B.Taylor 1685-1731 英国英国问题的提出问题的提出函数值的近似计算函数值的近似计算（如下图）（如下图）以以平直平直代曲代曲以以切直切直代曲代曲不足之处是十分明显的不足之处是十分明显的:2 、精确度不高；、精确度不高；1 、x 的取值只能在的取值只能在 x0 的近旁；的近旁；3、误差不能估计。、误差不能估计。 因此，在进行函数值的近似计算时，仅仅因此，在进行函数值的近似计算时，仅仅考虑考虑“以直代曲以直代曲” 是不够的。如果能够是不够的。如果能够“以曲代以曲代曲曲”，那效果应该要好多了。，那效果应该要好多了。问题的解决问题的解决:分析分析:2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 (1712年年)证明证明: :拉格朗日型余项拉格朗日型余项泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 除了拉格朗日形余项，常见的还有除了拉格朗日形余项，常见的还有Cauchy形余项。形余项。 Taylor中值定理对我们初学者而言，似乎中值定理对我们初学者而言，似乎有些让人望而生畏，不过仅仅是其公式形式有些让人望而生畏，不过仅仅是其公式形式较复杂，证明看起来较麻烦。其实，从方法较复杂，证明看起来较麻烦。其实，从方法上来讲，定理证明只是上来讲，定理证明只是Cauchy 微分中值定理微分中值定理的多次重复运用而已。的多次重复运用而已。 有了有了Taylor中值定理中的这种带有中值定理中的这种带有定量性定量性质的余项质的余项之后，我们就可以在较大范围内之后，我们就可以在较大范围内( (而而不只是一个给定点不只是一个给定点x0 的近旁的近旁) )来研究用多项式来研究用多项式逼近函数逼近函数 f (x) 的误差。特别地，如果在这个的误差。特别地，如果在这个范围内范围内 f (n+1)(x) 有界并且能给出有界并且能给出 | |f (n+1)(x)| |的一个尽可能小的上界时，好处就显现出来了。的一个尽可能小的上界时，好处就显现出来了。麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式 Maclaurin 公式是公式是Taylor中值定理的特殊中值定理的特殊形式，但却是独立于形式，但却是独立于Taylor中值定理并且迟中值定理并且迟于它被提出来的。于它被提出来的。Maclaurin 1698-1746 英国英国麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式 虽然虽然 Maclaurin 公式是公式是Taylor中值定理的中值定理的特殊形式，仅仅是取特殊形式，仅仅是取 x0 =0 的特殊结果，可是的特殊结果，可是由于由于Maclaurin 公式使用方便，因此在数学分公式使用方便，因此在数学分析中常将此二结论相提并论析中常将此二结论相提并论。解解拉格朗日型余项拉格朗日型余项例例 2 可以注意到，正弦函数是一个可以注意到，正弦函数是一个奇函数奇函数，所以其所以其Maclaurin展开式中的多项式部分展开式中的多项式部分没没有偶数次项有偶数次项。 另外，对于我们初学者来说，在给出函另外，对于我们初学者来说，在给出函数的数的Taylor展开式或者展开式或者Maclaurin展开式时，展开式时，我们要知道我们要知道有一个余项存在有一个余项存在，也就是说一个，也就是说一个一般的函数不与一个一般的函数不与一个 n 次多项式函数完全次多项式函数完全相等，两者有些差别，差别用余项来体现。相等，两者有些差别，差别用余项来体现。但是余项的给出是比较麻烦的，具体的表达但是余项的给出是比较麻烦的，具体的表达式我们现在可以不用考虑太多，首先着重于式我们现在可以不用考虑太多，首先着重于多项式部分。多项式部分。极好的极好的近似近似结果结果播放播放可以注意到，正弦函数是一个可以注意到，正弦函数是一个奇函数奇函数，所以，所以sinx 的的Maclaurin 展开的表达式中展开的表达式中只有只有x 的的奇奇数次方项数次方项，并且并且所以我们可以通过这种方式来很快捷地掌握所以我们可以通过这种方式来很快捷地掌握cosx 的的Maclaurin 展开式展开式所以，我们可以得到用所以，我们可以得到用n次多项式来近似表次多项式来近似表示正弦、余弦函数的示正弦、余弦函数的近似计算结果，而且可近似计算结果，而且可以看到，随着以看到，随着n的增大，近似效果就越来越的增大，近似效果就越来越好，好，x的取值范围就可以随之而扩大。的取值范围就可以随之而扩大。例例3 我们需要注意到，并不是只要提高我们需要注意到，并不是只要提高Taylor 多项式的次数，就能不断地改进对函多项式的次数，就能不断地改进对函数的逼近程度。以一个著名的例子来说明：数的逼近程度。以一个著名的例子来说明：此时的余项称为是皮亚诺此时的余项称为是皮亚诺 (Peano) 型余项型余项,函数的带函数的带皮亚诺型余项皮亚诺型余项的展开式主要用于的展开式主要用于函数的极限计算函数的极限计算,并且对函数的要求也可以并且对函数的要求也可以适当降低适当降低.Theorem 2 如果函数如果函数f(x)在含有在含有x0的某个开的某个开区间区间(a,b)内具有内具有n阶导数阶导数,则在则在(a,b)内当内当xx0时时, f(x)可以表示为可以表示为(x-x0)的一个的一个n次多次多项式与一个余项项式与一个余项Rn(x)之和之和:例例4 求极限求极限解解Taylor公式公式Maclaurin 公式公式泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理例例5 解解这就是所谓的这就是所谓的“间接展开间接展开”。一些常用的简单函数的一些常用的简单函数的Taylor展开式或展开式或者者Maclaurin展开式展开式 常用简单函数的麦克劳林公式常用简单函数的麦克劳林公式例例6 证明证明 本题的证明方法挺多，这里仅介绍本题的证明方法挺多，这里仅介绍 用用Taylor中值定理来证明的方法。中值定理来证明的方法。( (其其他做法请同学们自己思考。他做法请同学们自己思考。) )证明证明 法二法二备备 注注 :2. 我十分欣赏的中国科大的我十分欣赏的中国科大的常庚哲、史济常庚哲、史济怀先生编著的怀先生编著的数学分析教程数学分析教程中作者说：中作者说：掌握了掌握了Taylor 定理之后，回过头去看前面定理之后，回过头去看前面的那些理论，似乎一切都在你的掌握之中，的那些理论，似乎一切都在你的掌握之中，使你有一种使你有一种“会当凌绝顶，一览众山小会当凌绝顶，一览众山小” 的意境。从这个意义上说的意境。从这个意义上说“Taylor 定理是定理是一元微分学的顶峰一元微分学的顶峰”，并不过分。，并不过分。1. 在微分学中，凡是牵涉到高阶导数的问题，在微分学中，凡是牵涉到高阶导数的问题，大部分都可以用大部分都可以用Taylor 中值定理来解决。中值定理来解决。