数学建模现实生活中的数学1主要内容：一、数学建模简介一、数学建模简介二、数学建模简单示例二、数学建模简单示例三、数学建模论文写作三、数学建模论文写作四、全国大学生数学建模竞赛简介四、全国大学生数学建模竞赛简介五、数学建模的意义五、数学建模的意义2一、数学建模简介一、数学建模简介3通常，通常，1公斤面，公斤面， 1公斤馅，包公斤馅，包100个汤圆（饺子）个汤圆（饺子） 今天，今天，1公斤面不变，馅比公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几个公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？（小一些），还是少包几个（大一些）？问题问题圆面积为圆面积为S的一个皮，包成体积为的一个皮，包成体积为V的汤圆的汤圆, 若分成若分成n个皮，每个圆面积为个皮，每个圆面积为s，包成体积为，包成体积为vV和和 nv 哪个大哪个大?引子引子 从包汤圆（饺子）说起从包汤圆（饺子）说起SsssVvvv(共共n个个)定性分析定性分析V比比 nv大多少大多少?定量分析定量分析4从包汤圆（饺子）说起从包汤圆（饺子）说起假设假设1. 皮的厚度一样皮的厚度一样2. 汤圆汤圆(饺子饺子) 的形状一样的形状一样 模型模型应用应用若若100100个汤圆（饺子）包个汤圆（饺子）包1 1公斤馅公斤馅, ,则则5050个汤圆个汤圆( (饺子饺子) ) 可以包可以包 公斤馅公斤馅R 大皮大皮 半径半径V是是 nv是是 倍倍1.41.4r 小皮半径小皮半径两个两个 k1（和（和k2）一样）一样(1),(2),(3)5数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模6建模步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用71）模型准备： 了解问题的实际背景实际背景，明确建模目目的的，掌握对象的各种信息各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征特征。 （有时需查资料或到有关单位了解情况）。建模步骤建模步骤(具体解释具体解释)82）模型假设：根据实际对象的特征特征和建模目的目的，对问题进行必要地合理地简化必要地合理地简化。 不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。 分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。93）模型建立： 分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量之间的关系；要有严密的数学推理，模型本身要正确；要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。106）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制等。11模型的分类模型的分类1）按变量的性质分类：）按变量的性质分类：离散模型确定性模型 线性模型单变量模型连续模型随机性模型 非线性模型 多变量模型2）按时间变化对模型的影响分类：）按时间变化对模型的影响分类：静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型123 3）按模型的应用领域（或所属学科）分类：）按模型的应用领域（或所属学科）分类：人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4 4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分类：）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分类：初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。135 5）按建模目的分类：）按建模目的分类：描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6 6）按对模型结构的了解程度分类：）按对模型结构的了解程度分类：白箱模型：白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。14基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将研究对象看作将研究对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型的统计分析，找出与数据拟合最好的模型二者结合二者结合机理分析建立模型结构机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数测试分析确定模型参数 数学建模的基本方法数学建模的基本方法15问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。1 1假设假设 1）地面为光滑曲面；2 2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的；3 3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接 触视为几何上的点接触；4 4）椅子的中心不动。二、数学建模简单示例二、数学建模简单示例建模示例之一：建模示例之一：椅子能放平稳吗椅子能放平稳吗162 2 建模分析建模分析xyAABBCCDDO表示A,C与地面距离之和表示B,D与地面距离之和则由三点着地，有不失一般性，设初始时：17假设： 是 的连续函数， 且 对任意 ，求证：至少存在 ，使得3数学模型数学模型数学命题：数学命题：.18回忆回忆:连续函数的介值定理连续函数的介值定理oxyab194 4 模型求解模型求解证明： 将椅子转动 ，对角线互换，由可得令由 的连续性，根据介值定理，在 中至少存在一点 ,使得 ,即又所以结论：能放稳。20思考题思考题1 1： 长方形的椅子会有同样的性质吗？长方形的椅子会有同样的性质吗？21建模示例之二：人力资源分配问题建模示例之二：人力资源分配问题v某个中型百货商场对售货人员（周工资某个中型百货商场对售货人员（周工资200元）的需求经统计如下表元）的需求经统计如下表 为了保证销售人员充分休息，销售人为了保证销售人员充分休息，销售人员每周工作员每周工作5天，休息天，休息2天。问应如何安排天。问应如何安排销售人员的工作时间，使得所配售货人员销售人员的工作时间，使得所配售货人员的总费用最小？的总费用最小？星期星期一一二二三三四四五五六六七七人数人数 1215121416181922模型假设模型假设v每天工作每天工作8小时，不考虑夜班的情况；小时，不考虑夜班的情况；v每个人的休息时间为连续的两天时间；每个人的休息时间为连续的两天时间；v每天安排的人员数不得低于需求量，但可每天安排的人员数不得低于需求量，但可以超过需求量以超过需求量23问题分析：问题分析：v因素因素 1、不可变因素不可变因素：需求量、休息时间、单位费：需求量、休息时间、单位费用；用； 2、可变因素、可变因素：安排的人数、总费用；：安排的人数、总费用；v方案：方案：确定每天工作的人数，由于连续休息确定每天工作的人数，由于连续休息2天，天，当确定每个人开始休息的时间就等于知道工作的时当确定每个人开始休息的时间就等于知道工作的时间，因而确定每天开始休息的人数就知道每天开始间，因而确定每天开始休息的人数就知道每天开始工作的人数，从而求出每天工作的人数。工作的人数，从而求出每天工作的人数。v变量：设变量：设每天每天开始休息开始休息的人数为：的人数为： v约束条件约束条件 1. 每人休息时间每人休息时间2天，自然满足。天，自然满足。 24 3.变量非负约束：变量非负约束：25v目标函数目标函数：总费用最小，总费用与使用的总费用最小，总费用与使用的总人数成正比。由于每个人必然在且仅在总人数成正比。由于每个人必然在且仅在某一天某一天开始休息开始休息，所以总人数等于，所以总人数等于26模模 型型272d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度材料厚度, k热传导系数热传导系数建模示例之三：建模示例之三：双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效28dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气的热传导系数空气的热传导系数建模建模29记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2 =16建模建模30hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4, 则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数导系数 k2 2, , 而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。实际上双层窗的功效不会如此之大实际上双层窗的功效不会如此之大311、摘要（、摘要（问题、模型、方法、结果）问题、模型、方法、结果）2、问题重述、问题重述4、分析与建立模型、分析与建立模型5、模型求解、模型求解6、模型检验、模型检验7、模型推广、模型推广8、参考文献、参考文献9、附录、附录3、模型假设、模型假设三、数学建模论文写作三、数学建模论文写作32摘要问题提出和假设的合理性模型的建立 模型的计算与分析 331、摘要、摘要字数尽量控制在500字内语言精简，用词准确阐述细致具体的方法列出主要结论写出三至五个关键词主要模型（名称）、方法和结果，解决了什主要模型（名称）、方法和结果，解决了什么问题，有何特色等；么问题，有何特色等；342、问题提出和假设的合理性问题提出和假设的合理性简单地说明问题的情景，即要说清事情的来龙去脉。列出必要数据，提出要解决的问题，并给出研究对象的关键信息的内容。历届数学建模竞赛的试题可以看作是情景说明的范例。 35模型假设模型假设论文中的假设要以严格、确切的数学语言表达。所提出的假设为建立数学模型所必需的，而不是与建立模型无关。假设应验证其合理性： 合理性可以从分析问题过程中得出，例如从问题的性质出发作出合乎常识的假设；或者由观察所给数据的图象，得到变量的函数形式；也可以参考其他资料由类推得到，但要指出参考文献的相关内容。主要假设以35条为宜。363、模型的建立模型的建立 论文中引进变量及其记号，通过一定的数学方法，建立方程式或归纳为其他形式的数学问题。注意事项：1.用分析和论证的方法，让读者了解得到模型的过程。2.上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。3.需要推理和论证的地方，应该有推导的过程而且力求严谨。4.引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。5.论文中用到的各种数学符号，须在第一次出现时加以说明。374、模型的计算与分析模型的计算与分析模型求解注意事项：1.在数值求解时应对计算方法有所说明，并给出所使用软件的名称或者给出计算程序（通常以附录形式给出）。2.可以用计算机软件绘制曲线和曲面示意图，来形象地表达数值计算结果。3.一些模型（例如非线性微分方程）需要作稳定性或其他定性分析，应指出所依据的数学理论，并在推理或计算的基础上得出明确的结论。4.在模型建立和分析的过程中，带有普遍意义的结论可以用清晰的定理或命题的形式陈述出来。定理和命题必须写清结论成立的条件 。385、优缺点，改进方向等，附录（程序、更多、优缺点，改进方向等，附录（程序、更多的计算结果、复杂的推导、证明等）；的计算结果、复杂的推导、证明等）；参考论文（附）39（China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling, 缩写为缩写为 CUMCM) 四、全国大学生数学建模竞赛四、全国大学生数学建模竞赛40 1992年由中国工业与应用数学学会年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛组织第一次竞赛 1994年起由教育部高教司和年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次共同举办，每年一次(9月月) 全国高校规模最大的课外科技活动全国高校规模最大的课外科技活动41数学建模竞赛数学建模竞赛 (Mathematical Contest in Modeling) )简介简介内容内容 赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题 答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文形式形式 3名大学生组队，在名大学生组队，在3天内完成的比赛天内完成的比赛 可使用任何可使用任何“死死”材料（图书、计算机、软件、材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论互联网等），但不得与队外任何人讨论宗旨宗旨创新意识创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争标准标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰程度表述的清晰程度42年份年份A题题B题题C题题D题题2002车灯线光源的车灯线光源的优化设计优化设计彩票中的数学彩票中的数学车灯线光源车灯线光源的计算的计算赛程安排赛程安排2003SARS的传播的传播露天矿生产的露天矿生产的车辆安排车辆安排SARS的传的传播播抢渡长江抢渡长江2004奥运会临时超奥运会临时超市网点设计市网点设计电力市场的输电力市场的输电阻塞管理电阻塞管理饮酒驾车饮酒驾车公务员招聘公务员招聘2005长江水质的评长江水质的评价和预测价和预测DVD在线租赁在线租赁 雨量预报方雨量预报方法的评价法的评价DVD在线租在线租赁赁2006出版社的资源出版社的资源配置配置艾滋病疗法的艾滋病疗法的评价和疗效的评价和疗效的预测预测易拉罐形状易拉罐形状和尺寸的最和尺寸的最优设计优设计煤矿瓦斯和煤矿瓦斯和煤尘的监测煤尘的监测与控制与控制全国大学生数学建模竞赛近全国大学生数学建模竞赛近8年的题目（本科队年的题目（本科队从从A, B题中选一题，专科队从题中选一题，专科队从C, D题中选一题题中选一题 43年份年份A题题B题题C题题D题题2007中国人口中国人口预测预测乘公交，看奥乘公交，看奥运运手机手机“套餐套餐”优惠几何优惠几何 体能测试时间安体能测试时间安排的优化设计排的优化设计 2008数码相机数码相机定位定位高等教育学费高等教育学费标准探讨标准探讨地面搜索地面搜索 NBA赛程的分析赛程的分析与评价与评价2009 制动器试制动器试验台的控制验台的控制方法分析方法分析眼科病床的合眼科病床的合理安排理安排卫星和飞卫星和飞船的跟踪船的跟踪测控测控会议筹备会议筹备44数学建模数学建模计算机技术计算机技术如虎添翼如虎添翼知识经济知识经济 计算机技术和数学软件的迅速发展，为数学建模计算机技术和数学软件的迅速发展，为数学建模的应用提供了强有力的工具的应用提供了强有力的工具; 数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等领域，为数学建模开拓了许多新的处女地等领域，为数学建模开拓了许多新的处女地.五、数学建模的意义五、数学建模的意义45 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。46综合运用学过的数学知识和计算机技术综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择、使用合适选择、使用合适的数学软件的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力通过数学建模分析、解决实际问题的能力 面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行科学研究的能力科学研究的能力 关心国家建设的意识和理论联系实际的学风关心国家建设的意识和理论联系实际的学风 团结合作精神和进行协调的组织能力团结合作精神和进行协调的组织能力诚信意识和自律精神诚信意识和自律精神 在在图图书书室室及及互互联联网网上上查查阅阅文文献献、收收集集资资料料及及撰撰写写科科技技论文的文字表达能力论文的文字表达能力 数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质数学建模竞赛培养学生创新精神，提高学生综合素质47 怎怎 样样 学学 习习 数数 学学 建建 模模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术。数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术。技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想象力想象力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人做过的模型学习、分析、评价、改进别人做过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目创新意识创新意识48愿同学们喜欢数学建模愿同学们喜欢数学建模谢谢大家谢谢大家! !49