二、可微的条件二、可微的条件一、全微分的概念一、全微分的概念 多元函数的全微分方向导数与梯度第三节第三节 第十一章第十一章 三、方向导数和梯度三、方向导数和梯度全微分方向导数和梯度一元函数一元函数 y = f (x)：（当一元函数（当一元函数 y = f (x)可导时）可导时）二元函数二元函数 z = f (x,y)：函数的微分函数的微分一、全微分的概念一、全微分的概念1. 问题的提出问题的提出在点在点(x,y)的全增量的全增量问题问题的线性函数来的线性函数来近似代替函数的全增量？近似代替函数的全增量？可否用自变量的增量可否用自变量的增量全微分方向导数和梯度若若 z = f ( x, y )在点在点( x , y )处的全增处的全增量量可表示成可表示成其中其中 A , B 不依赖于不依赖于 x , y , 仅与仅与 x , y 有关，有关，称为函数称为函数在点在点 (x, y) 的的全微分全微分, 记作记作则称函数则称函数 f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微可微，2. 全微分的定义全微分的定义 定义定义11.5全微分方向导数和梯度1 若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微, 则称此函数则称此函数2 由定义可知由定义可知, f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微的可微的 充要条件充要条件是是:在在D 内可微内可微.注注全微分方向导数和梯度定理定理11.1 (多元函数可微的多元函数可微的必要条件必要条件)若函数若函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 可微可微 ,则则(2) 函数函数z = f (x, y) 在点在点(x, y) 的两个偏导数的两个偏导数存在存在, ,且有且有(1) 函数函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 连续连续;从而从而二、可微的条件二、可微的条件1. 可微与连续、可导的关系可微与连续、可导的关系 全微分方向导数和梯度1 习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示, 因此有因此有 注注全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数2可微与连续、可导的关系可微与连续、可导的关系 (二元二元以上的函数以上的函数)可微可微连续连续可导可导全微分方向导数和梯度例例1. 讨论讨论(1) 连续性；连续性；(2) 可导性；可导性；(3) 可微性可微性.解解 (1)全微分方向导数和梯度(2)(3)全微分方向导数和梯度例例2.讨论函数讨论函数(1) 连续性；连续性；(2) 可导性；可导性；(3) 可微性可微性.解解(1)= 0 = f (0,0)全微分方向导数和梯度(2)全微分方向导数和梯度2. 可微与偏导数连续的关系可微与偏导数连续的关系 定理定理11.2 (多元函数可微的多元函数可微的充分条件充分条件)若函数若函数的偏导数的偏导数则函数则函数 f (x, y) 在该点在该点可微可微.偏导数连续偏导数连续可微可微全微分方向导数和梯度例例3解解全微分方向导数和梯度例例4 计算函计算函数数在点在点 (2,1) 处的全微分处的全微分. 解解: :例例5.5. 计算函数计算函数的全微分的全微分. 解解: : 全微分方向导数和梯度求函数求函数时的全增量和全微分时的全增量和全微分. .解解例例6全微分方向导数和梯度 从而从而当当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = -0.03 时时全微分方向导数和梯度可知当可知当全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用1. 1. 利用近似公式作计算利用近似公式作计算由全微分定义由全微分定义较小时较小时,及及有近似等式有近似等式:(用于误差分析用于误差分析) (用于近似计算用于近似计算) 全微分方向导数和梯度三、方向导数三、方向导数 .方向导数的定义方向导数的定义设设l 是是xoy 平面上以平面上以是与是与l 同方向的同方向的为始点的为始点的定义定义11.6 单位向量单位向量. . 函数函数 z = f (x, y) 在点在点P0(x0 , y0 ) 的某个邻域的某个邻域 一条射线，一条射线，内有定义，内有定义，为为l上另一点，且上另一点，且 射线射线l 的参数方程为的参数方程为 全微分方向导数和梯度存在，存在， 则称此极则称此极限为函数限为函数 f ( x, y)在点在点P0沿方向沿方向 l方向导数，方向导数，记作记作 即即全微分方向导数和梯度2 方向导数的方向导数的几何意义几何意义过点过点P0 沿沿l 作垂直于作垂直于xoy 面的平面，面的平面，面与曲面面与曲面 z = f (x, y)的交线在曲面上相应的交线在曲面上相应点点M 处的切线处的切线(若存在若存在)关于关于l 方向的斜率方向的斜率:该平该平l Tlz=f(x, y)全微分方向导数和梯度2. 方向导数的计算方向导数的计算定理定理11.3且有且有则函数在该点则函数在该点沿任一方向沿任一方向 的方向导数存在的方向导数存在 , 全微分方向导数和梯度解解例例7全微分方向导数和梯度全微分方向导数和梯度方向导数概念可方向导数概念可推广到推广到三元函数：三元函数：全微分方向导数和梯度指向指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是方向的方向导数是 .在点在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点处沿点A例例8. 函数函数解解全微分方向导数和梯度x轴方向夹角为轴方向夹角为 的射线的射线 l 方向方向的方向导数的方向导数.并问并问: 在怎样的方向上此方向导数在怎样的方向上此方向导数 (1) 取得最大值取得最大值; (2) 取得最小值取得最小值; (3) 等于零？等于零？解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知例例9求函数求函数在点在点P(1,1)沿与沿与 全微分方向导数和梯度故故方向导数达到最小值方向导数达到最小值方向导数达到最大值方向导数达到最大值全微分方向导数和梯度四、梯度四、梯度 从从例例9 看到看到,到最大值到最大值函数在点函数在点P 沿哪一方向增加的速度最快？沿哪一方向增加的速度最快？zoPxy =5 /4全微分方向导数和梯度观察向量：观察向量：恰好与恰好与同方向，同方向，最大最大.这是巧合吗？这是巧合吗？ 不是！不是！全微分方向导数和梯度1.定义定义11.7 设二元函数设二元函数为函数为函数 z = f (x, y) 在点在点 P 处的梯处的梯度度记作记作 ( gradient ),在点在点具有偏导数，具有偏导数，称向量称向量全微分方向导数和梯度例例10函数函数在点在点处的梯度处的梯度解解: :则则注意注意 x , y , z 具有轮换对称性具有轮换对称性全微分方向导数和梯度2. 梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系1全微分方向导数和梯度沿梯度沿梯度相反相反方向方向，方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值2 梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，此梯度也有上述性质类似于二元函数，此梯度也有上述性质.全微分方向导数和梯度3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式全微分方向导数和梯度称为函数称为函数4. 梯度的几何意义梯度的几何意义(1) 等高线等高线 z = f (x, y)的的等高等高(值值)线线 . xyzoL*全微分方向导数和梯度全微分方向导数和梯度xyoxyzoz =c2z =c1f (x, y) =c1f (x, y) =c2 全微分方向导数和梯度(2) 等高线上的法向量与梯度的关系等高线上的法向量与梯度的关系等高线等高线梯度为等高线上梯度为等高线上的一个法向量，的一个法向量，其指向为：从数其指向为：从数值较底的等高线值较底的等高线到数值较高的等到数值较高的等高线高线.全微分方向导数和梯度例例11证证试证试证处矢径处矢径 r 的模的模 ,全微分方向导数和梯度例例12解解全微分方向导数和梯度内容小结内容小结1. 微分定义微分定义:2. 重要关系重要关系:偏导数存在偏导数存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续全微分方向导数和梯度3. 3. 方向导数方向导数 三元函数三元函数 在点在点沿方向沿方向 l (方向角方向角的方向导数为的方向导数为 二元函数二元函数 在点在点的方向导数为的方向导数为沿方向沿方向 l (方向角方向角为为全微分方向导数和梯度4. 4. 梯度梯度 三元函数三元函数 在点在点处的梯度为处的梯度为 二元函数二元函数 在点在点处的梯度为处的梯度为5. 5. 关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上的投影.全微分方向导数和梯度思考与练习思考与练习函数函数在在可微的充分条件是可微的充分条件是( )的某邻域内存在的某邻域内存在 ;时是无穷小量时是无穷小量 ;时是无穷小量时是无穷小量 .1. 选择题选择题全微分方向导数和梯度2. 设设解解: 利用轮换对称性利用轮换对称性 , 可得可得注意注意: x , y , z 具具有有 轮换对称性轮换对称性 全微分方向导数和梯度3. 求函数求函数 在点在点P(2, 3)沿曲线沿曲线朝朝 x 增大方向的方向导数增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为将已知曲线用参数方程表示为它在点它在点 P 的的切向量为切向量为全微分方向导数和梯度可知当可知当* *二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用1. 1. 利用近似公式作计算利用近似公式作计算由全微分定义由全微分定义较小时较小时,及及有近似等式有近似等式:(用于误差分析用于误差分析) (用于近似计算用于近似计算) 全微分方向导数和梯度半径由半径由 20cm 增大增大解解: : 已知已知即受压后圆柱体体积减少了即受压后圆柱体体积减少了 例例1.1. 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,到到 20.05cm , 则则 高度由高度由100cm 减少到减少到 99cm ,体积的近似改变量体积的近似改变量. 求此圆柱体求此圆柱体全微分方向导数和梯度例例2.2.计算计算的近似值的近似值. 解解: : 设设, ,则则取取则则全微分方向导数和梯度分别表示分别表示 x , y , z 的绝对误差的绝对误差限限, ,2. 2. 利用近似公式作误差估计利用近似公式作误差估计利用利用令令z 的的绝对误差限绝对误差限约为约为z 的的相对误差限相对误差限约为约为即即则则全微分方向导数和梯度例例3.3. 利用公式利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：故绝对误差约为故绝对误差约为又又所以所以 S 的相对误差约为的相对误差约为计算三角形面积计算三角形面积. .现测得现测得全微分方向导数和梯度例例4.4.在直流电路中在直流电路中, 测得电压测得电压 U = 24 伏伏 ,解解: : 由欧姆定律可知由欧姆定律可知( 欧欧)所以所以 R 的相对误差约为的相对误差约为0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为相对误差为 测得电流测得电流 I = 6安安, 相对误差为相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧欧 )= 0.8 求用欧姆求用欧姆全微分方向导数和梯度