数的整除（一） 【知识精读】 如果整数 A 除以整数 B(B0)所得的商 A/B 是整数,那么叫做 A 被 B 整除. 0 能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除 8 或 125 末三位数能被 8 或 125 整除 3 或 9 各位上的数字和被 3 或 9 整除(如 771，54324) 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被 11 整除 (如 143,1859,1287,908270 等) 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被 7 或 11 或 13 整除.(如 1001，22743，17567，21281 等) 能被 7 整除的数的特征： 抹去个位数 减去原个位数的 2 倍 其差能被 7 整除。 如 1001 100298（能被 7 整除） 又如 7007 70014686， 681256（能被 7 整除） 能被 11 整除的数的特征： 抹去个位数 减去原个位数 其差能被 11 整除 如 1001 100199（能 11 整除） 又如 10285 102851023 102399（能 11 整除） 【分类解析】 例 1 已知两个三位数328和92x的和仍是三位数75y且能被 9 整除。求 x,y 解：x,y 都是 0 到 9 的整数，75y能被 9 整除，y=6. 32892x567，x=3 例 2 己知五位数x1234能被12 整除，求 X。 解：五位数能被 12 整除，必然同时能被 3 和 4 整除， 当 1234X 能被 3 整除时，x=2，5，8 当末两位X4能被 4 整除时，X0，4，8 X8 例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数。 解：五位数字都不相同的最小五位数是 10234， 但（124）（03）4，不能被 11 整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为 30，41，52，63，均可， 五位数字都不相同的最小五位数是 10263。 【实战模拟】 1 分解质因数： （写成质因数为底的幂的連乘积） 593 1859 1287 3276 10101 10296 2 若四位数a987能被3 整除，那么 a=_ 3 若五位数3412X能被11 整除，那么 X_- 4 当 m=_时，535m能被25整除 5 当 n=_时，n9610能被 7 整除 6 能被 11 整除的最小五位数是_,最大五位数是_ 7 能被 4 整除的最大四位数是_，能被 8 整除的最小四位数是_ 8 8 个数：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号） ： 6_,8_,9_,11_ 9 从 1 到 100 这 100 个自然数中，能同时被 2 和 3 整除的共_个， 能被 3 整除但不是 5 的倍数的共_个。 10 由 1，2，3，4，5 这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被 3 整除的数共有几个？为什么？ 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能11 己知五位数A1234能被 15 整除，试求 A 的值。 12 求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13 在十进制中，各位数码是 0 或 1，并能被 225 整除的最小正整数是 参考答案 1. 22 32 7 3 3 7 13 37 23 32 11 13 2. 0，3，6，9 3. 0 4. 2，7 5. 3 6. 10010，9990 7. 9996，9992 8. 6：B 8：F，G 9：B，D 11：G，H 9. 16；27 10. 没有一个，1234515 是 3 的倍数，与数字的位置无关 11. 仿例 2，a5 12. 10269（由最小五位数 10234 调换末两位数） 13. 11111111100 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（2）倍数 约数 【知识精读】 1、两个整数 A 和 B（B0） ，如果 B 能整除 A（记作 BA） ，那么 A 叫做 B 的倍数，B 叫做 A 的约数。例如 315，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数。 2、 因为 0 除以非 0 的任何数都得 0， 所以 0 被非 0 整数整除。 0 是任何非 0 整数的倍数，非 0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。 3、 整数 A （A0） 的倍数有无数多个， 并且以互为相反数成对出现， 0， A， 2A， 都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有5，10，。 4、整数 A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1 和A。例如 6 的约数是1，2，3，6。 5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6、公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数（例如 15 与 28 互质） 。 7、在有余数的除法中， 被除数除数商数余数 若用字母表示可记作： ABQR，当 A，B，Q，R 都是整数且 B0 时，AR 能被 B 整除 例如 23372 则 232 能被 3 整除。 【分类解析】 例 1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232 。 解：列表如下 正整数 正约数 个 数 计 正整数 正约数 个数计 正 整 数 正约数 个数计 2 1，2 2 3 1，3 2 23 1，2， 3，6 4 22 1，2，4 3 32 1，3，32 3 223 1，2，3， 4，6，12 6 1，2， 1，3， 1，2，3， 9 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能23 4，8 4 33 32，33 4 2232 4，6，9， 12，18，36 24 1，2，4， 8，16 5 34 1，3，32， 33，34 5 其规律是：设 Aambn (a，b 是质数,m，n 是正整数) 那么合数 A 的正约数的个是（m+1）(n+1) 例如求 360 的正约数的个数 解：分解质因数：36023325， 360 的正约数的个数是（31）（21）（11）24（个） 例 2 用分解质因数的方法求 24，90 最大公约数和最小公倍数 解：24233，902325 最大公约数是 23， 记作（24，90）6 最小公倍数是 23325360， 记作24,90=360 例 3 己知 32，44 除以正整数 N 有相同的余数 2，求 N 解：322，442 都能被 N 整除，N 是 30，42 的公约数 （30，42）6，而 6 的正约数有 1，2，3，6 经检验 1 和 2 不合题意，N6，3 例 4 一个数被 10 余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，求适合条件的最小正整数 分析：依题意如果所求的数加上 1，则能同时被 10，9，8 整除,所以所求的数是 10，9，8 的最小公倍数减去 1。 解： 10,9,8=360, 所以所求的数是 359 【实战模拟】 1、12 的正约数有_,16 的所有约数是_ 2、分解质因数 300_,300 的正约数的个数是_ 3、用分解质因数的方法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。 4、一个三位数能被 7，9，11 整除，这个三位数是_ 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能5、能同时被 3，5，11 整除的最小四位数是_最大三位数是_ 6、己知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2，则 A_ 7、写出能被 2 整除，且有约数 5，又是 3 的倍数的所有两位数。答_ 8、一个长方形的房间长 1.35 丈，宽 1.05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？ 9、 一条长阶梯，如果每步跨 2 阶，那么最后剩 1 阶，如果每步跨 3 阶，那么最后剩 2阶，如果每步跨 4 阶，那么最后剩 3 阶，如果每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶，如果每步跨 6 阶，那么最后剩 5 阶，只有每步跨 7 阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？ 答案： 1. 1，2，3，4，6，12； 1，2，3，6，9，18 2. 22352； 18 3. 25； 2253 4. 693 5. 3，5，11165，1155；990 6. A3 即求 142 与 232 的公约数 7. 30，60，90 8. （135，105）15，正约数有 1，3，5，15 9. 119。2，3，4，5，660，6021119 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（3）质数 合数 【知识精读】 1、正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数） 。 合数的定义：一个正整数除了能被 1 和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。 2、 根椐质数定义可知 质数只有 1 和本身两个正约数， 质数中只有一个偶数 2 如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是 2， 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是 2， 3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。 【分类解析】 例 1 两个质数的和等于奇数 a (a5) 。求这两个数 解：两个质数的和等于奇数 必有一个是 2 所求的两个质数是 2 和 a2。 例 2 己知两个整数的积等于质数 m, 求这两个数 解：质数 m 只含两个正约数 1 和 m, 又（1） （m）=m 所求的两个整数是 1 和 m 或者1 和m. 例 3 己知三个质数 a,b,c 它们的积等于 30 求适合条件的 a,b,c 的值 解：分解质因数：302 3 5 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能 适合条件的值共有： 532cba352cba523cba253cba325cba235cba 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为 4 个质数 a,b,c,d 它们的积等于 210,即 abcd=2 3 5 7 那么适合条件的 a，b，c，d 值共有 24 组，试把它写出来。 例 4 试写出 4 个連续正整数，使它们个个都是合数。 解： （本题答案不是唯一的） 设 N 是不大于 5 的所有质数的积，即 N2 3 5 那么 N2，N3，N4，N5 就是适合条件的四个合数 即 32，33，34，35 就是所求的一组数。 本题可推广到 n 个。令 N 等于不大于 n+1 的所有质数的积，那么 N2， N3，N4，N（n+1）就是所求的合数。 【实战模拟】 ， 1、小于 100 的质数共_个，它们是_ 2、己知质数 P 与奇数 Q 的和是 11，则 P，Q 3、己知两个素数的差是 41，那么它们分别是 4、 如果两个自然数的积等于 19，那么这两个数是 如果两个整数的积等于 73，那么它们是 如果两个质数的积等于 15，则它们是 5、两个质数 x 和 y，己知 xy=91,那么 x=_,y=_,或 x=_,y=_. 6、三个质数 a、b、c 它们的积等于 1990，那么 cba 7、能整除 311513的最小质数是 8、己知两个质数 A 和 B 适合等式 AB99，ABM。求 M 及BAAB的值。 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能9、试写出 6 个連续正整数，使它们个个都是合数。 10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？ 11、求适合下列三个条件的最小整数： 大于 1 没有小于 10 的质因数 不是质数 12、某质数加上 6 或减去 6 都仍是质数，且这三个质数均在 30 到 50 之间，那么这个质数是 13、一个质数加上 10 或减去 14 都仍是质数，这个质数是。 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能参考答案 1. 25 个 2. 2，9 3. 2，43 4. 1，19；1，73 或1，73 5 6. 19002 5 199 有 6 组 7. 2 8. 9.令 N2 3 5 7210，所求合数为 N2，N3， 10. 分母只含 2 和 5 的质因数 11. 11 11 12. 37 13. 3 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（4）零的特性 【知识精读】 一、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。 二、零是自然数，是整数，是偶数。 1、零是表示具有相反意义的量的基准数。 例如：海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支衡可记作结存 0 元。 2、零是判定正、负数的界限。 若 a 0 则 a 是正数，反过来也成立，若 a 是正数，则 a0 记作 a0 a 是正数 读作 a0 等价于 a 是正数 bb 时,a-b0；当 ab 时,a-b0. 四、在近似数中，当 0 作为有效数字时，它表示不同的精确度。 例如 近似数 1.6 米与 1.60 米不同，前者表示精确到 0.1 米（即 1 分米）,误差不超过 5厘米； 后者表示精确到 0.01 米（即 1 厘米） ，误差不超过 5 毫米。可用不等式表示其值范围如下： 1.55近似数 1.61.65 1.595近似数 1.60a, a2 a2, aa, a+1a 3、x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：句。 （x2）2有最小值 0， x+3|有最大值 0， 2x2有最大值 2， 3x1有最小 3。 4、绝对值小于 5 的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？ 5、要使下列等式成立，字母 X、Y 应取什么值？ X00， X（X3）0， X1（Y3）20 6、下列说法正确吗？为什么？ a 的倒数是a1 方程（a1）x3 的解是 x13a n 表示一切自然数，2n1 表示所有的正奇数 如果 ab, 那么 m2am2b (a 、b 、m 都是有理数 ) 7、x 取什么值时，下列代数式的值是正数？ x（x1） x（x1） （x2） 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能参考答案 2. 只一个 3. 4 4. 无数多个，0 5. x 0， 0 或 3 . X=0且 y5 （注意或与且的区别） 6. 都不正确，0 没有倒数 7. x1 或 x0 -2x0 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（5）an 的个位数 【知识精读】 .1、 整数 a 的正整数次幂 an,它的个位数字与 a 的末位数的 n 次幂的个位数字相同。 例如 20023与 23的个位数字都是 8。 2、0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如 57的个位数是 5，620的个位数是 6。 3、2，3，7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表： 指 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 底 数 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 其规律是：2 的正整数次幂的个位数是按 2、4、8、6 四个数字循环出现，即 24k+1与 21，24K2与 22，24K3与 23，24K4与 24的个位数是相同的（K 是正整数） 。 3 和 7 也有类似的性质。 4、4，8，9 的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用 422， 823，932转化为以 2、3 为底的幂。 5、综上所述，整数 a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律： a4Km与 am的个位数相同(k,m 都是正整数。 【分类解析】 例1 20032003的个位数是多少？ 解：20032003与 32003的个位数是相同的， 200345003， 32003与 33的个位数是相同的，都是 7， 2003 的个位数是 7。 例2 试说明 6320001472002的和能被 10 整除的理由 解：20004500，200245002 632000与 34的个位数相同都是 1，1472002与 72的个位数相同都是 9， 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能6320001472002的和个位数是 0， 6320001472002的和能被 10 整除。 例3 K 取什么正整数值时，3k2k是 5 的倍数？ 例4 解：列表观察个位数的规律 K 1 2 3 4 3 的个位数 3 9 7 1 2 的个位数 2 4 8 6 3k2k的个位数 5 5 从表中可知，当 K1，3 时，3k2k的个位数是 5， am与 a4n+m 的个位数相同（m,n 都是正整数，a 是整数） ;当 K 为任何奇数时，3k2k是 5 的倍数。 【实战模拟】 ， 1、在括号里填写各幂的个位数（K 是正整数） 220 的个位数是 （ ） 45 的个位数是（ ） 330 的个位数是 （ ） 87 的个位数是（ ） 74K+1 的个位数是 （ ） 31179 的个位数是（ ） 216314的个位数是（ ） 32k-172k-1的个位数是（ ） 72k32k 的个位数是（ ） 74k-164k-3的个位数是（ ） 7710331522205525的个位数是（ ） 2、目前知道的最大素数是 22160911，它的个位数是。 3、说明如下两个数都能被 10 整除的理由。 53533333 1987198919931991 4、正整数 m 取什么值时，3m1 是 10 的倍数？ 5、 设 n 是正整数，试说明 2 n 7n+2能被 5 整除的理由。 6、 若 a4的个位数是 5，那么整数 a 的个位数是 若 a4的个位数是 1，那么整数 a 的个位数是 若 a4的个位数是 6，那么整数 a 的个位数是 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能若 a2k-1的个位数是 7，那么整数 a 的个位数是 7、12+22+32+92的个位数是， 12+22+32+192的个位数是， 12+22+32+292的个位数是。 8、a、b、c 是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么 b2是（ ） （A）15116， （B）15129， （C）15144， （D）15321 参考答案 1. 6，4，9，2，7，4，4，0，0，7，0 要注意 3，7 为底的正奇数次幂的和为 0，正偶数次幂的差为 0 2. 7 3. 算出个位数的差为零 4. 由 321 写出通解 m=2 4k (k 为非负整数) 5. 可用列表观察其规律 n= 1 2 3 4 2n= 7n+2= 2n+7n+2 6. 5；1，3 或 7，9；2，4，6，8；3，7。 7. 5；0；5 8. B 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（6）数学符号 【知识精读】 数学符号是表达数学语言的特殊文字。 每一个符号都有确定的意义， 即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。 数学符号一般可分为： 1、元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用和表示园和三角形等。 2、关系符号：如等号，不等号，相似，全等，平行，垂直等。 3、运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4、逻辑符号：略 5、 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数 a 和 b 中，如果 a 除以 b 的商的整数部份记作 Z（ba） ，而它的余数记作 R（ba） ， 那么 Z （310） 3， R （310） 1； 又如设 x表示不大于 x 的最大整数， 那么2 . 55， 2 . 56，320，33。 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义） 对题设中临时约定的符号， 一定要扣紧定义， 由简到繁， 由浅入深， 由具体到抽象，逐步加深理解。 在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。 【分类解析】 例 1 设 Z表示不大于 Z 的最大整数，n为正整数 n 除以 3 的余数 计算： 4.0773213;2004 14.7 234 。 解：原式4（3）100 原式1421202 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能例 2求 19871988的个位数 说明 1987198919931991能被 10 整除的理由 解：设 N（x）表示整数 x 的个位数， N（19871988）N（74497）N（74）1 N（19871989）N（19931991）N（744971）N（344973） N（71）N（33）770 1987198919931991能被 10 整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。 例 3.定义一种符号的运算规则为：ab=2a+b 试计算：53 （17）4 解：5325313 （217）49429422 例4 设 ab=a(ab+7), 求等式 3x=2(-8)中的 x 解：由题设可知： 等式 3x=2(-8)就是 3（3x7）22（8）7 9x+21=18 x=431 【实战模拟】 1、设 Qx 表示有理数 x 的整数部分，那么 Q2.15 Q12.3= Q0.03 Q51 2、设n表示不小于 n 的最小整数，那么4.3 2.3 2 0.30.3 3、设m表示不大于 m 的最大整数 若 m=2 则m= 若 n= 3.5 则n= 若1Y0 则Y 若 7b8 则b 若x=4 则x 若 nCn1 则C 4、正整数 a 和 b 中，设 a 除以 b 的商的整数部分记作 Z（ba）余数记作 R（ba） ，ab的个位数记作 n（ab）,写出下列各数的结果： 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能R（733）R（52） Z（733）Z（52） n(19891990)= 5、设 n！表示自然数由 1 到 n 的連乘积 例如 5！12345120 计算：1203! )!35( ! 3! 5 6、设=2211baba= a1b2a2b1 计算：21 43 11 01 7、定义一种符号的运算法则为 ab=baba22 那么 32 23 （12）3 （3）（10） 8、a、b 都是正整数，设 a b 表示从 a 起 b 个連续正整数的和。 例如 23234,545678. 己知 x52005，求 X 9、设x表示不大于 x 数的最大整数且 xxx.求 10、设a表示不大于数 a 的最大整数.例如21， 22. 那么3x+12x-21的所有的根的和是 参考答案 1. 2，2，0，0 2. 5,-2,-2,1 3. 2 4 1 7 4x5 n 4. 7,4,1,8 5. 20,10 6. 2,-2 8. 7. ，399 9. 9. 1 10. 2 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（7）用字母表示数 【知识精读】 1、用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。 1， 用字母表示数时， 字母所取的值， 应使代数式有意义， 并使它所表示的实际问题有意义。 例如写出数 a 的倒数 用字母表示一切偶数 解：当 a0 时， a 的倒数是a1 设 n 为整数， 2n 可表示所有偶数。 2、命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。 例题 化简：x 3（x3） | x+5| 解：x3,x30， x3（x3）x3 当 x5 时，x5x5， 当 x 0，b0， 那么 a+b0，不可逆 绝对值性质 如果 a0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a 则 a0) 5、 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 【分类解析】 例 1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的 n 位数呢？ 解：不同的五位数可从最大 五位数 99999 减去最小五位数 10000 前的所有正整数，即99999-9999=90000. 推广到 n 位正整数，则要观察其规律 一位正整数,从 1 到 9 共 9 个， 记作 91 二位正整数从 10 到 99 共 90 个， 记作 910 三位正整数从 100 到 999 共 900 个， 记作 9102 四位正整数从 1000 到 9999 共 9000 个， 记作 9103 (指数 3=4-1) n 位正整数共 910 n-1个 例 2 _ A C D E B 在线段 AB 上加了 3 个点 C、D、E 后，图中共有几条线段？ 加 n 点呢？ 解：以 A 为一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共 4 条 以 C 为一端的线段有：(除 CA 外) CD、CE、CB 共 3 条 以 D 为一端的线段有：(除 DC、DA 外) DE、DB 共 2 条 以 E 为一端的线段有：(除 ED、EC、EA 外) EB 共 1 条 共有线段 1+2+3+4=10 (条) 注意：3 个点时，是从 1 加到 4， 因此 如果是 n 个点，则共有线段 1+2+3+n+1= nn211=2) 2(nn条 【实战模拟】 1、 右边代数式中的字母应取什么值？ 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能 24x S正方形=a2 3 的倍数 3n 2、用字母表示： 一切奇数， 所有正偶数， 一个三位数， n 个 a 相乘的结果， 负数的绝对值是它的相反数。 3、写出：从 1 开始，n 个自然数的和是_ 从 11 开始到 2n+1 連续奇数的和( n5)是_ m 个球队进行单循环赛所需场数是_ 4、已知 999=1031, 9999=1041, 那么各位数都是 9 的 n 位数 n9999=_ 5、计算 112= 1112= (n10 时) n21111=_ 6、 写出图中所有三角形并计算其个数， 如果线段上有 10 个点呢？ 参考答案 1. x2，a0, n 是整数 2. 2n1（n 是整数）2n(n 是正整数) 100a+10b+c(a 是 1 到 9,b,c 是 0 到 9 的整数) an(n 是正整数) a(an）,则至少有一个集合里元素不少于nm个。 3、 根据nm的定义，己知 m、n 可求nm； 己知nm，则可求nm的范围，例如己知nm3，那么 2nm3 ；己知 3x2，则 13x2 ，即 3x6 ，x 有最小整数值 4。 【分类解析】 例 1 某校有学生 2000 人，问至少有几个学生生日是同一天？ 分析：我们把 2000 名学生看作是苹果，一年 365 天（闰年 366 天）看作是抽屉，即把 m（2000）个元素，分成 n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于nm个 解：3662000536617 36620006 答：至少有 6 名学生的生日是同一天 例2 从 1 到 10 这十个自然数中，任意取出 6 个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。 解：我们把 1 到 10 的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为 5 个集合，它们是： 1，2，4，8， ， 3，6， ， 5，10 ， 7 ， 9 。 要在 5 个集合里取出 6 个数， 至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 （本题的关键是划分集合，想一想为什么 9 不能放在 3 和 6 的集合里） 。 例3 袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各 6 个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3 个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能分析：我们可把 4 种球看成 4 个抽屉（4 个集合） ，至少有 3 个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于 3 个（有一个集合元素不少于 3 个） 。 解：设至少应取出 x 个，用4x表示不小于4x的最小整数，那么 4x3， 24x3 ， 即 8x 12 ， 最小整数值是 9。 答：至少要取出 9 个球，才能确保有三个同颜色。 例4 等边三角形边长为 2，在这三角形内部放入 5 个点，至少有 2 个点它们的距离小于 1，试说明理由。 解：取等边三角形各边中点，并連成四个小三角形（如图）它们边长等于 1， 5 个点放入 4 个三角形， 至少有 2 个点放在同一个三角形内， 而同一个三角形内的 2 个点之间的距离必小于边长 1。 实战模拟】 1、 初一年新生从全县 17 个乡镇招收 50 名，则至少有人来自同一个乡镇。 2、 任取 30 个正整数分别除以 7，那么它们的余数至少有个是相同的。 3、 在 2003m中，指数 m 任意取 10 个正整数，那么这 10 个幂的个位数中相同的至少于个. 4、 暗室里放有四种不同规格的祙子各 30 只， 为确保取出的祙子至少有 1 双 （2 只同规格为1 双）那么至少要取几只？若要确保 10 双呢？ 5、 袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各 6 个，请你拿出一些球，要确保至少有 4 个同颜色，那么最少要取几个？ 6、 任意取 11 个正整数，至少有两个它们的差能被 10 整除，这是为什么？ 7、 右图有 3 行 9 列的方格，若用红、蓝两种颜色 涂上，则至少有 2 列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。 8、 任意取 3 个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。 9、 90 粒糖果分给 13 个小孩，每人至少分 1 粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？ 10、11 个互不相同的正整数，它们都小于 20，那么一定有两个是互质数。 （最大公约数是 1 的两个正整数叫互质数） 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能11、 任意 6 个人中， 或者有 3 个人他们之间都互相认识， 或者有 3 个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？ 参考答案 1. 3 2. 5 3. 3 4. 5 只，23 只 5. 12 6、正整数的个位数字只有 0，1，2，9 共 10 个， 7. 设 1 表示红色，2 代表蓝色，每列 3 格用 2 种涂色，最多只有如下 8 种涂法，第 9 列必与前 8 种中的一种相同 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 8. 把正整数按奇数，偶数分为两个集合，3 个正整数放入两个集合，必有一个集合中，有 2 个 是同奇数或同偶数， 9. 如果我们给 13 人分配都不相同的粒数， 121391， 而实际糖果只有 90 粒，必有 1 人要少分 1 粒，因而他一定与其余 12 人中的 1 个相同 10. 用 A，B，C，D，E，F 表示 6 个人。A 与其他 5 个人的关系相识或不相识两种，必有一种不少于 3 人，不妨设 A 与 B，C，D3 人都相识，这时，只 B，C，D3 人中有 2 人相识，则本题的结论就成立。若 B，C，D3 人都互不相识，那么结论也成立。所以。 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（9）二元一次方程的整数解 【知识精读】 1、 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中， 若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解 显然 a,b 互质时一定有整数解。 例如方程 3x+5y=1, 5x2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。 返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x2y=1 都没有整数解， （9，3）3，而 3 不能整除 10； （4，2）2，而 2 不能整除 1。 一般我们在正整数集合里研究公约数， （a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。 2、 二元一次方程整数解的求法： 若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解） 。k 叫做参变数。 方法一：整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解 解：x=5111y=yyyy2515101 (1) , 设kky(51是整数） ，则 y=15k (2) , 把（2）代入（1）得 x=k2(15k)=11k2 原方程所有的整数解是kykx51211（k 是整数） 方法二：公式法： 设 ax+by=c 有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法） 3、 求二元一次方程的正整数解： i. 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 ii. 用观察法直接写出。 【分类解析】 例 1 求方程 5x9y=18 整数解的能通解 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能解：x=53235310155918yyyyy 设ky53（k 为整数） ，y=35k, 代入得 x=99k 原方程整数解是kykx5399 （k 为整数） 又解：当 x=o 时，y=2， 方程有一个整数解20yx它的通解是kyyx5290（k 为整数） 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例 2 求方程 5x+6y=100 的正整数解 解：x=52056100yyy(1)， 设ky5(k 为整数)，则 y=5k,(2) 把（2）代入（1）得 x=206k， 00yx 解不等式组050620kk 得 0k620,k 的整数解是 1，2，3， 正整数解是514yx108yx152yx 例 3 甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元，38 元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买 x 本，乙种书买 y 本，根据题意得 3x+5y=38 （x,y 都是正整数） x1 时，y=7，71yx是一个整数解 通解是kykx3751（k 为整数） 解不等式组037051kk得解集是3751k 整数 k=0，1，2 把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解71yx46yx111yx 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能答：甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。 【实战模拟】 ， 1、 求下列方程的整数解 公式法：x+7y=4, 5x11y=3 整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4 2,、求方程的正整数解：5x+7y=87；5x+3y=110 3、一根长 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300 毫米，乙种毛坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？ 4、兄弟三人，老大 20 岁，老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97，求兄弟三人的岁数。 5、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号） 4x2y=11, 10x5y=70, 9x+3y=111, 18x9y=98, 91x13y=169, 120x+121y=324. 6、一张试巻有 20 道选择题，选对每题得 5 分，选错每题反扣 2 分，不答得 0 分，小这军同学得 48 分，他最多得几分？ 7、用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解： y= 1 4 2 x=371y 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能参考答案 1. 公式法由特解04yx得通解kykx074（k 为整数） 由特解25yx得通解kykx52115（为 k 整数） 整除法x=3101y=31y3y,通解是kykx31310（k 为整数） 通解是kykx11513（k 为整数） 2. 11669112yxyxyx kykx50322 0322k 3. 有 6 种截法345乙甲2810乙甲2215乙甲1620乙甲1025乙甲519乙甲 4. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.（略） 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1、二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种： 当212121ccbbaa时，方程组有无数多解。 （两个方程等效） 当212121ccbbaa时，方程组无解。 （两个方程是矛盾的） 当2121bbaa（即 a1b2a2b10）时，方程组有唯一的解： 1221211212211221babaacacybababcbcx （这个解可用加减消元法求得） 2、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数） ，再解含待定系数的不等式或加以讨论。 （见例 2、3） 【分类解析】 例 1. 选择一组 a,c 值使方程组cyaxyx275 有无数多解， 无解， 有唯一的解 解： 当 5a=12=7c 时，方程组有无数多解 解比例得 a=10, c=14。 当 5a127c 时，方程组无解。 解得 a=10, c14。 当 5a12 时，方程组有唯一的解， 即当 a10 时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能例 2. a 取什么值时，方程组3135yxayx 的解是正数？ 解：把 a 作为已知数，解这个方程组 得23152331ayax 00yx 0231502331aa 解不等式组得531331aa 解集是 6311051a 答：当 a 的取值为 6311051a时，原方程组的解是正数。 例 3. m 取何整数值时，方程组1442yxmyx的解 x 和 y 都是整数？ 解：把 m 作为已知数，解方程组得82881mymx x 是整数，m8 取 8 的约数1，2，4，8。 y 是整数，m8 取 2 的约数1，2。 取它们的公共部分，m81，2。 解得 m=9，7，10，6。 经检验 m=9，7，10，6 时，方程组的解都是整数。 例 4（古代问题）用 100 枚铜板买桃，李，榄橄共 100 粒，己知桃，李每粒分别是 3，4 枚铜板，而榄橄 7 粒 1 枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买 x, y, z 粒,依题意得 ) 2(1007143) 1 (100zyxzyx 由（1）得x= 100yz (3) 把（3）代入（2） ，整理得 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能y=200+3z7z 设kz7(k 为整数) 得 z=7k, y=200+20k, x=30027k x,y,z 都是正整数07020200027300kkk解得0.10.9100kkk（k 是整数） 10k1 3. a=1 4. 5,-3,-1,1 5. 78154鸡雏鸡母鸡翁81118鸡雏鸡母鸡翁84412鸡雏鸡母鸡翁 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（11）用交集解题 【知识精读】 1 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如 6 的正约数集合记作6 的正约数1，2，3，6 ，它有 4 个元素 1，2，3，6；除以 3 余 1的正整数集合是个无限集，记作除以 3 余 1 的正整数1，4，7，10 ，它的个元素有无数多个。 2 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集 例如 6 的正约数集合 A1，2，3，6 ，10 的正约数集合 B1，2，5，10 ，6 与10 的公约数集合 C1，2 ，集合 C 是集合 A 和集合 B 的交集。 3 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集正整数集。 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 例如不等式组) 2(2) 1 (62xx解的集合就是 不等式（1）的解集 x3 和不等式（2）的解集 x2 的交集，x3. 如数轴所示： 0 2 3 4一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。 （如例 2） 分类解析】 例 1.一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值。 解：除以 3 余 2 的自然数集合 A2，5，8，11，14，17，20，23，26， 除以 5 余 3 的自然数集 B3，8，13，18，23，28， 整数集正数集正整数集征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能 除以 7 余 2 自然数集合 C2，9，16，23，30， 集合 A、B、C 的公共元素的最小值 23 就是所求的自然数。 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于 6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。 解： 二位的质数共 21 个，它们的个位数字只有 1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是1，3，7，9 ； 其中差等于 6 的有：1 和 7；3 和 9；13 和 7，三组； 平方数的个位数字相同的只有 3 和 7；1 和 9 二组。 同时符合三个条件的个位数字是 3 和 7 这一组 故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67 共四组。 例3. 数学兴趣小组中订阅 A 种刊物的有 28 人，订阅 B 种刊物的有 21 人，其中 6 人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订 A 种、只订 B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅 A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B 两种都订的人数集合） 。 只订 A 种刊物的人数是 28622 人； 只订 B 刊物的人数是 21615 人； 小组总人数是 22156144 人。 设 N，N（A） ，N（B） ，N（AB） ，N 分别表示总人数，订 A 种、B 种、AB 两种、都不订的人数，则得 公式一NN+ N（A）+N（B）N（AB） 。 例4. 在 40 名同学中调查，会玩乒乓球的有 24 人，篮球有 18 人，排球有 10 人，同时会玩乒乓球和篮球的有 6 人，同时会玩乒乓球和排球的有 4 人，三种球都会的只有 1 人， 问：有多少人只会打乒乓球 同时会打篮球和排球 只会打排球？ 解：仿公式一,得公式二 ： NN+ N（A）+N（B）+N(C) N（AB）N（AC）N(BC)+N(ABC) 只会打乒乓球的是 2464115（人） 求 N（BC）可用公式二： 4024181064N（BC）1 N（BC）3， 即同时会打篮球和排球的是 3 人 ABC 1AB 6AC 4 A24B18C 10A BB 21A 28只B15只A226征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能只会打排球的是 10316（人） 例 5. 十进制中，六位数8719xy能被 33 整除，求 x 和 y 的值 解：0x，y9， 0x+y18， 9xy9，x+yx y 33311， 19x+y+87 的和是 3 的倍数，故 x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8) (9+y+7) 是 11 的倍数， 故 xy=4，7 x+y 和 xy 是同奇数或同偶数，它们的交集是下列四个方程组的解： 48yxyx 414yxyx 711yxyx 717yxyx 解得62yx 95yx 29yx 512yx （x=12 不合题意舍去）答：x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2 【实战模拟】 1 负数集合与分数集合的交集是 2 等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。 3 12 的正约数集合 A ，30 的正约数集合 B 12 和 30 的公约数集合 C ，集合 C 是集合 A 和集合 B 的 4 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上： 563xx 052xx 22131xx 0202xx 5 某数除以 3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某数的最小值。 6 九张纸各写着 1 到 9 中的一个自然数（不重复） ，甲拿的两张数字和是 10，乙拿的两张数字差是 1，丙拿的两张数字积是 24，丁拿的两张数字商是 3，问剩下的一张是多少？ 7 求符合如下三条件的两位数：能被 3 整除它的平方、立方的个位数都不变两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。 8 据 30 名学生统计， 会打篮球的有 22 人， 其中 5 人还会打排球； 有 2 人两种球都不会打。那么会打排球有几人？只会打排球是几人？ 9 100 名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人 A 和 B 进行表决，赞成 A 的有 52 票，征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能赞成 B 的有 60 票，其中 A、B 都赞成的有 36 人，问对 A、B 都不赞成的有几人？ 10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学 24 人，物理 18 人，化学 10 人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是 13、4、5 人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。 （本题如果改为有 2 人三科都参加呢？） 11. 053yxyx 12. 十进制中，六位数2851xy能被 21 整除，求 x,y 的值（仿例 5） 参考答案 1. 负分数 2.等腰，直角 3.交集 4 x5, x-2, -3x1, 空集 5. 16 6. 7 7. 30，60，90，15，75，66（从个位数为 0，15，6 中找） 8. 11 人，6 人 9.由 100N526036 得N24 10. 30 人，7 人； 32 人，9 人 11.41yx 12. , 5, 0yx（仿例 5） 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（12）用枚举法解题 【知识精读】 有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： 按一定的顺序，有系统地进行； 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 【分类解析】 1 例 1 如图由西向东走， 从 A 处到 B 处有几 种走法？ 1 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从 A 到 C 有三种走法，在 C处标上 3， 从 A 到 M（N）有 314 种， 从 A 到 P 有 34411 种，这样逐步累计到 B，可得 111113（种走法） 例2 写出由字母 X，Y，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为 1）的所有四次单项式。 解法一：按 X4，X3，X2，X，以及不含 X 的项的顺序列出（如左） 解法二：按 XYZX 的顺序轮换写出（如右） X4 ， X 4 ， Y4 ， Z4 X3Y， X3Z， X3Y ， Y3Z ， Z3X X2Y2， X2Z2， X2YZ， X3Z ， Y3X， Z3Y XY3， XZ3， XY2Z， XYZ2， X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2 Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY 解法三：还可按 3 个字母，2 个字母，1 个字母的顺序轮换写出(略) 例3 讨论不等式 axb 的解集。 解：把 a、b、c 都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表 ax0 时，解集是 xab, 当 aab, 当 a=0,b0 时，解集是所有学过的数， 当 a=0,b0 时，解集是空集(即无解) 例 4 如图把等边三角形各边 4 等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为 4 个单位，则最小的等边三角形边长是 1 个单位， 再按顶点在上和顶点在下两种情况，逐一统计： 边长 1 单位，顶点在上的有：1+2+3+4=10 边长 1 单位，顶点在下的有：1+2+3=6 边长 2 单位，顶点在上的有：1+2+3=6 边长 2 单位，顶点在下的有：1 边长 3 单位，顶点在上的有：1+2=3 边长 4 单位，顶点在上的有：1 合计共 27 个 【实战模拟】 1 己知 x，y 都是整数，且 xy=6，那么适合等式解共_个，它们是 2 a+b=37,适合等式的非负整数解共_组，它们是 3 xyz=6, 写出所有的正整数解有： 4 如图线段 AF 上有 B，C，D，E 四点,试分别写出以 A，B，C，D，E 为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。 FEDCBA 5. 写出以 a,b,c 中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为 1）的 所有三次单项式 。 6. 除以 4 余 1 两位数共有几个？ 7. 从 1 到 10 这十个自然数中每次取两个，其和要大于 10，共有几种不同取法？ 8. 把 边长等于 4 的正方形各边 4 等分，連结各对应点成 16 个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5 等分呢？10 等分呢？ 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能9. 右图是街道的一部分，纵横各有 5 条路，如果从 A 到 B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 10. 列表讨论不等式 axb 的解集. 11. 一个正整数加上 3 是 5 的倍数，减去 3 是 6 的倍数， 则这个正整数的最小值是 参考答案 1. 8 组 2. 18 组 3. 9 组 4. 15 条 5. 10 个 6. 22 个（从 13，17，97） 7. 25 种 8. 122324230 个， 55 个， 385 个 9. 70 种 10. 当 a0 时，xab； 当 aab； 当 a=0,b0 时，无解；当 a=0,b3 时 3n（n1） ！ 。 例 3 求适合等式 x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解。 分析：这 2003 个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从 2 个，3 个，4 个直到发现规律为止。 解：x1+x2=x1x2的正整数解是 x1=x2=2 x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是 x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是 x1=x2=1,x3=2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是 x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是 x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 由此猜想结论是：适合等式 x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解为 x1=x2=x3=x2001=1, x 2002=2， x2003=2003。 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能【实战模拟】 1 除以 3 余 1 的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个，n 位数有个。 2 十进制的两位数21aa可记作 10a1a2,三位数321aaa记作 100a1+10a2+a3,四位数4321aaaa记作，n 位数记作 3 由 1323（12）2，132333（123）2，13233343 （）2 ,13152，1323n3=( )2。 4 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） 个1101111 252222个（）2；121111n个 22222n个（ ）2。 位91111 位95655（）2； n位n位56551111（）2 5 把自然数 1 到 100 一个个地排下去：1239101199100 这是一个几位数？这个数的各位上的各个数字和是多少 6计算12111131211413120191 （提示把每个分数写成两个分数的差） 7a 是正整数，试比较 aa+1和(a+1)a的大小. 8如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽 3 等分，把长 8 等分，分成 24 个 小长方形，那么这 24 个长方形中， 两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。 本题如果改为把宽 m 等分,长 n 等分(m,n 都是大于 1 的自然数)那么这 mn 个长方形中， 两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个 9把表面涂有红色的正方体的各棱都 4 等分，切成 64 个小正方体，那么这 64 个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。 本题如果改为把长 m 等分,宽 n 等分,高 p 等分， （m,n,p 都是大于 2 的自然数）那么这 mnp个正方体中， 三面涂色的有个， 两面涂色的有个， 一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。 10一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块， 其中不带皮的有块。 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能11已知两个正整数的积等于 11112222，它们分别是，。 参考答案 3，30，3102，310n1 1. 10n1a1+10n2a2_+10an1+an 4. 333332, 个n2333 位923433， 位n23433 5.192 位，901 位（50 个 18，加上 1） 6. 12111111121 2209 7. a=1,2 时，aa+1(a+1)a 8. 4,14,6； 4, 2m+2n8, (m2)(n2) 9. 8,24,24,8； 8，4 （m2）（n2）+(p2), 2 （m2）(n2)+(m2)(p2)+(n2)(p2), (m2)(n2)(p2) 10. 64,8 11. 3334 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（14）乘法公式 【知识精读】 1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开） ，还可以由右到左逆用（因式分解） ，还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。 2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2, 平方差公式： （a+b）(ab)=a2b2 立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b3 3.公式的推广： 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的 2 倍。 二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3 (ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4） （ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5） 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 （a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数 (a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n (a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能类似地： （ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn 4. 公式的变形及其逆运算 由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b) 由公式的推广可知：当 n 为正整数时 anbn能被 ab 整除, a2n+1+b2n+1能被 a+b 整除, a2nb2n能被 a+b 及 ab 整除。 【分类解析】 例 1. 己知 x+y=a，xy=b。 求： x2+y2 x3+y3 x4+y4 x5+y5 解： x2+y2(x+y)22xya22b x3+y3(x+y)33xy（x+y）a33ab x4+y4(x+y)44xy（x2+y2）6x2y2a44a2b2b2 x5+y5（x+y）(x4x3y+x2y2xy3+y4) =(x+y) x4+y4xy(x2+y2)+x2y2 =aa44a2b+2b2b(a22b)+b2 a55a3b+5ab2 例2. 求证：四个連续整数的积加上 1 的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为 a, a+1, a+2, a+3 (a 为整数) a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2 a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数 a2+3a+1 是整数 证毕 例3. 求证：22223111能被 7 整除 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能证明：22223111（22）111311141113111 根据 a2n+1+b2n+1能被 a+b 整除， （见内容提要 4） 41113111能被 43 整除 22223111能被 7 整除 例 4. 由完全平方公式推导“个位数字为 5 的两位数的平方数”的计算规律 解：(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25 “个位数字为 5 的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字 5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大 1 的数的积。 如：152=225 幂的百位上的数字 2=12)， 252=625 (6=23)， 352=1225 (12=34) 452=2025 (20=45) 【实战模拟】 1 填空： a2+b2=(a+b)2_ (a+b)2=(ab)2+_ a3+b3=(a+b)33ab(_) a4+b4=(a2+b2)2_ ,a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_ 2 填空： (x+y)(_)=x4y4 (xy)(_)=x4y4 (x+y)( _)=x5+y5 （xy）(_)=x5y5 3.计算： 552= 652= 752= 852= 952= 4. 计算下列各题 ，你发现什么规律 1119= 2228= 3436= 4347= 7674= 5.已知 x+x1=3, 求x2+21x x3+31x x4+41x的值. 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能6.化简：（a+b）2(ab)2 (a+b)(a2ab+b2) (ab)(a+b)32ab(a2b2) (a+b+c)(a+b c)(ab+c)(a+b+c) 7.己知 a+b=1, 求证：a3+b33ab=1. 8.己知 a2=a+1，求代数式 a55a+2 的值. 9.求证：2331 能被 9 整除. 10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方. 11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是 a,b,c. 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。 参考答案 4. 十位上的数字相同，个位数的和为 10 的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大 1 的数的积 10. n(n+1)+(n+1)=(n+1)2 11. 可证明 3 个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于 0 2(ab+ac+bc) abc征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（15）整数的分类 【知识精读】 1 余数的定义：在等式 AmBr 中，如果 A、B 是整数，m 是正整数，r 为小于 m 的非负整数，那么我们称 r 是 A 除以 m 的余数。 即：在整数集合中 被除数除数商余数 (0余数除数) 例如：13，0，1，9 除以 5 的余数分别是 3，0，4，1 （15（1）4。 95（2）1。 ） 2 显然，整数除以正整数 m ,它的余数只有 m 种。 例如 整数除以 2，余数只有 0 和 1 两种，除以 3 则余数有 0、1、2 三种。 3 整数的一种分类：按整数除以正整数 m 的余数，分为 m 类，称为按模 m 分类。例如： m=2 时，分为偶数、奇数两类，记作2k,2k1 （k 为整数） m=3 时，分为三类，记作3k,3k+1,3k+2. 或3k,3k+1 ， 3k1其中3k1表示除以 3 余 2。 m=5 时，分为五类， 5k.5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 或5k,5k1,5k2 ， 其中 5k2 表示除以 5 余 3。 4 余数的性质：整数按某个模 m 分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。 举例如下： （3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数 112） （4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数 133） （5k2）225k220k+4=5(5k24k)+4 （余数 224） 以上等式可叙述为： 两个整数除以 3 都余 1，则它们的和除以 3 必余 2。 两个整数除以 4，分别余 1 和 3，则它们的积除以 4 必余 3。 如果整数除以 5，余数是 2 或 3，那么它的平方数除以 5，余数必是 4 或 9。 余数的乘方，包括一切正整数次幂。 如：17 除以 5 余 2 176除以 5 的余数是 4 （2664） 5 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模 m。 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能【分类解析】 例 1. 今天是星期日，99天后是星期几？ 分析：一星期是 7 天，选用模 m=7, 求 99除以 7 的余数 解：99（72）9，它的余数与 29的余数相同， 29（23）383（71）3它的余数与 13相同， 99天后是星期一。 又解：设A表示 A 除以 7 的余数， 99 （72）92983 （71）3131 例 2. 设 n 为正整数，求 43 n+1 除以 9 的余数。 分析：设法把幂的底数化为 9kr 形式 解：43 n+1443n=4(43)n=4（64）n4(971)n (971)n除以 9 的余数是 1n=1 43 n+1 除以 9 的余数是 4。 例 3. 求证三个连续整数的立方和是 9 的倍数 解：设三个连续整数为 n1,n,n+1 M=(n 1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数 n 按模 3，分为三类讨论。 当 n=3k （k 为整数，下同）时，M33k(3k)2+2=9k(9k2+2) 当 n=3k+1 时， M3（3k+1） (3k+1)2+23（3k+1）(9k2+6k+3) =9(3k+1)(3k2+2k+1) 当 n=3k+2 时， M3（3k+2） (3k+2)2+23（3k+2）(9k2+12k+6) 9(3k+2)(3k2+4k+2) 对任意整数 n，M 都是 9 的倍数。 例 4. 求证：方程 x23y2=17 没有整数解 证明：设整数 x 按模 3 分类讨论， 当 x3k 时， （3k）23y2=17, 3(3k2y2)=17 当 x=3k1 时， （3k1）23y2=17 3(3k22ky2)=16 由左边的整数是 3 的倍数，而右边的 17 和 16 都不是 3 的倍数， 上述等式都不能成立，因此，方程 x23y2=17 没有整数解 例 5. 求证：不论 n 取什么整数值，n2+n+1 都不能被 5 整除 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能证明：把 n 按模 5 分类讨论， 当 n=5k 时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1 当 n=5k1 时，n2+n+1（5k1）25k11 25k210k+1+5k115（5k22kk）21 当 n=5k2 时，n2+n+1（5k2）25k21 25k220k+4+5k215（5k24k+k+1）2 综上所述，不论 n 取什么整数值，n2+n+1 都不能被 5 整除 又证：n2+n+1n(n+1)+1 n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是 0，2，6 n2+n+1 的个位数只能是 1，3，7，故都不能被 5 整除。 【实战模拟】 1. 已知 a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k 都是整数) 填写表中各数除以 3 的余数。 2. 3767 的余数是 3今天是星期日，第 2 天是星期一，那么第 2111天是星期几？ 4已知 m,n 都是正整数，求证：3nm(n2+2) 5. 已知 a 是奇数但不是 3 的倍数，求证：24（a21） （提示 a 可表示为除以 6 余 1 或 5，即 a=6k1） 6 把正整数按表中的规律排下去，问 100 将排在哪一列？答： 7 已知正整数 n 不是 4 的倍数 求证：1n2n3n4n是 10 的倍数 8. 任给 5 个整数，必能从中找到 3 个， 其和能被 10 整除，这是为什么？ 9 对任意两个整数，它们的和、差、积中 a+b a+c ab ac 2a 2b a2 b2 b3 b5 a+b)5 一 二 三 四 五 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 16 15 14 13 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能至少有一个是 3 的倍数，试说明理由。 10任意 10 个整数中，必有两个,它们的差是 9 的倍数。这是为什么？如果改为任意 n1个，则必有两个,它们的差是 n 的倍数，试说明理由。 11.证明 x2+y2-8z=6没有整数解。 12.从 1 开始的正整数依次写下去，直到第 198 位为止 即44344 21L位1981234。 那么这个数用 9 除之，余数是。 参考答案 2. 1 3. 日 4. 设 n=3k, 3k+1, 3k-1讨论 6. 100 除以 8 余数为 4，故在第五列 7. 可列表说明 n=4k+3, 4k+2, 4k+1, 4k 时，其和均为 0 8. 整数除以 3，余数只有 0，1，2 三种，按 5 个整数除以 3 的余数各种情况讨论 10. 整数除以 9 余数只有 9 类，而 10 个 11. x2+y2=8z+6, 右边除以 8，余数 是 6，左边整数 x,y 按除以 4 的余数，分为 4 类，4k,4k+1,4k+2,4k1, 则 x2+y2除以 8 的余数 12. 6 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能