二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入第四节两个随机变量的函数的概率分布第四节两个随机变量的函数的概率分布4.1 4.1 离散型随机变量的函数的概率分布离散型随机变量的函数的概率分布已知随机变量已知随机变量( X ,Y )的概率分布的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数为已知的二元函数, 转化为转化为( X ,Y )的事件的事件问题方法求求 Z = g( X ,Y )的概率分布的概率分布例例1 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.得得因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立, 所以所以解解可得可得所以所以例例2 2 设二维随机变量设二维随机变量( X,Y )的概率分布为的概率分布为X Y pij -1 1 2-1 0求：求：的概率分布的概率分布解解 根据根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：的联合分布可得如下表格：P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得故得PX+Y-2 -1 0 1 2PX - Y-1 0 1 2 3PX Y-2 -1 0 1 PY /X-1 -1/2 0 11.设设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，且独立，具有可加性的两个离散分布：2. 设设 X ( 1), Y ( 2), 且独立，且独立，则则 X + Y B ( n1+n2, p)则则 X + Y P( 1+ 2) (教材教材P83例例4.2)（习题课教程（习题课教程P383例例18）结论：结论：4.2 4.2 连续型随机变量的函数的概率分布连续型随机变量的函数的概率分布 1. Z=X+Y 的的概率概率分布分布由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为由于由于X 与与Y 对称对称, 当当 X, Y 独立时独立时,这两个公式称这两个公式称之为之为卷积公式。卷积公式。注意：被积函数变元之和注意：被积函数变元之和x+(z-x)=(z-y)+y=z的联合概率密度为的联合概率密度为，则，则的概率密度为的概率密度为 对对两随机两随机变变量和的量和的线线性性组组合，我合，我们们也有如下推广的也有如下推广的卷卷积积公式：公式：设设 ( (教材教材P85P85例例4.3)4.3)例例3 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从都服从标准正态分布标准正态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.得得说明：说明： 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布合仍然服从正态分布,即正态分布具有可加性即正态分布具有可加性. 例如，设例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布也具有正态分布. 正态随机变量的结论q 若若X ,Y 相互独立相互独立,则则q 若若(X ,Y )则则 若相互独立相互独立则则推广推广为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 .解解:解法一解法一由卷积公式由卷积公式也即也即（教材（教材P85例例4.4）为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 也即也即于是于是解法二解法二 从分布函数出发从分布函数出发x+y = z当当z 0 时，时，1yx1当当0 z 1 时，时，yx11x+y = zzzx+y = z当当1 z 2 时时，z-11yx1zz1yx1x+y = z22当当2 z 时，时，例例 已知已知 ( X ,Y ) 的联合的联合 概率密度概率密度为为Z = X + Y ,求求 f Z (z)解解 （图形定限法图形定限法）由公式（由公式（1）考虑被积函数取非零值的区域考虑被积函数取非零值的区域zxz = xz = 2xx = 112当当 z 2 , zzzz当当 0 z 1, 当当 1 z 0)0)的概率密度为的概率密度为（）（）Z=XYZ=XY的概率密度为的概率密度为