优秀学习资料 欢迎下载 上海七年级 数学 因式分解专题讲解 一、提取公因式 1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 例 1、下列各式从左边右边的变形，哪些是因式分解？那些不是因式分解？ （1）1) 32(1322aaaa； （2）)11 (1xyxyxy； （3）1) 1)(1(2aaa； （5）22)21(412xxx； 例 2、指出下列各式中的公因式： （1）222343284babaa、 （2）（、bababa9-)( 6)( 332 （3）mmaa1832、 2、提取公因式的注意事项 （1）、如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“”号，是括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。 例：)23(4)812(8122222baababbaabba （2）利用提取公因式法分解因式时， 一定要“提干净” 。也就是说当一个多项式提出公因式后， 剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了； 若发现还有公因式必须要再次提取，否则因式分解就不彻底，没有完成。 （3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。 例：) 132(22642yxxxxyx，不能写成)32(22642yxxxxyx （4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式，当把多项式作为公因式提出来时， 要特别注意同一字母的排列序， 要设法结合相关知识进行转化， 使之成为完全相同的因式时再提取公因式， 否则容易出现负号上的错误。 例：)()()()()()(22323nmbmababanbamabnbam 例 3、分解因式：422231869yxyxyx 优秀学习资料 欢迎下载 例 4、将下列各组中的整式写成他们的公因式与另一公因式相乘的形式： （1）aa463、； （2）32394278xyyx、； （3）322)(51)(3baxbax、； （4）)(3)(2maxam、； 例 5、已知关于x的二次三项式nmxx22因式分解的结果是)41)(12( xx，求nm、的值？ 例 6、在物理电学中，求串联电路的总电压是有公式321IRIRIRU，当5 . 2, 9 .35, 4 .32, 7 .31321IRRR时，求电压U的值？ 3、整式乘法与因式分解有什么关系？ 整式乘法是一种求几个因式的积的运算，它的最后结果是和或差的形式，是一个多项式。 而因式分解则是把多项式化为几个整式的积的形式。 虽然他们都是恒等变形，但它们是两个不同的互逆过程，既互为相反的恒等变形。因式分解是否正确可以用正式的乘法来进行检验。 例 7、简便运算 （1）1368987525136898745613689872641368987123； （2）438 . 0436 . 043532； 二、公式法 1、公式法的定义：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。 2、方法归纳： （1）平分差公式)(22bababa （2）完全平方公式222)(2bababa 例 8、判断下列各式分解因式是否正确？ （1）222) 14( 4) 116( 4464aaa （2）) 1)(1)(1)()()()(22ababababababba 式的积得形式叫做把这个多项式因式分解也叫做把这个多项式分解因式例下列各式从左边右边的变形哪些是因式分解那些不是因式分解例指出下列各式中的公因式提取公因式的注意事项如果多项式的首项是负数时一般应先提出号是净也就是说当一个多项式提出公因式后剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了若发现还有公因式必须要再次提取否则因式分解就不底没有完成注意避免出现分解因式的漏项问题一般提取公因式后括号里的多项式项数作为公因式提出来时要特别注意同一字母的排列序要设法结合相关知识进行转化使之成为完全相同的因式时再提取公因式否则容易出现负号上的错误例例分解因式优秀学习资料欢迎下载例将下列各组中的整式写成他们的公因式与另优秀学习资料 欢迎下载 例 9、填写下列各式的空缺项，使他能用完全平反公式分解因式。 （1）2x（ ）+(361 2) （2）(1692 xyx ）( 2) 2、运用公式法分解因式应注意的问题： （1）运用公式法分解因式时要注意观察，首先观察项数，如果是二项考虑用平方差公式； 如果是三项考虑用完全平方公式。 其次观察所需分解的多项式的各项与相应公式中各项如何对应，什么是公式中的“a” ，什么事公式中的“b” ，然后采用此公式进行分解因式。 （2）分解因式一定要彻底，不能出现) 9)(9(81224aaa就不再分解下去的问题。 （3）公式中“a” 、 “b”可以表示多项式，使用公式是要注意符号的使用，但分解后的结果中不能含有中括号。 （4）合理变形，巧妙运用公式是本节的一大难点。 例 ： 分 解 因 式) 1( 4)(2yxyx时 ， 将 此 多 项 式 变 形 为4)( 4)(2yxyx后，就可以用完全平方公式进行分解了。 三、十字相乘法 例 10、把下列各式分解因式： （1）1522 xx； （2）2265yxyx； （3）xxx4335； （4）48) 4)(3)(2)(1(xxxx； （5）142222xyyxyx； （6）26)(11)(222xxxx； 式的积得形式叫做把这个多项式因式分解也叫做把这个多项式分解因式例下列各式从左边右边的变形哪些是因式分解那些不是因式分解例指出下列各式中的公因式提取公因式的注意事项如果多项式的首项是负数时一般应先提出号是净也就是说当一个多项式提出公因式后剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了若发现还有公因式必须要再次提取否则因式分解就不底没有完成注意避免出现分解因式的漏项问题一般提取公因式后括号里的多项式项数作为公因式提出来时要特别注意同一字母的排列序要设法结合相关知识进行转化使之成为完全相同的因式时再提取公因式否则容易出现负号上的错误例例分解因式优秀学习资料欢迎下载例将下列各组中的整式写成他们的公因式与另