堂思考与练习课堂思考与练习导导数数及及微微分分一一.引例引例 1.切线问题切线问题 割线的极限位置割线的极限位置切线切线割线割线 MN 的斜率为的斜率为2.速度问题速度问题 二、导数定义二、导数定义 (变化率变化率)定义定义: 注意注意: 单侧导数单侧导数(左右导数左右导数)左导数左导数: 右导数右导数: 注：注：单侧导数经常在研究分段函数分段点和区间端点的单侧导数经常在研究分段函数分段点和区间端点的 可导性时碰到可导性时碰到, 并且有结论并且有结论:(导函数导函数)(2) 速度是路程函数的导数速度是路程函数的导数, 即即 用定义求函数导数用定义求函数导数步骤步骤:用导数定义求函数导数习例用导数定义求函数导数习例解解:由导数定义得由导数定义得解解: 注意注意: 解解: 解解:解解:切线方程切线方程:法线方程法线方程:几何意义几何意义注意注意:此时切线与此时切线与x轴平行轴平行;此时切线与此时切线与x轴垂直轴垂直.(2)当导数存在时当导数存在时, 一定能够找到切线一定能够找到切线; 反之反之, 当有切线时当有切线时,不一定导数存在不一定导数存在!解解: 割线的斜率为割线的斜率为所求点所求点为为 (2,4). 物理意义物理意义(非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率)变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数的导数为物体的线为物体的线(面面,体体)密度密度.三、函数的可导性与连续性的关系三、函数的可导性与连续性的关系 定理定理:-可导必连续可导必连续证明证明: 注意注意: 解解: 四、求导数的习例四、求导数的习例四、求导数的习例四、求导数的习例解解: 所以所以 f (x) 在在 x=0 处处连续连续. 解解: 因为因为 f(x) 在在 x=1处连续处连续,可得可得 由由 f (x)在在 x=1处可导处可导,可得可得 解解: 解解: 连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,01例如例如,例如例如,011/1/导数基本公式导数基本公式导数基本公式导数基本公式（已学求导公式）（已学求导公式）（已学求导公式）（已学求导公式） : :内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2. 增量比的极限;切线的斜率;思考题思考题1函数函数在在连续点不可点不可导有哪些有哪些类型？型？2函数函数在点在点可可导，是否函数在点，是否函数在点的某个的某个邻域内每一点可域内每一点可导？3符号符号与与4. 求哪些函数个求哪些函数个别点的点的导数或左右数或左右导数数应用用导数的定数的定义？在点在点不可不可导，则曲曲线在点在点不存在切不存在切线。5. 若函数若函数是否有区别？是否有区别？思考题参考答案思考题参考答案课堂练习：习题课堂练习：习题2.1第第2题题(1)(2)、第、第6题、第题、第7题题练习参考答案练习参考答案