3.2.1 几类不同增长的函数模型一、新课引入一、新课引入有人说，一张普通的纸有人说，一张普通的纸对折对折3030次之后高度会超次之后高度会超过过1010座珠穆朗玛峰，你座珠穆朗玛峰，你相信吗？相信吗？解：设纸厚度为解：设纸厚度为0.01cm0.01cm，一张纸对折一张纸对折x次的厚度是次的厚度是约约8844米米实例实例2根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的据说，有于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的据说，有位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训。他向国王位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训。他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏。国王对这种新奇的游戏推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏。国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，便问宗师想要得到什么赏赐。宗师很快就产生了浓厚的兴趣，便问宗师想要得到什么赏赐。宗师开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格粒麦子，第二个格子上放子上放2粒，第三个格子上放粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放粒，第四个格子上放8粒粒即每即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的的2倍，直到最后一个格子第倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足格放满为止，这样我就十分满足了。了。你知道这需要多少麦粒吗？你知道这需要多少麦粒吗？指数爆炸指数爆炸例例1 1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择，、假设你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择，这三种方案的回报如下：这三种方案的回报如下：方案一：每天回报方案一：每天回报4040元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报1010元，以后每天比前一天多回报元，以后每天比前一天多回报1010元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.40.4元，以后每天的回报比前一天翻元，以后每天的回报比前一天翻一番。一番。请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？二、例题分析二、例题分析解：设解：设第第x天天所得回报是所得回报是y元元方案一可以用函数方案一可以用函数 进行描述；进行描述；y=40(x N*)方案二可以用函数方案二可以用函数 进行描述；进行描述；y=10x(x N*)方案三可以用函数方案三可以用函数 进行描述进行描述. .y=0.42x-1(x N*)我们来计算三种方案所得回报的增长情况：我们来计算三种方案所得回报的增长情况：第第x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元y/元元y/元元增加量增加量增加量增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.40.8045678304040404040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2214748364.81.63.26.412.825.6107374182.4y=40y=10xy=0.42x-1从表格中获取信息，从表格中获取信息，体会三种函数的增体会三种函数的增长差异。长差异。2亿亿1亿亿下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：1234678911二、例题分析二、例题分析我们看到，底为我们看到，底为2的指数函数模的指数函数模型比一次函数模型增长速度要型比一次函数模型增长速度要快得多。快得多。1234678911二、例题分析二、例题分析下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长： 根据以上的分析，是根据以上的分析，是否应作这样的选择：投否应作这样的选择：投资资5天以下选方案一，投天以下选方案一，投资资58天选方案二，投资天选方案二，投资8天以上选方案三？天以上选方案三？8结论：结论：投资投资1 1 6 6天，应选择方案一；天，应选择方案一；投资投资7 7天，可选择方案一或方案二；天，可选择方案一或方案二； 投资投资8 81010天，应选择方案二；天，应选择方案二；投资投资1111天以上天以上( (含含1111天天) )，应选择方案三。，应选择方案三。总总天天数数回报回报方案方案一二三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8下面再看累计的回报数：下面再看累计的回报数：二、例题分析二、例题分析由例由例1 1得到得到 解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读读懂懂问问题题抽抽象象概概括括数学问题数学问题演演算算推推理理数学问题的解数学问题的解还还原原说说明明实际问题的解实际问题的解解决解决二、例题分析二、例题分析例例2、某公司为了实现、某公司为了实现1000万万元利润的目标，准备制定一元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到达到10万元万元时，时，按销售利润进行提成奖励，且奖金按销售利润进行提成奖励，且奖金 y (单位：万元单位：万元)随销售随销售利润利润 x (单位：万元单位：万元)的的增加而增加增加而增加，但，但奖金不超过奖金不超过5万元万元，同时奖金同时奖金不超过利润的不超过利润的25%。现有三个奖励模型：。现有三个奖励模型： y=0.25x， y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个能符合公司的要求？其中哪个能符合公司的要求？二、例题分析二、例题分析1)本例涉及了哪几类函数模型？本例涉及了哪几类函数模型？2)你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型应满你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型应满足哪些条件才能符合公司要求吗？足哪些条件才能符合公司要求吗？ 思考：思考：我们不妨先作出函数图象：我们不妨先作出函数图象：y400 600 800 1000 1200200xoy=5y=0.25x二、例题分析二、例题分析通过观察函数图象得到通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的进行奖励时符合公司的要求。要求。下面通过计算确认以上判断对数增长模型比较适合于描述对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律增长速度平缓的变化规律y400 600 800 1000 1200200xoy=5y=0.25x首先计算哪个模型的奖金不超过首先计算哪个模型的奖金不超过5 5万万 对于模型对于模型 y=0.25x，它在，它在 10,1000上是上是 递增递增 当当 x=20 时，时，y5，所以，所以 x 20 时，时，y5，因此该模型，因此该模型 不符合要求；不符合要求；单调性单调性x=?=?哪个范围？哪个范围？符合要求否？符合要求否？y400 600 800 1000 1200200xoy=5y=0.25x首先计算哪个模型的奖金不超过首先计算哪个模型的奖金不超过5 5万万对于模型对于模型 y=1.002x，它，它在在 10,1000上上 递增递增单调性单调性 由函数图像并利用计算器，可以知道在区间由函数图像并利用计算器，可以知道在区间 (805，806)内有一个点内有一个点 x0，满足，满足 1.002x0=5因此当因此当xx0时，时，因此该模型也不符合要求因此该模型也不符合要求1;y5，y400 600 800 1000 1200200xoy=5y=0.25x首先计算哪个模型的奖金不超过首先计算哪个模型的奖金不超过5 5万万所以它符合要求所以它符合要求1 1。对于模型对于模型y=log7x+1，它在区间，它在区间10,1000上上 递增递增,而且当而且当 x=1000 时，时，y =log71000+1 4.551)，y=logax (a1)和和y=xn (n0)都是增函数。都是增函数。(2) 随着随着x的增大，的增大， y=ax (a1)的增长速度越来越快，的增长速度越来越快，会远远大于会远远大于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。(3) 随着随着x的增大，的增大，y=logax (a1)的增长速度越来越慢，的增长速度越来越慢，会远远小于会远远小于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。总存在一个总存在一个x0，当，当xx0时，就有时，就有: logaxxnax1、几种常见函数的增长情况：、几种常见函数的增长情况：常数函数一次函数指数函数对数函数零增长零增长直线增长直线增长爆炸式增长爆炸式增长“慢速慢速”增长增长2、解决实际问题的步骤：、解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读读懂懂问问题题抽抽象象概概括括数学问题数学问题数学问题的解数学问题的解还还原原说说明明实际问题的解实际问题的解演算演算推理推理课堂小结：课堂小结：练习册：练习册：（1）P61