常微分方程常微分方程4 43.1线性微分方程的一般理论线性微分方程的一般理论问题在什么条件下，能够成为n阶齐次线性微分方程的通解？它将具有什么特性？函数线性相关与线性无关定义3.1.1(线性相关与线性无关) 例定义定义3.1.2伏朗斯基(Wronsky)行列式函数的线性相关性与Wronsky行列式的关系定理定理3.1.3证明证明:使得由线性代数理论知要使方程组存在非零解, 则它的系数行列式必为零,注注定理3的逆不成立.如函数事实上,若有恒等式则推论推论3.1.1定理定理3.1.4证明证明:“反证” （定理3.1.3的逆否命题）现以这组常数构造函数,由定理3.1.2知,又因为由解的唯一性定理知由定理3.1.4易得下面结论推论推论3.1.2推论推论3.1.3由定理3.1.1知,方程(3.1.2)满足下面n个初始条件又因为由此得下定理齐线性方程线性无关解的存在性定理定理3.1.5通解的结构定理定理3.1.6考虑方程组以这组常数构造由解的唯一性定理得:即推论推论基本解组基本解组:注注:基本解组不是唯一的.例例1因而有证明证明:由于微分上述行列式,得这时行列式最后一行的元素是则即从而所以故这是著名的刘维尔公式例例2对二阶微分方程解解:由刘维尔公式得由此可得则就是二阶方程的另一解,又因为从而通解为例例3求微分方程解解:由上面导出的二阶方程的通解公式可得,4.1.3非齐次线性方程与常数变易法非齐次线性方程与常数变易法非齐线性微分方程对应齐线性微分方程齐线性微分方程解的性质性质性质3.1.1证明证明:因为所以,由微分性质两式相加得性质性质3.1.2证明证明:则故通解的结构定理定理3.1.7证明证明:这些任常数是相互独立的,(3.1.8)为方程(3.1.1)的解,由定理3.1.6的证明过程易知,由性质3.1.1知,故(3.1.8)为方程(3.1.1)的通解.则由性质3.1.2知,由定理3.1.6知,故即方程(3.1.1)的任一解都可由(3.1.8)表出,(3.1.8)包括了(3.1.1)的所有解.常数变易法则为方程(3.1.2)的通解.此时(3.1.9)变为将它代入(3.1.1), 在理论上,这些限制条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,令得和表达式继续上面做法,直到获得第n-1个条件和表达式因而方程组的解可唯一确定, 设由上面方程求得积分得求解步骤例例3解解:利用常数变易法,令解得因此故通解为例例4解解: 对应的齐线性方程为:将该齐次方程改写成:积分得:所以故方程有基本解组:将原方程改写成:解得因此故原方程的通解为结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！46