第三节空间点、直线、平面之间的位置关系【知【知识识梳理】梳理】1.1.平面的基本性平面的基本性质质(1)(1)公理公理1:1:如果一条直如果一条直线线上的上的_在一个平面内在一个平面内, ,那么那么这这条直条直线线在在这这个平面内个平面内. .(2)(2)公理公理2:2:过过_的三点的三点, ,有且只有一个平有且只有一个平面面. .两点两点不在一条直不在一条直线线上上(3)(3)公理公理3:3:如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点, ,那么那么它它们们_过该过该点的公共直点的公共直线线. .有且只有一条有且只有一条2.2.空空间间两条直两条直线线的位置关系的位置关系(1)(1)位置关系分位置关系分类类: :相交相交平行平行任何一个平面任何一个平面(2)(2)平行公理平行公理( (公理公理4)4)和等角定理和等角定理: :平行公理平行公理: :平行于同一条直平行于同一条直线线的两条直的两条直线线_._.等角定理等角定理: :空空间间中如果两个角的两中如果两个角的两边边分分别对应别对应平行平行, ,那么那么这这两个角两个角_._.互相平行互相平行相等或互相等或互补补(3)(3)异面直异面直线线所成的角所成的角: :定定义义: :已知两条异面直已知两条异面直线线a,b,a,b,经过经过空空间间任一点任一点O O作直作直线线aa,bb,aa,bb,把把aa与与bb所成的所成的_叫叫做异面直做异面直线线a a与与b b所成的角所成的角( (或或夹夹角角););范范围围:_.:_.锐锐角角( (或直角或直角) )3.3.空空间间直直线线与平面、平面与平面的位置关系与平面、平面与平面的位置关系图形语言图形语言符号语言符号语言公共点公共点直线直线与平与平面面相相交交_个个平平行行_个个在在平平面面内内_个个a=Aa=A1 1aa0 0a a无数无数图形语言图形语言符号语言符号语言公共点公共点平面与平面与平面平面平平行行_个个相相交交_个个0 0=l无数无数【特【特别别提醒】提醒】1.1.唯一性定理唯一性定理(1)(1)过过直直线线外一点有且只有一条直外一点有且只有一条直线线与已知直与已知直线线平行平行. .(2)(2)过过直直线线外一点有且只有一个平面与已知直外一点有且只有一个平面与已知直线线垂直垂直. .(3)(3)过过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. .(4)(4)过过平面外一点有且只有一条直平面外一点有且只有一条直线线与已知平面垂直与已知平面垂直. .2.2.异面直异面直线线的判定定理的判定定理经过经过平面内一点的直平面内一点的直线线与平面内不与平面内不经过该经过该点的直点的直线线互互为为异面直异面直线线. .3.3.确定平面的三个推确定平面的三个推论论(1)(1)推推论论1:1:经过经过一条直一条直线线和和这这条直条直线线外一点外一点, ,有且只有有且只有一个平面一个平面. .(2)(2)推推论论2:2:经过经过两条相交直两条相交直线线, ,有且只有一个平面有且只有一个平面. .(3)(3)推推论论3:3:经过经过两条平行直两条平行直线线, ,有且只有一个平面有且只有一个平面. .4.4.异面直异面直线线易易误误解解为为“分分别别在两个不同平面内的两条在两个不同平面内的两条直直线为线为异面直异面直线线”,”,实质实质上两异面直上两异面直线线不能确定任何一不能确定任何一个平面个平面, ,因此异面直因此异面直线线既不平行既不平行, ,也不相交也不相交. .【小【小题题快快练练】链链接教材接教材练练一一练练1.(1.(必修必修2P522P52习题习题2.1B2.1B组组T1(2)T1(2)改改编编) )如如图图所示所示, ,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分分别别是是AB,ADAB,AD的中点的中点, ,则则异面直异面直线线B B1 1C C与与EFEF所成所成的角的大小的角的大小为为( () )A.30A.30B.45B.45C.60C.60D.90D.90【解析】【解析】选选C.C.连接连接B B1 1D D1 1,D,D1 1C,C,则则B B1 1D D1 1EF,EF,故故DD1 1B B1 1C C为所求为所求, ,又又B B1 1D D1 1=B=B1 1C=DC=D1 1C,C,所以所以DD1 1B B1 1C=60.C=60.2.(2.(必修必修2P432P43练习练习T1T1改改编编) )两两相交的三条直两两相交的三条直线线最多可最多可确定确定_个平面个平面. .【解析】【解析】当三条直线共点且不共面时当三条直线共点且不共面时, ,最多可确定最多可确定3 3个个平面平面. .答案答案: :3 3感悟考感悟考题题试试一一试试3.(20153.(2015广广东东高考高考) )若直若直线线l1 1和和l2 2是异面直是异面直线线, ,l1 1在平面在平面内内, ,l2 2在平面在平面内内, ,l是平面是平面与平面与平面的交的交线线, ,则则下下列命列命题题正确的是正确的是( () )A.A.l至少与至少与l1 1, ,l2 2中的一条相交中的一条相交B.B.l与与l1 1, ,l2 2都相交都相交C.C.l至多与至多与l1 1, ,l2 2中的一条相交中的一条相交D.D.l与与l1 1, ,l2 2都不相交都不相交【解析】【解析】选选A.A.直线直线l1 1和和l2 2是异面直线是异面直线, ,l1 1在平面在平面内内, ,l2 2在平面在平面内内, ,= =l, ,则则l至少与至少与l1 1, ,l2 2中的一条相交中的一条相交. .4.(20164.(2016瑞安模瑞安模拟拟) )在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,点点P P在在线线段段ADAD1 1上运上运动动, ,则则异面直异面直线线CPCP与与BABA1 1所成的角所成的角的取的取值值范范围围是是( () )A.0A.0B.0B.0C.0C.0D.0D.0【解析】【解析】选选D.D.因为因为A A1 1BDBD1 1C,C,所以所以CPCP与与A A1 1B B所成的角可化为所成的角可化为CPCP与与D D1 1C C所成的角所成的角. .由由ADAD1 1C C是正三角形可知是正三角形可知, ,当当P P与与A A重合时所成的角为重合时所成的角为 , ,因为因为P P不能与不能与D D1 1重合重合, ,因为此时因为此时D D1 1C C与与A A1 1B B平行平行, ,不是异面不是异面直线直线, ,所以所以 考向一考向一平面的基本性平面的基本性质质【典例【典例1 1】(1)(1)以下命以下命题题中中, ,正确命正确命题题的个数是的个数是( () )不共面的四点中不共面的四点中, ,其中任意三点不共其中任意三点不共线线; ;若点若点A,B,C,DA,B,C,D共面共面, ,点点A,B,C,EA,B,C,E共面共面, ,则则A,B,C,D,EA,B,C,D,E共面共面; ;若直若直线线a,ba,b共面共面, ,直直线线a,ca,c共面共面, ,则则直直线线b,cb,c共面共面; ;依次首尾相接的四条依次首尾相接的四条线线段必共面段必共面. .A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3(2)(2)如如图图所示所示, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分分别别是是AB,AAAB,AA1 1的中点的中点. .求求证证: :E,C,DE,C,D1 1,F,F四点共面四点共面; ;CE,DCE,D1 1F,DAF,DA三三线线共点共点. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据公理根据公理2 2及确定平面的推论判断及确定平面的推论判断. .(2)(2)对于对于,只需证明只需证明EFCDEFCD1 1即可即可; ;对于对于,先证明先证明CE,DCE,D1 1F F的交点既在平面的交点既在平面ABCDABCD内内, ,又在平又在平面面ADDADD1 1A A1 1内内, ,再利用公理再利用公理3 3证明交点在证明交点在DADA上上. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.中若有三点共线中若有三点共线, ,则四点共面则四点共面, ,不合题意不合题意, ,故故正确正确;中若点中若点A,B,CA,B,C在同一条直线上在同一条直线上, ,则则A,B,C,D,EA,B,C,D,E不一定共面不一定共面, ,故故错误错误;中中, ,直线直线b,cb,c可能可能是异面直线是异面直线, ,故故错误错误;中中, ,当四条线段构成空间四边当四条线段构成空间四边形时形时, ,四条线段不共面四条线段不共面, ,故故错误错误. .(2)(2)如图如图, ,连接连接CDCD1 1,EF,A,EF,A1 1B,B,因为因为E,FE,F分别是分别是ABAB和和AAAA1 1的的中点中点, ,所以所以EFAEFA1 1B B且且EF= AEF= A1 1B.B.又因为又因为A A1 1D D1 1BC,BC,且且A A1 1D D1 1=BC,=BC,所以四边形所以四边形A A1 1BCDBCD1 1是平行四边形是平行四边形. .所以所以A A1 1BCDBCD1 1, ,所以所以EFCDEFCD1 1, ,即即EFEF与与CDCD1 1确定一个平面确定一个平面.且且E,F,C,DE,F,C,D1 1,即即E,C,DE,C,D1 1,F,F四点共面四点共面. .由由知知,EFCD,EFCD1 1, ,且且EF= CDEF= CD1 1, ,所以四边形所以四边形CDCD1 1FEFE是梯形是梯形. .所以所以CECE与与D D1 1F F必相交必相交, ,设交点为设交点为P,P,如图如图, ,则则PCEPCE 平面平面ABCD,ABCD,且且PDPD1 1F F 平面平面A A1 1ADDADD1 1. .又因为平面又因为平面ABCDABCD平面平面A A1 1ADDADD1 1=AD,=AD,所以所以PAD,PAD,所以所以CE,DCE,D1 1F,DAF,DA交于一点交于一点. .【规规律方法】律方法】1.1.证证明点共面或明点共面或线线共面的常用方法共面的常用方法(1)(1)直接法直接法: :证证明直明直线线平行或相交平行或相交, ,从而从而证证明明线线共面共面. .(2)(2)纳纳入平面法入平面法: :先确定一个平面先确定一个平面, ,再再证证明有关点、明有关点、线线在在此平面内此平面内. .(3)(3)辅辅助平面法助平面法: :先先证证明有关的点、明有关的点、线线确定平面确定平面,再再证证明其余元素确定平面明其余元素确定平面,最后最后证证明平面明平面,重合重合. .2.2.证证明空明空间间点共点共线问题线问题的方法的方法(1)(1)公理法公理法: :第第(2)(2)题证题证明明过过程用到此方法程用到此方法, ,一般一般转转化化为为证证明明这这些点是某两个平面的公共点些点是某两个平面的公共点, ,再根据公理再根据公理3 3证证明明这这些点都在些点都在这这两个平面的交两个平面的交线线上上. .(2)(2)纳纳入直入直线线法法: :选择选择其中两点确定一条直其中两点确定一条直线线, ,然后然后证证明明其余点也在其余点也在该该直直线线上上. .【变变式式训练训练】如如图图所示所示, ,四四边边形形ABEFABEF和和ABCDABCD都是梯形都是梯形,BC,BC AD,BE AD,BE FA,G, FA,G,H H分分别为别为FA,FDFA,FD的中点的中点. .(1)(1)证证明明: :四四边边形形BCHGBCHG是平行四是平行四边边形形. .(2)C,D,F,E(2)C,D,F,E四点是否共面四点是否共面? ?为为什么什么? ?【解析】【解析】(1)(1)由已知由已知FG=GA,FH=HD,FG=GA,FH=HD,得得GH AD.GH AD.又又BC AD,BC AD,所以所以GH BC,GH BC,所以四边形所以四边形BCHGBCHG是平行四边是平行四边形形. .(2)(2)方法一方法一: :由由BE AF,GBE AF,G为为FAFA中点知中点知BE GF,BE GF,所以四边形所以四边形BEFGBEFG为平行四边形为平行四边形, ,所以所以EFBG.EFBG.由由(1)(1)知知BGCH,BGCH,所以所以EFCH,EFCH,所以所以EFEF与与CHCH共面共面. .又又DFH,DFH,所以所以C,D,F,EC,D,F,E四点共面四点共面. .方法二方法二: :如图所示如图所示, ,延长延长FE,DCFE,DC分别与分别与ABAB交于点交于点M,M.M,M.因为因为BE AF,BE AF,所以所以B B为为MAMA的中点的中点. .因为因为BC AD,BC AD,所以所以B B为为MAMA的中点的中点, ,所以所以M M与与MM重合重合, ,即即FEFE与与DCDC交于点交于点M(M),M(M),所以所以C,D,F,EC,D,F,E四点共面四点共面. .【加固【加固训练训练】如如图图, ,在四在四边边形形ABCDABCD中中, ,已知已知ABCD,ABCD,直直线线AB,BC,AD,DCAB,BC,AD,DC分分别别与平面与平面相交于点相交于点E,G,H,F,E,G,H,F,求求证证:E,F,G,H:E,F,G,H四点必四点必定共定共线线. .【解析】【解析】因为因为ABCD,ABCD,所以所以AB,CDAB,CD确定一个平面确定一个平面.又因为又因为AB=E,ABAB=E,AB ,所以所以E,E,E,E,即即E E为平面为平面与与的一个公共点的一个公共点. .同理可证同理可证F,G,HF,G,H均为平面均为平面与与的公共点的公共点, ,因为两个平面有公共点因为两个平面有公共点, ,它们有且只有一条通过公共点它们有且只有一条通过公共点的公共直线的公共直线, ,所以所以E,F,G,HE,F,G,H四点必定共线四点必定共线. .考向二考向二空空间间直直线线的位置关系的位置关系【考情快【考情快递递】命题方向命题方向命题视角命题视角异面直线的判异面直线的判定定以平面或简单几何体为载体以平面或简单几何体为载体, ,判断空间判断空间直线是否是异面直线直线是否是异面直线平行和垂直的平行和垂直的判定判定主要以简单几何体为载体主要以简单几何体为载体, ,考查三角形考查三角形( (梯形梯形) )的中位线的中位线, ,平行四边形等在平行平行四边形等在平行判断中的应用判断中的应用, ,考查线面垂直的性质在考查线面垂直的性质在判定线线垂直中的应用判定线线垂直中的应用【考【考题题例析】例析】命命题题方向方向1:1:异面直异面直线线的判定的判定【典例【典例2 2】(2016(2016郑郑州模州模拟拟) )在在图图中中,G,H,M,N,G,H,M,N分分别别是正是正三棱柱的三棱柱的顶顶点或所在棱的中点点或所在棱的中点, ,则则表示直表示直线线GH,MNGH,MN是异是异面直面直线线的的图图形有形有_(_(填上所有正确答案的序号填上所有正确答案的序号).).【解题导引】【解题导引】根据异面直线的判定定理判断根据异面直线的判定定理判断. .【规范解答】【规范解答】图图中中, ,直线直线GHMN;GHMN;图图中中,G,H,N,G,H,N三点三点共面共面, ,但但M M 平面平面GHN,GHN,因此直线因此直线GHGH与与MNMN异面异面; ;图图中中, ,连接连接MG,GMHN,MG,GMHN,因此因此GHGH与与MNMN共面共面; ;图图中中,G,M,N,G,M,N共面共面, ,但但H H 平面平面GMN,GMN,因此因此GHGH与与MNMN异面异面, ,所以在图所以在图中中GHGH与与MNMN异面异面. .答案答案: :命命题题方向方向2:2:平行和垂直的判定平行和垂直的判定【典例【典例3 3】(2016(2016黄石模黄石模拟拟) )如如图图, ,在正方体在正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分分别别是是BCBC1 1,CD,CD1 1的中点的中点, ,则则下列下列说说法法错误错误的是的是( () )A.MNA.MN与与CCCC1 1垂直垂直B.MNB.MN与与ACAC垂直垂直C.MNC.MN与与BDBD平行平行D.MND.MN与与A A1 1B B1 1平行平行【解题导引】【解题导引】先证先证MNMN与与BDBD平行平行, ,然后根据然后根据BDBD与各直线的与各直线的位置关系位置关系, ,判断判断MNMN与各直线的位置关系与各直线的位置关系. .【规范解答】【规范解答】选选D.D.如图如图, ,连接连接C C1 1D,D,在在CC1 1DBDB中中,MNBD,MNBD,故故C C正确正确; ;因为因为CCCC1 1平面平面ABCD,ABCD,所以所以CCCC1 1BD,BD,所以所以MNMN与与CCCC1 1垂直垂直, ,故故A A正确正确; ;因为因为ACBD,MNBD,ACBD,MNBD,所以所以MNMN与与ACAC垂直垂直, ,故故B B正确正确; ;因为因为A A1 1B B1 1与与BDBD异面异面,MNBD,MNBD,所以所以MNMN与与A A1 1B B1 1不可能平行不可能平行, ,故故D D错误错误. .【技法感悟】【技法感悟】1.1.异面直异面直线线的判定方法的判定方法(1)(1)反反证证法法: :先假先假设设两条直两条直线线不是异面直不是异面直线线, ,即两条直即两条直线线平行或相交平行或相交, ,由假由假设设出出发发, ,经过严经过严格的推理格的推理, ,导导出矛盾出矛盾, ,从而否定假从而否定假设设, ,肯定两条直肯定两条直线线异面异面. .此法在异面直此法在异面直线线的的判定中判定中经经常用到常用到. .(2)(2)定理定理: :平面外一点平面外一点A A与平面内一点与平面内一点B B的的连线连线和平面内和平面内不不经过经过点点B B的直的直线线是异面直是异面直线线. .2.2.线线线线平行或垂直的判定方法平行或垂直的判定方法(1)(1)对对于平行直于平行直线线, ,可利用三角形可利用三角形( (梯形梯形) )中位中位线线的性的性质质、公理公理4 4及及线线面平行与面面平行的性面平行与面面平行的性质质定理来判断定理来判断. .(2)(2)对对于于线线线线垂直垂直, ,往往利用往往利用线线面垂直的定面垂直的定义义, ,由由线线面垂面垂直得到直得到线线线线垂直垂直. .【题组题组通关】通关】1.(20161.(2016福州模福州模拟拟) )如如图图, ,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,点点E,FE,F分分别别在在A A1 1D,ACD,AC上上, ,且且A A1 1E=2ED,CF=2FA,E=2ED,CF=2FA,则则EFEF与与BDBD1 1的的位置关系是位置关系是( () )A.A.相交但不垂直相交但不垂直 B.B.相交且垂直相交且垂直C.C.异面异面D.D.平行平行【解析】【解析】选选D.D.连接连接D D1 1E E并延长并延长, ,与与ADAD交于点交于点M,M,因为因为A A1 1E=2ED,E=2ED,可得可得M M为为ADAD的中点的中点, ,连接连接BFBF并延长并延长, ,交交ADAD于点于点N,N,因为因为CF=2FA,CF=2FA,可得可得N N为为ADAD的中点的中点, ,所以所以M,NM,N重合重合, ,且且 所以所以 所以所以EFBDEFBD1 1. .2.(20162.(2016承德模承德模拟拟) )设设A,B,C,DA,B,C,D是空是空间间四个不同的点四个不同的点, ,在下列命在下列命题题中中, ,不正确的是不正确的是_(_(填序号填序号).).若若ACAC与与BDBD共面共面, ,则则ADAD与与BCBC共面共面; ;若若ACAC与与BDBD是异面直是异面直线线, ,则则ADAD与与BCBC是异面直是异面直线线; ;若若AB=AC,DB=DC,AB=AC,DB=DC,则则AD=BC;AD=BC;若若AB=AC,DB=DC,AB=AC,DB=DC,则则ADBC.ADBC.【解析】【解析】对于对于,由于点由于点A,B,C,DA,B,C,D共面共面, ,显然结论正确显然结论正确. .对于对于,假设假设ADAD与与BCBC共面共面, ,由由正确得正确得ACAC与与BDBD共面共面, ,这与这与题设矛盾题设矛盾, ,故假设不成立故假设不成立, ,从而结论正确从而结论正确. .对于对于,如图如图, ,当当AB=AC,DB=DC,AB=AC,DB=DC,使二面角使二面角A-BC-DA-BC-D的大小变化时的大小变化时,AD,AD与与BCBC不一定相等不一定相等, ,故故不正确不正确. .对于对于,如图如图, ,取取BCBC的中点的中点E,E,连接连接AE,DE,AE,DE,则由题设得则由题设得BCAE,BCDE.BCAE,BCDE.根据线面垂直的判定定理得根据线面垂直的判定定理得BCBC平面平面ADE,ADE,从而从而ADBC.ADBC.答案答案: :3.(20163.(2016上上饶饶模模拟拟) )已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1, ,点点P,Q,RP,Q,R分分别别是是线线段段B B1 1B,ABB,AB和和A A1 1C C上的上的动动点点, ,观观察直察直线线CPCP与与D D1 1Q,CPQ,CP与与D D1 1R,R,给给出下列出下列结论结论: :对对于任意于任意给给定的点定的点P,P,存在点存在点Q,Q,使得使得D D1 1QCP;QCP;对对于任意于任意给给定的点定的点Q,Q,存在点存在点P,P,使得使得CPDCPD1 1Q;Q;对对于任意于任意给给定的点定的点R,R,存在点存在点P,P,使得使得CPDCPD1 1R;R;对对于任意于任意给给定的点定的点P,P,存在点存在点R,R,使得使得D D1 1RCP.RCP.其中正确的其中正确的结论结论是是_._.【解析】【解析】只有只有D D1 1QQ平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,即即D D1 1QQ平面平面ADDADD1 1A A1 1时时, ,才能满足对于任意给定的点才能满足对于任意给定的点P,P,存在点存在点Q,Q,使得使得D D1 1QCP,QCP,因为过因为过D D1 1点与平面点与平面DDDD1 1A A1 1A A垂直的直线只有一条垂直的直线只有一条D D1 1C C1 1, ,而而D D1 1C C1 1AB,AB,所以所以错误错误; ;当点当点P P与与B B1 1重合时重合时, ,CPAB,CPAB,且且CPADCPAD1 1, ,所以所以CPCP平面平面ABDABD1 1, ,因为对于任意给定的点因为对于任意给定的点Q,Q,都有都有D D1 1Q Q 平面平面ABDABD1 1, ,所以对于任意给定的点所以对于任意给定的点Q,Q,存在点存在点P,P,使得使得CPDCPD1 1Q,Q,所以所以正确正确; ;只有只有CPCP垂直垂直D D1 1R R在平面在平面BCCBCC1 1B B1 1中的射影时中的射影时,D,D1 1RCP,RCP,所以所以正确正确; ;只有只有CPCP平面平面A A1 1CDCD1 1时时,才正确才正确, ,因为过因为过C C点的平面点的平面A A1 1CDCD1 1的垂线与的垂线与BBBB1 1无交点无交点, ,所以所以错误错误. .答案答案: :考向三考向三异面直异面直线线所成的角所成的角【典例【典例4 4】(1)(1)如如图图, ,在底面在底面为为正方形正方形, ,侧侧棱棱垂直于底面的四棱柱垂直于底面的四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AA,AA1 1=2AB=2,=2AB=2,则则异面直异面直线线A A1 1B B与与ADAD1 1所成角的余弦所成角的余弦值为值为( () )(2)(2014(2)(2014全国卷全国卷)直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,BCA,BCA=90,M,N=90,M,N分分别别是是A A1 1B B1 1,A,A1 1C C1 1的中点的中点,BC=CA=CC,BC=CA=CC1 1, ,则则BMBM与与ANAN所成的角的余弦所成的角的余弦值为值为( () ) ( (本本题题源于源于A A版必修版必修2P482P48练习练习T2)T2)【解题导引】【解题导引】(1)(1)连接连接BCBC1 1, ,先利用先利用ADAD1 1BCBC1 1找出所求的找出所求的角角, ,再利用余弦定理求解再利用余弦定理求解. .(2)(2)通过平行关系找出异面直线的夹角通过平行关系找出异面直线的夹角, ,再根据余弦定再根据余弦定理求解理求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.连接连接BCBC1 1, ,易证易证BCBC1 1ADAD1 1, ,则则AA1 1BCBC1 1即为异面直线即为异面直线A A1 1B B与与ADAD1 1所成的角所成的角. .连接连接A A1 1C C1 1, ,由由AB=1,AAAB=1,AA1 1=2,=2,则则A A1 1C C1 1= ,A= ,A1 1B=BCB=BC1 1= ,= ,故故cosAcosA1 1BCBC1 1= = (2)(2)选选C.C.如图如图, ,取取BCBC的中点的中点D,D,连接连接MN,ND,AD,MN,ND,AD,由于由于MN BMN B1 1C C1 1 BD, BD,所以四边形所以四边形BMNDBMND是平行四边形是平行四边形, ,因此因此ND BM,ND BM,则则NDND与与NANA所成角即为异面直线所成角即为异面直线BMBM与与ANAN所成所成的角的角( (或其补角或其补角),),设设BC=2,BC=2,则则BM=ND= ,AN= ,AD= ,BM=ND= ,AN= ,AD= ,因此因此cosAND= cosAND= 【母【母题变题变式】式】1.1.若本例若本例题题(1)(1)条件条件“AA“AA1 1=2AB=2”=2AB=2”改改为为“AB=1,“AB=1,若异面直若异面直线线A A1 1B B与与ADAD1 1所成角的余弦所成角的余弦值为值为 ”, ”,试试求求 的的值值. .【解析】【解析】设设 =t, =t,则则AAAA1 1=tAB.=tAB.因为因为AB=1,AB=1,所以所以AAAA1 1=t,=t,连接连接BCBC1 1, ,易证易证BCBC1 1ADAD1 1, ,则则AA1 1BCBC1 1为异面直线为异面直线A A1 1B B与与ADAD1 1所成角所成角, ,又因为又因为A A1 1C C1 1= ,A= ,A1 1B= =BCB= =BC1 1, ,所以所以cosAcosA1 1BCBC1 1= = 所以所以t=3,t=3,即即 =3. =3.2.2.在本例在本例题题(1)(1)的条件下的条件下, ,若点若点P P在平面在平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1内且不内且不在在对对角角线线B B1 1D D1 1上上, ,过过点点P P在平面在平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1内作一直内作一直线线m,m,使使m m与直与直线线BDBD成成角角, ,且且 . .这样这样的直的直线线可作几条可作几条? ?【解析】【解析】在平面在平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1内作内作m,m,使使m m与与B B1 1D D1 1相交成相交成角角. .因为因为BDBBDB1 1D D1 1, ,所以直线所以直线m m与与BDBD也成也成角角, ,当当= = 时时,m,m只有一条只有一条, ,当当 时时, ,这样的直线有两条这样的直线有两条. .【规规律方法】律方法】1.1.平移法求异面直平移法求异面直线线所成角的常所成角的常见类见类型型(1)(1)利用利用图图中已有的平行中已有的平行线线平移平移. .(2)(2)利用特殊点利用特殊点( (线线段的端点或中点、空段的端点或中点、空间间某特殊点某特殊点) )作作平行平行线线平移平移. .(3)(3)补补形平移形平移. .2.2.求异面直求异面直线线所成角的三个步所成角的三个步骤骤(1)(1)作作: :通通过过作平行作平行线线, ,得到相交直得到相交直线线. .(2)(2)证证: :证证明相交直明相交直线夹线夹角角为为异面直异面直线线所成的角所成的角( (或其或其补补角角).).(3)(3)求求: :解三角形解三角形, ,求出作出的角求出作出的角, ,如果求出的角是如果求出的角是锐锐角角或直角或直角, ,则则它就是要求的角它就是要求的角, ,如果求出的角是如果求出的角是钝钝角角, ,则则它它的的补补角才是要求的角角才是要求的角. .【变变式式训练训练】直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, , 若若BAC=90,BAC=90,AB=AC=AAAB=AC=AA1 1, ,则则异面直异面直线线BABA1 1与与ACAC1 1所成的角等于所成的角等于 ( () )A.30A.30B.45B.45C.60C.60D.90D.90【解析】【解析】选选C.C.分别取分别取AB,AAAB,AA1 1,A,A1 1C C1 1的中点的中点D,E,F,D,E,F,连接连接DE,EF,DF,DE,EF,DF,则则BABA1 1DE,ACDE,AC1 1EF.EF.所以异面直线所以异面直线BABA1 1与与ACAC1 1所成的角为所成的角为DEF(DEF(或其补角或其补角),),设设AB=AC=AAAB=AC=AA1 1=2,=2,则则DE=EF= ,DF= ,DE=EF= ,DF= ,由余弦定理得由余弦定理得,DEF=120.,DEF=120.即异面直线即异面直线BABA1 1与与ACAC1 1所成的角为所成的角为60.60.【加固【加固训练训练】1.1.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分分别为别为A A1 1B B1 1,BB,BB1 1的中点的中点, ,则则异面直异面直线线AMAM与与CNCN所成角的余弦所成角的余弦值为值为( () )【解析】【解析】选选D.D.如图如图, ,取取ABAB的中点的中点E,E,连接连接B B1 1E,E,则则AMBAMB1 1E.E.取取EBEB的中点的中点F,F,连接连接FN,FN,则则B B1 1EFN,EFN,因此因此AMFN,AMFN,连接连接CF,CF,则直线则直线FNFN与与CNCN所夹锐角或直角为异面直线所夹锐角或直角为异面直线AMAM与与CNCN所成的角所成的角.设设AB=1,AB=1,在在CFNCFN中中, , 由余弦定理得由余弦定理得cos=|cosCNF|cos=|cosCNF|2.2.如如图图, ,在正三角形在正三角形ABCABC中中,D,E,F,D,E,F分分别为别为各各边边的中点的中点,G,G,H H分分别为别为DE,AFDE,AF的中点的中点, ,将将ABCABC沿沿DE,EF,DFDE,EF,DF折成正四面折成正四面体体P-DEF,P-DEF,则则四面体中异面直四面体中异面直线线PGPG与与DHDH所成的角的余弦所成的角的余弦值为值为_._.【解析】【解析】如图如图, ,连接连接HE,HE,取取HEHE的中点的中点K,K,连接连接GK,PK,GK,PK,则则GKDH,GKDH,故故PGKPGK即为所求的异面直线所成的角或其即为所求的异面直线所成的角或其补角补角. .设这个正四面体的棱长为设这个正四面体的棱长为2,2,在在PGKPGK中中, ,故故cosPGK= cosPGK= 即异面直线即异面直线PGPG与与DHDH所成的角的余弦值是所成的角的余弦值是 . .答案答案: :3.(20163.(2016兰兰州模州模拟拟) )如如图图,E,F,E,F分分别别是三棱是三棱锥锥P-ABCP-ABC的棱的棱AP,BCAP,BC的中点的中点,PC=10,AB=6,EF=7,PC=10,AB=6,EF=7,则则异面直异面直线线ABAB与与PCPC所所成的角成的角为为_._.【解析】【解析】取取ACAC的中点的中点M,M,连接连接EM,MF,EM,MF,因为因为E,FE,F是中点是中点, ,所以所以MFAB,MF= AB= =3,MEPC,ME= PC= =5,MFAB,MF= AB= =3,MEPC,ME= PC= =5,所以所以MFMF与与MEME所成的角即为所成的角即为ABAB与与PCPC所成的角所成的角( (或其补角或其补角).).在三角形在三角形MEFMEF中中,cosEMF= ,cosEMF= 所以所以EMF=120,EMF=120,所以异面直线所以异面直线ABAB与与PCPC所成的角为所成的角为60.60.答案答案: :6060