3 3. .2 2导数与函数的单调性、导数与函数的单调性、极值、最值极值、最值 1.函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内;如果f(x)0 f(x)0 f(x)0 f(x)=0 -4-知识梳理双基自测自测点评231检查方程的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得.f(x)=0 极大值 极小值 3.函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在区间a,b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在区间a,b上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在区间a,b上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.(3)设函数f(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤.求f(x)在区间(a,b)内的;将f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.-5-知识梳理双基自测自测点评231f(a) f(b) f(a) f(b) 极值 f(a),f(b) 2-6-知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f(x)0. ()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. ()(3)导数为零的点不一定是极值点. ()(4)函数的极大值不一定比极小值大. ()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. () 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5) -7-知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭-8-知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭-9-知识梳理双基自测自测点评234154.(2017江苏,11)已知函数f(x)=x3-2x+ex- ,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是. 答案解析解析关闭 答案解析关闭-10-知识梳理双基自测自测点评234155.(教材习题改编P32T4)如图是f(x)的导函数f(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为. 答案解析解析关闭由题意知,只在x=-1处f(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案解析关闭1 -11-知识梳理双基自测自测点评1.若函数f(x)在区间(a,b)内递增,则f(x)0;“f(x)0在(a,b)内恒成立”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3的极值点.3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.-12-考点1考点2考点3考向一讨论函数的单调性或求单调区间(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?-13-考点1考点2考点3-14-考点1考点2考点3令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当-4x0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.-15-考点1考点2考点3考向二已知函数单调性求参数的取值范围例2已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么?-16-考点1考点2考点3-17-考点1考点2考点3(2)因为f(x)在(-,+)上是增函数,所以f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立,即a3x2对xR恒成立.因为3x20,所以只需a0,即实数a的取值范围为(-,0.-18-考点1考点2考点3解题心得1.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).-22-考点1考点2考点3-23-考点1考点2考点3-24-考点1考点2考点3例3已知函数f(x)=x-aln x(aR).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?-25-考点1考点2考点3-26-考点1考点2考点3从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.-27-考点1考点2考点3解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.3.利用导数研究函数极值的一般流程:-28-考点1考点2考点3(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.-29-考点1考点2考点3令f(x)=0,解得x=-1或x=5.由x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去.当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,+)内为增函数.由此可知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5;函数f(x)没有极大值.-30-考点1考点2考点3例4(2017北京高考,文20)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;思考求函数的最值可划分为哪几步? -31-考点1考点2考点3解:(1)因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.-32-考点1考点2考点3解题心得求函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤:(1)求函数在区间(a,b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.-33-考点1考点2考点3对点训练对点训练3设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x0时,(x-k)f(x)+x+10,求k的最大值.解(1)由题意知函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f(x)=ex-a.若a0,则f(x)=ex-a0,故函数f(x)=ex-ax-2在(-,+)上单调递增;若a0,则当x(-,ln a)时,f(x)=ex-a0;因此,f(x)在(-,ln a)内单调递减,在(ln a,+)内单调递增.-34-考点1考点2考点3(2)因为a=1,所以(x-k)f(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.由(1)知,当a=1时,函数f(x)=ex-x-2在(0,+)上单调递增,而f(1)0,所以f(x)=ex-x-2在(0,+)上存在唯一的零点,故g(x)在(0,+)上存在唯一的零点.-35-考点1考点2考点3设此零点为,则有(1,2).当x(0,)时,g(x)0;所以g(x)在(0,+)上的最小值为g().又由g()=0,可得e=+2,故g()=+1(2,3).由于式等价于k0,则由f(x)=0得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)在区间(-,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+)内单调递增.-42-(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a0,即a1时,f(x)0.反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式,寻找的方法就是等价转换.