6.1 刚体的平行移动刚体的两种最简单的运动是刚体的两种最简单的运动是平行移动和定轴转动平行移动和定轴转动。以后可。以后可以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。 1. 1. 刚体的平动刚体的平动在运动过程中，刚在运动过程中，刚体上任意一条直线体上任意一条直线都与其初始位置保都与其初始位置保持平行。具有这种持平行。具有这种特征的刚体运动，特征的刚体运动，称为刚体的平行移称为刚体的平行移动，简称为动，简称为平动平动。6.1 刚体的平行移动平动的实例平动的实例 夹夹板板锤锤的的锤锤头头6.1 刚体的平行移动2. 2. 平动的特点平动的特点定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点的加速度也相等。的加速度也相等。yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O证明：证明：速度速度刚体平动时，刚体内任一线段刚体平动时，刚体内任一线段ABAB的长度和方向都保持不变。的长度和方向都保持不变。因而因而因因此此，研研究究刚刚体体的的平平动动，可可以以归归结结为为研研究究刚刚体体内内任任一一点点的的运运动。动。6.1 刚体的平行移动故故即即加速度加速度上式再对时间上式再对时间t t求导一次，即得求导一次，即得即，即，在每一瞬时，平动刚体内任意两点的速度和加速度分别在每一瞬时，平动刚体内任意两点的速度和加速度分别相等。相等。轨迹轨迹由于平动刚体内各点的速度、加速度始终相同，所以刚体内所由于平动刚体内各点的速度、加速度始终相同，所以刚体内所有各点的有各点的轨迹形状完全相同轨迹形状完全相同。 6.1 刚体的平行移动平动刚体上各点的速度平动刚体上各点的速度 平动刚体上各点的加速度平动刚体上各点的加速度 6.1 刚体的平行移动注意：平动刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持注意：平动刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。由上述定理可见：由上述定理可见：综上所述，可以得出刚体平动的特点：综上所述，可以得出刚体平动的特点： 1 1、平动刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。、平动刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。 2 2、平动刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。、平动刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。 3 3、刚体平动时的运动分析可以简化为其上任意一点、刚体平动时的运动分析可以简化为其上任意一点( (一般取为一般取为质心质心) )的运动分析。的运动分析。 如果平动刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特如果平动刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特殊情形称为平面平动或直线平动。殊情形称为平面平动或直线平动。当刚体作平动时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以当刚体作平动时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平动问题就可看为点完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平动问题就可看为点的运动问题来处理。的运动问题来处理。 这样，这样，刚体平动问题就可看为点的运动问题刚体平动问题就可看为点的运动问题来处理。来处理。 在在刚刚体体运运动动的的过过程程中中，若若刚刚体体上上或或其其延延伸伸部部分分上上有有一一条条直直线线始始终终不不动动，具具有有这这样样一一种种特特征征的的刚刚体体的的运运动动称称为为刚刚体体的的定定轴轴转转动动，简称简称转动转动。该固定不动的直线称为。该固定不动的直线称为转轴转轴。6.2 刚体绕定轴的转动刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点 当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。 定轴转动实例定轴转动实例 如图，两平面间的夹角用如图，两平面间的夹角用表示，表示，称为刚体的称为刚体的转角转角。6.2 刚体绕定轴的转动转转角角是是一一个个代代数数量量，它确定了刚体的位置。它确定了刚体的位置。它它的的符符号号规规定定如如下下：自自z z轴轴的的正正端端往往负负端端看看，从从固固定定面面起起按按逆逆时时针针转转向向计计算算取取正正值值；按按顺顺时时针针转转向向计计算算取取负负值值。并并用用弧度弧度( (radrad) )表示。表示。当刚体转动时，角当刚体转动时，角j j是时间是时间t t的单值连续函数，即的单值连续函数，即这就是刚体绕定轴转动的这就是刚体绕定轴转动的运动方程运动方程。6.2 刚体绕定轴的转动转角转角j j对时间的一阶导数，称为刚体的对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，瞬时角速度，用用w w表示表示: :角角速速度度的的大大小小表表示示刚刚体体在在该该瞬瞬时时转转动动的的快快慢慢，即即单单位位时时间间内内转转角角的的变变化化。当当转转角角随随时时间间而而增增大大时时，为为正正值值，反反之之为为负负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。角角速速度度是是代代数数量量，从从轴轴的的正正端端向向负负端端看看，刚刚体体逆逆时时针针转转动动时时角角速度取正值，反之取负值。速度取正值，反之取负值。角角速速度度对对时时间间的的一一阶阶导导数数，称称为为刚刚体体的的瞬瞬时时角角加加速速度度，用用字字母母 表示，即表示，即6.2 刚体绕定轴的转动角角加加速速度度表表征征角角速速度度变变化化的的快快慢慢，其其单单位位用用rad/srad/s2 2 ( (弧弧度度/ /秒秒2 2) )表示。角加速度也是代数量。表示。角加速度也是代数量。 和和正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动加速转动。反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作体作减速转动减速转动。但减速转动只到但减速转动只到=0=0时为止。刚体由静止开始的转动都是加速时为止。刚体由静止开始的转动都是加速转动。转动。6.2 刚体绕定轴的转动工工程程上上常常用用转转速速n n来来表表示示刚刚体体转转动动的的快快慢慢。n n的的单单位位是是转转/ /分分(r/min)(r/min)，与与n n的转换关系为的转换关系为匀变速转动公式匀变速转动公式当当刚刚体体绕绕定定轴轴转转动动时时，刚刚体体内内任任意意一一点点都都作作圆圆周周运运动动，圆圆心心在在轴轴线线上上，圆圆周周所所在在的的平平面面与与轴轴线线垂垂直直，圆圆周周的的半半径径R R等等于于该该点点到轴线的垂直距离。到轴线的垂直距离。动点速度的大小为动点速度的大小为6.3 转动刚体内各点的速度和加速度由于点由于点M M绕点绕点O O作圆周运动，用自然法表示。点作圆周运动，用自然法表示。点M M的弧坐标为的弧坐标为即：定轴转动刚体内任一点的速度即：定轴转动刚体内任一点的速度, , 等于该点的转动半径与刚体角速度等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积。的乘积。式中式中v v与与两者正负相同。故速度是沿着点两者正负相同。故速度是沿着点M M的轨迹圆周的切的轨迹圆周的切线，指向转动前进的一方。线，指向转动前进的一方。 即即：转转动动刚刚体体内内任任一一点点速速度度的的大大小小等等于于刚刚体体角角速速度度与与该该点点到到轴轴线线的的垂垂直直距距离离的的乘乘积积，它它的的方方向向沿沿圆圆周周的的切切线线而而指指向向转转动动的的一一方。方。6.3 转动刚体内各点的速度和加速度6.3 转动刚体内各点的速度和加速度点点M M的加速度有切向加速度和法向加速度。的加速度有切向加速度和法向加速度。6.3 转动刚体内各点的速度和加速度法向加速度为：法向加速度为：即即：转转动动刚刚体体内内任任一一点点的的法法向向加加速速度度( (又又称称向向心心加加速速度度) )的的大大小小，等等于于刚刚体体角角速速度度的的平平方方与与该该点点到到轴轴线线的的垂垂直直距距离离的的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。即即：转转动动刚刚体体内内任任一一点点的的切切向向加加速速度度的的大大小小，等等于于刚刚体体的的角角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积加速度与该点到轴线垂直距离的乘积。它它的的方方向向由由角角加加速速度度的的符符号号决决定定，当当 是是正正值值时时，它它沿沿圆圆周周的切线，指向角的切线，指向角的正向；否则相反。的正向；否则相反。切向加速度为：切向加速度为：如如果果与与 同同号号，角角速速度度的的绝绝对对值值增增加加，刚刚体体作作加加速速转转动动，这这时时点点的的切切向向加加速速度度a a与与速速度度v v的的指向相同。指向相同。6.3 转动刚体内各点的速度和加速度如如果果与与 异异号号，刚刚体体作作减减速速转转动，动，a a与与v v的指向相反。的指向相反。(1) (1) 在在每每一一瞬瞬时时，转转动动刚刚体体内内所所有有各各点点的的速速度度和和加加速速度度的的大大小小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。点的全加速度为：点的全加速度为：(2) (2) 在在每每一一瞬瞬时时，刚刚体体内内所所有有各各点点的的加加速速度度与与半半径径间间的的夹夹角角都有相同的值。都有相同的值。6.3 转动刚体内各点的速度和加速度但是，全加速度但是，全加速度a a与转动半径与转动半径R R的夹角，却与转动半径无关。的夹角，却与转动半径无关。即：即：在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速度与其转动半径在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速度与其转动半径的夹角的夹角都相同。都相同。平面上各点加速度的分布如图。平面上各点加速度的分布如图。6.4 轮系的传动比、齿轮传动、齿轮传动啮合条件啮合条件传动比传动比即：即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故即即：相相互互啮啮合合的的两两齿齿轮轮的的角角速速度度之之比比及及角角加加速速度度之之比比与与它它们们的的齿数成反比。齿数成反比。6.4 轮系的传动比6.4 轮系的传动比、带轮传动、带轮传动齿齿轮轮传传动动是是工工程程上上常常见见的的一一种种传传动动方方式式，可可用用来来改改变变转转速速和和转向。如图，已知转向。如图，已知r r1 1、r r2 2、1 1、 1 1，求求2 2、 2 2。 解：因啮合点无相对滑动，所以解：因啮合点无相对滑动，所以由于由于于是可得于是可得即即w11r1O1O2r2w22v1v2a1a2例例6-16-1例例6-26-2一半径为一半径为R=0.2mR=0.2m的圆轮绕定轴的圆轮绕定轴O O的转动方的转动方程程为为 ，单位为弧度。求单位为弧度。求t=1st=1s时，轮缘上任一点时，轮缘上任一点M M的速度和加速度。如的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A A，求当求当t=1st=1s时，物体时，物体A A的速度和加速度。的速度和加速度。解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为当当t=1st=1s时，则为时，则为因此轮缘上任一点因此轮缘上任一点M M的速度和加速度为的速度和加速度为方向如图所示。 M M点的全加速度及其偏角为点的全加速度及其偏角为如图所示，如图所示，现在求物体现在求物体A A的速度和加速度。因为的速度和加速度。因为上式两边求一阶及二阶导数，则得上式两边求一阶及二阶导数，则得因此因此例例6-36-3在刮风期间，风车的角加速度在刮风期间，风车的角加速度 ，其中转角，其中转角以以radrad计。若初瞬时计。若初瞬时 ，其叶片半径为，其叶片半径为0.75m 0.75m 。试求。试求叶片转过两圈（叶片转过两圈（ ）时其顶端）时其顶端P P点的速度。点的速度。 P P解：解：下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3.13n142n3n2解：求传动比：则有：例例6-46-46-5 6-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度. .以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度1、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量角加速度矢量大小角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。指向用右手螺旋法则。6-5 6-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度. .以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度速度加速度M点切向加速度M点法向加速度刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速度矢为求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及加速度矢。例例6-56-5解：角速度矢量M点相对于转轴上一点M0的矢径某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢 的方向余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小=25rad/s 。求：刚体上点M（10，7，11）的速度矢。例例6-66-6已知钢板与滚子之间无相对滑动，滚子直径d=0.2m；转速n=50r/min，求；钢板的速度和加速度，并求滚子与钢板接触点的加速度。钢板加速度滚子上M点的加速度 解：设钢板上的M点与滚子上的M点相接触，钢板平动速度 例例6-76-7物块B以匀速vO沿水平直线移动。杆OA可绕O轴转动，杆保持紧靠在物块的侧棱b上，如图所示。已知物块高度为h，试求杆OA的转动方程、角速度和角加速度。 解解 取坐标如图4，x轴以水平向右为正，角则自y轴起顺时针转向为正。取x=0的瞬时作为时间的计算起点。在任意瞬时t，物块侧面ab的坐标为x。按题意有x=vOt。杆OA的转动方程为 杆的角速度 即 杆的角加速度是 由三角形Oab得例例6-86-8所示为一带式输送机。已知：主动轮的转速n1为1200r/min，齿数Z1=24，齿轮和用链条传动，齿数各为Z3=15，Z4=45。轮V的直径d5=46cm，如希望输送带的速度约为v=2.4m/s，试求轮应有的齿数Z2. 0解解 按图示的传动关系有 由于n2=n3，或 因此得例例6-96-9因为输送带的速度等于轮V轮缘上点的速度，而轮V的转速等于轮的转速，所以有 或 将n4代入Z2的表达式中，得 但齿轮的齿数必须为整数，因此可选取Z2=96。这时输送带的速度为2.41m/s，满足每秒约为2.4m/s的要求。