第四讲导数的综合应用热点题型热点题型1 1利用导数研究函数的零点或方程根的问题利用导数研究函数的零点或方程根的问题【感悟经典感悟经典】【典例典例】(2018(2018全国卷全国卷)已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x-ax-ax2 2. .(1)(1)若若a=1,a=1,证明证明: :当当x0x0时时,f(x)1.,f(x)1.(2)(2)若若f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)只有一个零点只有一个零点, ,求求a.a.【解题指南解题指南】本题考查利用导数证明不等式和研究函本题考查利用导数证明不等式和研究函数的零点数的零点, ,意在考查考生的化归与转化能力意在考查考生的化归与转化能力, ,分类讨论分类讨论的思想运用以及求解能力的思想运用以及求解能力. .【解析解析】(1)(1)当当a=1a=1时时,f(x)1,f(x)1等价于等价于(x(x2 2+1)e+1)e-x-x-10.-10.设函数设函数g(x)=(xg(x)=(x2 2+1)e+1)e-x-x-1,-1,则则g(x)=-(xg(x)=-(x2 2-2x+1)e-2x+1)e-x-x= =-(x-1)-(x-1)2 2e e-x-x. .当当x1x1时时,g(x)0,g(x)0,h(x),h(x)0,h(x)没有零点没有零点; ;(ii)(ii)当当a0a0时时,h(x)=ax(x-2)e,h(x)=ax(x-2)e-x-x. .当当x(0,2)x(0,2)时时,h(x)0;,h(x)0. ,h(x)0. 所以所以h(x)h(x)在在(0,2)(0,2)上单调递减上单调递减, ,在在(2,+)(2,+)上单调递增上单调递增. .故故h(2)=1- h(2)=1- 是是h(x)h(x)在在(0,+)(0,+)上的最小值上的最小值. .若若h(2)0,h(2)0,即即a ,h(x)a ,h(x)在在(0,+)(0,+)上没有零点上没有零点; ;若若h(2)=0,h(2)=0,即即a= ,h(x)a= ,h(x)在在(0,+)(0,+)上只有一个零点上只有一个零点; ;若若h(2)0,h(2) ,a ,由于由于h(0)=1,h(0)=1,所以所以h(x)h(x)在在(0,2)(0,2)上上有一个零点有一个零点, ,由由(1)(1)知知, ,当当x0x0时时,e,ex xxx2 2, ,所以所以h(4a)=1- h(4a)=1- 故故h(x)h(x)在在(2,4a)(2,4a)有一个零点有一个零点, ,因此因此h(x)h(x)在在(0,+)(0,+)有两有两个零点个零点. .综上综上,f(x),f(x)在在(0,+)(0,+)只有一个零点时只有一个零点时,a= .,a= .【规律方法规律方法】1.1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路解的个数问题的一般思路(1)(1)将问题转化为函数的零点问题将问题转化为函数的零点问题, ,进而转化为函数的进而转化为函数的图象与图象与x x轴轴( (或直线或直线y=k)y=k)在该区间上的交点问题在该区间上的交点问题. .(2)(2)利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值( (最值最值) )、端点值等性质、端点值等性质, ,进而画出其图象进而画出其图象. .(3)(3)结合图象求解结合图象求解. . 2.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步第一步: :利用导数证明该函数在该区间上单调利用导数证明该函数在该区间上单调. .第二步第二步: :证明端点值异号证明端点值异号. .【对点训练对点训练】1.1.已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x+ax+ax2 2-bx-1(a,bR,e-bx-1(a,bR,e为自然对数的为自然对数的底数底数).).(1)(1)设设f(x)f(x)的导函数为的导函数为g(x),g(x),求求g(x)g(x)在区间在区间0,10,1上的最上的最小值小值. .(2)(2)若若f(1)=0,f(1)=0,且函数且函数f(x)f(x)在区间在区间(0,1)(0,1)内有零点内有零点, ,证明证明:-1a2-e.:-1a2-e.【解析解析】(1)(1)由由f(x)=ef(x)=ex x+ax+ax2 2-bx-1,-bx-1,得得g(x)=f(x)= g(x)=f(x)= e ex x+2ax-b,+2ax-b,所以所以g(x)=eg(x)=ex x+2a,+2a,当当x0,1x0,1时时,g(x)1+2a,e+2a.,g(x)1+2a,e+2a.当当a- a- 时时,g(x)0,g(x)0,所以所以g(x)g(x)在在0,10,1上单调递增上单调递增, ,所以所以g(x)g(x)在在0,10,1上的最小值是上的最小值是g(0)=1-b;g(0)=1-b;当当a- a- 时时,g(x)0,g(x)0,所以所以g(x)g(x)在在0,10,1上单调递减上单调递减, ,所以所以g(x)g(x)在在0,10,1上的最小值是上的最小值是g(1)=e+2a-b;g(1)=e+2a-b;当当- a- - a- 时时, ,令令g(x)=eg(x)=ex x+2a=0,+2a=0,得得x=ln(-2a)(0,1),x=ln(-2a)(0,1),所以所以g(x)g(x)在区间在区间0,ln(-2a)0,ln(-2a)上单调递减上单调递减, ,在区间在区间(ln(-2a),1(ln(-2a),1上单调递增上单调递增, ,所以所以g(x)g(x)在在0,10,1上的最小值是上的最小值是g(ln(-2a)=-2a+ g(ln(-2a)=-2a+ 2aln(-2a)-b=2aln(-2a)-2a-b.2aln(-2a)-b=2aln(-2a)-2a-b.综上所述综上所述, ,当当a- a- 时时,g(x),g(x)在在0,10,1上的最小值是上的最小值是g(0)=1-b;g(0)=1-b;当当- a- - a- 时时,g(x),g(x)在在0,10,1上的最小值是上的最小值是g(ln(-2a)=-2a+2aln(-2a)-b=2aln(-2a)-2a-b;g(ln(-2a)=-2a+2aln(-2a)-b=2aln(-2a)-2a-b;当当a- a- 时时,g(x),g(x)在在0,10,1上的最小值是上的最小值是g(1)=e+2a-b.g(1)=e+2a-b.(2)(2)设设x x0 0为为f(x)f(x)在区间在区间(0,1)(0,1)内的一个零点内的一个零点, ,则由则由f(0)=f(1)=f(xf(0)=f(1)=f(x0 0)=0)=0可知可知, ,f(x)f(x)在区间在区间(0,x(0,x0 0) )上不可能单调递增上不可能单调递增, ,也不可能单调递也不可能单调递减减. .则则g(x)g(x)不可能恒为正不可能恒为正, ,也不可能恒为负也不可能恒为负. . 故故g(x)g(x)在区间在区间(0,x(0,x0 0) )内存在零点内存在零点x x1 1, ,在区间在区间(x(x0 0,1),1)内存内存在零点在零点x x2 2. .故故g(x)g(x)在区间在区间(0,1)(0,1)内至少有两个零点内至少有两个零点, ,由由(1)(1)知知, ,当当a- a- 时时,g(x),g(x)在在0,10,1上单调递增上单调递增, ,故故g(x)g(x)在在(0,1)(0,1)内至多有内至多有1 1个零点个零点, ,不合题意不合题意; ;当当a- a- 时时,g(x),g(x)在在0,10,1递减递减, ,故故g(x)g(x)在在(0,1)(0,1)内至多内至多有有1 1个零点个零点, ,也不合题意也不合题意; ;当当- a- - a0,g(1)=e+2a-b0,g(0)=1-b0,g(1)=e+2a-b0,g(ln(-2a)0,g(ln(-2a)0,由由f(1)=0,f(1)=0,即即e+a-b-1=0,e+a-b-1=0,得得b=e+a-1,b=e+a-1,所以所以g(ln(-2a)=2aln(-2a)-3a+1-e,g(ln(-2a)=2aln(-2a)-3a+1-e,令令2a=t,2a=t,则则-et-1,-et-1,令令h(t)=tln(-t)- t+1-e,h(t)=tln(-t)- t+1-e,则则h(t)=ln(-t)- 0,h(t)=ln(-t)- 0,所以所以h(t)h(t)在在(-e,-1)(-e,-1)上单调递减上单调递减, ,所以所以h(t)h(-e)=1- 0,h(t)h(-e)=1- 0,所以当所以当- a- - a- 时时,g(ln(-2a)0,g(ln(-2a)0,g(1)=a+10,g(0)=2-e-a0,g(1)=a+10,解得解得:-1a2-e,:-1a2-e,故函数故函数f(x)f(x)在区间在区间(0,1)(0,1)内有零点时内有零点时,-1a2-e.,-1a2-e.2.2.已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x,xR.,xR.(1)(1)若直线若直线y=kxy=kx与与f(x)f(x)的反函数的图象相切的反函数的图象相切, ,求实数求实数k k的的值值. .(2)(2)若若m0,m0,y=ln x,x0,则则y= .y= .设切点为设切点为(x(x0 0,ln x,ln x0 0),),则切线斜率为则切线斜率为k= ,k= ,故故x x0 0=e,k= .=e,k= .(2)(2)函数函数g(x)=f(x)+mxg(x)=f(x)+mx2 2的零点的个数即是方程的零点的个数即是方程f(x)+ f(x)+ mxmx2 2=0=0的实根的个数的实根的个数( (当当x=0x=0时时, ,方程无解方程无解),),等价于函数等价于函数h(x)= (x0)h(x)= (x0)与函数与函数y=-my=-m图象交点的图象交点的个数个数. .h(x)= .h(x)= .当当x(-,0)x(-,0)时时,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)在在(-,0)(-,0)上单调递增上单调递增; ;当当x(0,2)x(0,2)时时,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)在在(2,+)(2,+)上单调递增上单调递增. .所以所以h(x)h(x)的大致图象如图的大致图象如图: :所以所以h(x)h(x)在在(0,+)(0,+)上的最小值为上的最小值为h(2)= .h(2)= .所以当所以当-m ,-m ,即即m m 时时, ,函数函数h(x)= h(x)= 与函与函数数y=-my=-m图象交点的个数为图象交点的个数为1;1;当当-m= ,-m= ,即即m=- m=- 时时, ,函数函数h(x)= h(x)= 与函数与函数y=y=-m-m图象交点的个数为图象交点的个数为2;2;当当-m ,-m ,即即m m 时时, ,函数函数h(x)= h(x)= 与函数与函数y=-my=-m图象交点的个数为图象交点的个数为3.3.综上所述综上所述, ,当当m m 时时, ,函数函数g(x)g(x)有三个零点有三个零点; ;当当m=- m=- 时时, ,函数函数g(x)g(x)有两个零点有两个零点; ;当当m m 时时, ,函数函数g(x)g(x)有一个零点有一个零点. .【提分备选提分备选】1.1.已知函数已知函数f(x)=axsin x-f(x)=axsin x- (aR),(aR),且且在在 上的最大值为上的最大值为 . .(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式. .(2)(2)判断函数判断函数f(x)f(x)在在(0,)(0,)内的零点个数内的零点个数, ,并加以证明并加以证明. .【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得f(x)=a(sin x+xcos x),f(x)=a(sin x+xcos x),对于任意对于任意x ,x ,有有sin x+xcos x0.sin x+xcos x0.当当a=0a=0时时,f(x)=- ,f(x)=- ,不合题意不合题意; ;当当a0a0时时,x ,x 时时,f(x)0,f(x)0,x a0,x 时时,f(x)0,f(x)0,从而从而f(x)f(x)在在 内单调递内单调递增增, ,又又f(x)f(x)在在 上的图象是连续不间断的上的图象是连续不间断的, ,故故f(x)f(x)在在 上的最大值为上的最大值为f ,f ,即即 , ,解得解得a=1.a=1.综上所述综上所述, ,得得f(x)=xsin x- .f(x)=xsin x- .(2)f(x)(2)f(x)在在(0,)(0,)上有两个零点上有两个零点. .证明如下证明如下: :由由(1)(1)知知f(x)=xsin x- ,f(0)=- 0,f(x)=xsin x- ,f(0)=- 0,f = 0, 所以所以f(x)f(x)在在 上至少有一个零点上至少有一个零点, ,又由又由(1)(1)知知f(x)f(x)在在 上单调递增上单调递增, ,故在故在 上只有一个零点上只有一个零点, ,当当x x 时时, ,令令g(x)=f(x)=sin x+xcos x,g(x)=f(x)=sin x+xcos x,由由g =10,g()=-0,g()=-0,且且g(x)g(x)在在 上的图象是上的图象是连续不间断的连续不间断的, ,故存在故存在m ,m ,使得使得g(m)=0.g(m)=0.由由g(x)=2cos x-xsin x,g(x)=2cos x-xsin x,知知x x 时时, ,有有g(x)0,g(x)g(m)=0,g(x)g(m)=0,即即f(x)0,f(x)0,从而从而f(x)f(x)在在 内单调递增内单调递增, ,故当故当x x 时时,f(x)f ,f(x)f = 0,= 0,故故f(x)f(x)在上无零点在上无零点; ;当当x(m,)x(m,)时时, ,有有g(x)g(m)=0,g(x)g(m)=0,即即f(x)0,f(x)0,f()0,f()0,且且f(x)f(x)在在m,m,上的图象是连续不上的图象是连续不断的断的, ,从而从而f(x)f(x)在在(m,)(m,)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点. .综上所述综上所述,f(x),f(x)在在(0,)(0,)内有且只有两个零点内有且只有两个零点. .2.2.已知关于已知关于x x的函数的函数f(x)=f(x)= (a0).(a0).(1)(1)当当a=-1a=-1时时, ,求函数求函数f(x)f(x)的极值的极值. .(2)(2)若函数若函数F(x)=f(x)+1F(x)=f(x)+1没有零点没有零点, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .【解析解析】(1)f(x)= ,xR.(1)f(x)= ,xR.当当a=-1a=-1时时,f(x),f(x),f(x),f(x)的情况如下表的情况如下表: :所以所以, ,当当a=-1a=-1时时, ,函数函数f(x)f(x)的极小值为的极小值为f(2)=-ef(2)=-e-2-2, ,无极大无极大值值. .x x(-,2)(-,2)2 2(2,+)(2,+)f(x)f(x)- -0 0+ +f(x)f(x)极小值极小值(2)F(x)=f(x)= .(2)F(x)=f(x)= .当当a0a0,F(2)= +10,解得解得a-ea-e2 2, ,所以此时所以此时-e-e2 2a0;a0a0时时,F(x),F(x),F(x),F(x)的情况如下表的情况如下表: :若使函数若使函数F(x)F(x)没有零点没有零点, ,当且仅当当且仅当F(2)= +10,F(2)= +10,解得解得a-ea cos 时时,S0;,S0;当当cos cos 0,S0,所以当所以当cos = cos = 时时S S取得最小值取得最小值. .此时此时sin = ,AD= sin = ,AD= 所以中转点所以中转点D D距离距离A A处处 千米时千米时, ,运输成本运输成本S S最小最小. .【规律方法规律方法】利用导数解决生活中优化问题的一般步骤利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)(1)分析实际问题中各量之间的关系分析实际问题中各量之间的关系, ,列出实际问题的列出实际问题的数学模型数学模型, ,写出实际问题中变量之间的函数关系写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),y=f(x),根据实际意义确定定义域根据实际意义确定定义域. .(2)(2)求函数求函数y=f(x)y=f(x)的导数的导数f(x),f(x),解方程解方程f(x)=0f(x)=0得出得出定义域内的实根定义域内的实根, ,确定极值点确定极值点. .(3)(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小, ,获获得所求的最大得所求的最大( (小小) )值值. .(4)(4)还原到原实际问题中作答还原到原实际问题中作答. . 【对点训练对点训练】某商场根据调查某商场根据调查, ,估计家电商品从年初估计家电商品从年初(1(1月月) )开始的开始的x x个月内累计的需求量个月内累计的需求量p(x)(p(x)(单位单位: : 百件百件) )满足满足p(x)=p(x)= (39x-2x(39x-2x2 2+41)(1x12+41)(1x12且且xNxN* *).).(1)(1)求第求第x x个月的需求量个月的需求量f(x)f(x)的表达式的表达式. .(2)(2)若第若第x x个月的销售量满足个月的销售量满足g(x)=g(x)= ( (单位单位: :百件百件),),每件每件利润利润q(x)=100eq(x)=100ex-6x-6元元, ,求该商场销售该商品第几个月的求该商场销售该商品第几个月的月利润达到最大值月利润达到最大值, ,最大是多少最大是多少?(e?(e6 6取值为取值为403)403)【解析解析】(1)(1)当当x2x2时时,f(x)=p(x)-p(x-1)=,f(x)=p(x)-p(x-1)=-3x-3x2 2+42x,+42x,当当x=1x=1时时,p(x)=39,p(x)=39,也满足上式也满足上式, ,所以所以f(x)=-3xf(x)=-3x2 2+42x(1x12+42x(1x12且且xNxN* *).).(2)(2)设该商场第设该商场第x x个月的月利润为个月的月利润为(x)(x)元元, ,则则当当1x7,xN1x7,xN* *时时,(x)=(-3x,(x)=(-3x2 2+42x-21x)+42x-21x) =30 000(7-x)e =30 000(7-x)ex-6x-6, ,(x)=30 000(6-x)e(x)=30 000(6-x)ex-6x-6, ,令令(x)=0,(x)=0,得得x=6.x=6.则则(x)(x)在在1,61,6上单调递增上单调递增, ,在在6,7)6,7)上单调递减上单调递减, ,所以所以(x)(x)maxmax=(6)=30 000.=(6)=30 000. 当当7x12,xN7x12,xN* *时时, ,(x)= (x)= =10 000 e=10 000 e-6-6, ,(x)=10 000(x-12)(x-8)e(x)=10 000(x-12)(x-8)e-6-6, ,所以所以(x)(x)在在7,87,8上上单调递增单调递增, ,在在8,128,12上单调递减上单调递减, ,(x)(x)maxmax=(8)30 000.=(8)30 000.综上可知综上可知, ,第第6 6个月的月利润最大个月的月利润最大, ,是是30 00030 000元元. .【提分备选提分备选】某公司生产某种产品某公司生产某种产品, ,固定成本为固定成本为20 00020 000元元, ,每生产一单位产品每生产一单位产品, ,成本增加成本增加100100元元, ,已知总营业收已知总营业收入入R R与年产量与年产量x x的关系是的关系是R=R(x)=R=R(x)= 则总利润最大时则总利润最大时, ,年产量是年产量是( () )A.100A.100B.150B.150C.200C.200D.300D.300【解析解析】选选D.D.由题意得由题意得, ,总成本函数为总成本函数为C=C(x)=20 000 C=C(x)=20 000 +100x,+100x,总利润总利润P(x)=P(x)= 又又P(x)= P(x)= 令令P(x)=0,P(x)=0,得得x=300,x=300,易知易知x=300x=300时时, ,总利润总利润P(x)P(x)最大最大. .热点题型热点题型3 3不等式中的证明问题不等式中的证明问题【感悟经典感悟经典】【典例典例】已知函数已知函数f(x)=f(x)= (a,bR,(a,bR,且且a0,ea0,e为自然对数的底数为自然对数的底数).).(1)(1)若曲线若曲线f(x)f(x)在点在点(e,f(e)(e,f(e)处的切线斜率为处的切线斜率为0,0,且且f(x)f(x)有极小值有极小值, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .(2)(2)当当a=b=1a=b=1时时, ,证明证明:xf(x)+20;:xf(x)+2e+m(x-1):xf(x)e+m(x-1)在区间在区间(1,+)(1,+)内恒成立内恒成立, ,求实数求实数m m的最大值的最大值. . 【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为f(x)= ,f(x)= ,所以所以f(x)= .f(x)= .因为因为f(e)=0,f(e)=0,所以所以b=0,b=0,则则f(x)= .f(x)= .当当a0a0时时,f(x),f(x)在在(0,e)(0,e)内大于内大于0,0,在在(e,+)(e,+)内小于内小于0,0,所以所以f(x)f(x)在在(0,e)(0,e)内为增函数内为增函数, ,在在(e,+)(e,+)内为减函数内为减函数, ,即即f(x)f(x)有极大值而无极小值有极大值而无极小值; ;当当a0a0时时,f(x),f(x)在在(0,e)(0,e)内为减函数内为减函数, ,在在(e,+)(e,+)内为增函内为增函数数, ,即即f(x)f(x)有极小值而无极大值有极小值而无极大值. .所以所以a0,a0,即实数即实数a a的取值范围为的取值范围为(-,0).(-,0).(2)(2)当当a=b=1a=b=1时时, ,设设g(x)=xf(x)+2=ln x-eg(x)=xf(x)+2=ln x-ex x+2.+2.g(x)= -eg(x)= -ex x在区间在区间(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数, ,又又g(1)=1-e0.g(1)=1-e0.所以存在实数所以存在实数x x0 0 , ,使得使得g(xg(x0 0)= - =0.)= - =0. 此时此时g(x)g(x)在区间在区间(0,x(0,x0 0) )内为增函数内为增函数, ,在在(x(x0 0,+),+)内为内为减函数减函数. .又又g(xg(x0 0)= =0,)= =0,所以所以 ,x,x0 0=-ln x=-ln x0 0. .由单调性知由单调性知,g(x),g(x)maxmax=g(x=g(x0 0)=ln x)=ln x0 0- +2- +2=-x=-x0 0- +2=- +2.- +2=- +2.又又x x0 0 , ,所以所以- -2.- -2.所以所以g(x)g(x)maxmax0,0,即即xf(x)+20;xf(x)+2e+m(x-1)xf(x)e+m(x-1)xf(x)-m(x-1)e,xf(x)-m(x-1)e,当当a=1,b=-1a=1,b=-1时时, ,设设h(x)=xf(x)-m(x-1)=ln x+eh(x)=xf(x)-m(x-1)=ln x+ex x-m(x-1).-m(x-1).则则h(x)= +eh(x)= +ex x-m.-m.令令t(x)=h(x)= +et(x)=h(x)= +ex x-m.-m.因为因为x1,x1,所以所以t(x)=et(x)=ex x- 0.- 0.所以所以h(x)h(x)在在(1,+)(1,+)内单调递增内单调递增, ,所以当所以当x1x1时时,h(x)h(1)=1+e-m.,h(x)h(1)=1+e-m.()()当当1+e-m01+e-m0时时, ,即即m1+em1+e时时,h(x)0,h(x)0,所以所以h(x)h(x)在区间在区间(1,+)(1,+)内单调递增内单调递增, ,所以当所以当x1x1时时,h(x)h(1)=e,h(x)h(1)=e恒成立恒成立; ;()()当当1+e-m01+e-m1+em1+e时时,h(x)0,h(x)0,所以存在所以存在x x0 0(1,+),(1,+),使得使得h(xh(x0 0)=0.)=0.所以所以h(x)h(x)在区间在区间(1,x(1,x0 0) )内单调递减内单调递减, ,在在(x(x0 0,+),+)内单调内单调递增递增. .由由h(xh(x0 0)h(1)=e,)eh(x)e不恒成立不恒成立. .综上所述综上所述, ,实数实数m m的取值范围为的取值范围为(-,1+e.(-,1+e.所以实数所以实数m m的最大值为的最大值为:1+e.:1+e. 【规律方法规律方法】利用导数证明不等式的基本步骤利用导数证明不等式的基本步骤(1)(1)作差或变形作差或变形. .(2)(2)构造新的函数构造新的函数h(x).h(x).(3)(3)对对h(x)h(x)求导求导. .(4)(4)利用利用h(x)h(x)判断判断h(x)h(x)的单调性或最值的单调性或最值. .(5)(5)下结论下结论. .【对点训练对点训练】已知函数已知函数f(x)=f(x)= x x2 2-x+aln x(a0).-x+aln x(a0).(1)(1)若若a=1,a=1,求求f(x)f(x)的图象在的图象在(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程处的切线方程. .(2)(2)讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性. .(3)(3)若若f(x)f(x)存在两个极值点存在两个极值点x x1 1,x,x2 2, ,求证求证:f(x:f(x1 1)+)+f(xf(x2 2) . .【解析解析】(1)(1)当当a=1a=1时时,f(x)= x,f(x)= x2 2-x+ln x,-x+ln x,f(x)=x-1+ ,f(x)=x-1+ ,f(1)=1,f(1)=- ,f(1)=1,f(1)=- ,所以所以f(x)f(x)的图象在的图象在(1,f(1)(1,f(1)处的处的切线方程为切线方程为y- =x-1,y- =x-1,即即2x-2y-3=0.2x-2y-3=0.(2)f(x)=x-1+ (a0).(2)f(x)=x-1+ (a0).若若a ,a ,则则x x2 2-x+a0-x+a0恒成立恒成立,f(x)0,f(x)0,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增. . 若若0a ,0a0-x+a0得得0x 0x x 由由x x2 2-x+a0-x+a0得得 所以所以f(x)f(x)在在 上单调递减上单调递减, ,在在 和和 上单调递增上单调递增. .综上综上, ,当当a a 时时,f(x),f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增; ;当当0a 0a 时时,f(x),f(x)在在 上单调上单调递减递减, ,在在 和和 上单调递增上单调递增. .(3)(3)由由(2)(2)知知0a 0a 时时,f(x),f(x)存在两个极值点存在两个极值点x x1 1,x,x2 2, ,且且x x1 1,x,x2 2是方程是方程x x2 2-x+a=0-x+a=0的两个根的两个根, ,所以所以x x1 1+x+x2 2=1, =1, x x1 1x x2 2=a.=a.所以所以f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2)= -x)= -x1 1+aln x+aln x1 1+ -x+ -x2 2+ +aln xaln x2 2 = (x= (x1 1+x+x2 2) )2 2-x-x1 1x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2)+aln(x)+aln(x1 1x x2 2) )= -a-1+aln a=aln a-a- .= -a-1+aln a=aln a-a- .令令g(x)=xln x-x- ,g(x)=xln x-x- ,则则g(x)=ln x0.g(x)=ln xg(x)所以所以f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2) .) .【提分备选提分备选】1.1.设设a a为实数为实数, ,函数函数f(x)=ef(x)=ex x-2x+2a,xR.-2x+2a,xR.(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间与极值的单调区间与极值. .(2)(2)求证求证: :当当aln 2-1aln 2-1且且x0x0时时,e,ex xxx2 2-2ax+1.-2ax+1.【解析解析】(1)(1)由由f(x)=ef(x)=ex x-2x+2a,xR,f(x)=e-2x+2a,xR,f(x)=ex x- -2,xR.2,xR.令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=ln 2.x=ln 2.于是当于是当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表: :x x(-,ln 2)(-,ln 2)ln 2ln 2(ln 2,+)(ln 2,+)f(x)f(x)- -0 0+ +f(x)f(x)单调递减单调递减2(1-ln 2+a)2(1-ln 2+a)单调递增单调递增故故f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,ln 2),(-,ln 2),单调递增区间是单调递增区间是(ln 2,+),(ln 2,+),f(x)f(x)在在x=ln 2x=ln 2处取得极小值处取得极小值, ,极小值为极小值为f(ln 2)=f(ln 2)=e eln 2ln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).(2)(2)设设g(x)=eg(x)=ex x-x-x2 2+2ax-1,xR.+2ax-1,xR.于是于是g(x)=eg(x)=ex x- -2x+2a,xR.2x+2a,xR.由由(1)(1)知当知当aln 2-1aln 2-1时时,g(x),g(x)最小值为最小值为g(ln 2)= g(ln 2)= 2(1-ln 2+a)0.2(1-ln 2+a)0.于是对任意于是对任意xR,xR,都有都有g(x)0,g(x)0,所所以以g(x)g(x)在在R R内单调递增内单调递增. .于是当于是当aln 2-1aln 2-1时时, ,对任意对任意x(0,+),x(0,+),都有都有g(x)g(0).g(x)g(0). 又又g(0)=0,g(0)=0,从而对任意从而对任意x(0,+),g(x)0.x(0,+),g(x)0.即即e ex x-x-x2 2+2ax-10,+2ax-10,故故e ex xxx2 2-2ax+1.-2ax+1.2.2.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+3|x-a|(a0),+3|x-a|(a0),若若f(x)f(x)在在-1,1-1,1上上的最小值记为的最小值记为g(a).g(a).(1)(1)求求g(a).g(a).(2)(2)证明证明: :当当x-1,1x-1,1时时, ,恒有恒有f(x)g(a)+4.f(x)g(a)+4.【解析解析】(1)(1)因为因为a0,-1x1,a0,-1x1,所以所以当当0a10a1时时, ,若若x-1,a,x-1,a,则则f(x)=xf(x)=x3 3-3x+3a,f(x)=3x-3x+3a,f(x)=3x2 2-30,-30,+30,故故f(x)f(x)在在(a,1)(a,1)上是增函数上是增函数. .所以所以g(a)=f(a)=ag(a)=f(a)=a3 3. .当当a1a1时时, ,有有xa,xa,则则f(x)=xf(x)=x3 3-3x+3a,-3x+3a,f(x)=3xf(x)=3x2 2-30,-30,故故f(x)f(x)在在(-1,1)(-1,1)上是减函数上是减函数, ,所以所以g(a)=f(1)=-2+3a.g(a)=f(1)=-2+3a.综上综上,g(a)=,g(a)= (2)(2)令令h(x)=f(x)-g(a).h(x)=f(x)-g(a).当当0a10a1时时,g(a)=a,g(a)=a3 3. .若若xa,1,xa,1,则则h(x)=xh(x)=x3 3+3x-3a-a+3x-3a-a3 3, ,得得h(x)=3xh(x)=3x2 2+3,+3,则则h(x)h(x)在在(a,1)(a,1)上是增函数上是增函数, ,所以所以h(x)h(x)在在a,1a,1上的最大上的最大值是值是h(1)=4-3a-ah(1)=4-3a-a3 3, ,且且0a1,0a1,所以所以h(1)4.h(1)0,0,知知t(a)t(a)在在(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数. .所以所以t(a)t(1)=4,t(a)t(1)=4,即即h(-1)4.h(-1)4.故故f(x)g(a)+4.f(x)g(a)+4.当当a1a1时时,g(a)=-2+3a,g(a)=-2+3a,故故h(x)=xh(x)=x3 3-3x+2,-3x+2,得得h(x)=3xh(x)=3x2 2-3,-3,此时此时h(x)h(x)在在(-1,1)(-1,1)上是减函数上是减函数, ,因此因此h(x)h(x)在在-1,1-1,1上的最大值是上的最大值是h(-1)=4.h(-1)=4.故故f(x)g(a)+4.f(x)g(a)+4.综上综上, ,当当x-1,1x-1,1时时, ,恒有恒有f(x)g(a)+4.f(x)g(a)+4.数学抽象数学抽象由不等式成立求参数范围问题中的数学由不等式成立求参数范围问题中的数学素养素养【相关链接相关链接】利用导数解决函数、方程、不等式等综合性问题是导利用导数解决函数、方程、不等式等综合性问题是导数的重要应用数的重要应用, ,也是历年高考考查的重点与热点内容也是历年高考考查的重点与热点内容. .这类问题这类问题, ,既会以选择题或填空题的形式出现既会以选择题或填空题的形式出现, ,也可在也可在解答题中出现解答题中出现, ,且多为高档题且多为高档题. .常见类型有恒成立问题、常见类型有恒成立问题、能成立问题等能成立问题等. .命题角度命题角度1:1:不等式恒成立求参数范围不等式恒成立求参数范围【典例典例1 1】已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax3 3-3x+1-3x+1对对x(0,1x(0,1总有总有f(x)0f(x)0成立成立, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【规范解答规范解答】当当x(0,1x(0,1时时, ,不等式不等式axax3 3-3x+10-3x+10可化可化为为a ,a ,设设g(x)= ,x(0,1,g(x)=g(x)= ,x(0,1,g(x)= = ,g(x) = ,g(x)与与g(x)g(x)随随x x的的变化如下表变化如下表: :因此因此g(x)g(x)的最大值为的最大值为4,4,故实数故实数a a的范围为的范围为4,+).4,+).答案答案: :4,+)4,+)命题角度命题角度2:2:不等式存在成立求参数范围不等式存在成立求参数范围【典例典例2 2】设函数设函数f(x)=aln x+f(x)=aln x+ x x2 2-bx(a1),-bx(a1),曲线曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线斜率为处的切线斜率为0.0.(1)(1)求求b.b.(2)(2)若存在若存在x x0 01,1,使得使得f(xf(x0 0)0,f(x)0,f(x)在在(1,+)(1,+)单调递增单调递增. .所以所以, ,存在存在x x0 01,1,使得使得f(xf(x0 0) ) 的充要条件为的充要条件为f(1)f(1)若若 故当故当x x 时时,f(x)0;,f(x)0.f(x),f(x)0.f(x)在在 单调递单调递减减, ,在在 单调递增单调递增. .所以所以, ,存在存在x x0 01,1,使得使得f(xf(x0 0) )1,a1,则则f(1)= f(1)= 综上综上,a,a的取值范围是的取值范围是(- -1, -1)(1,+).(- -1, -1)(1,+).【规律方法规律方法】1.1.利用不等式恒成立求参数范围的方法利用不等式恒成立求参数范围的方法(1)(1)根据不等式分离参数根据不等式分离参数. .(2)(2)利用分离参数后的不等式构造新函数利用分离参数后的不等式构造新函数F(x).F(x).(3)(3)判断判断F(x)F(x)的单调性及求其最值的单调性及求其最值. .(4)(4)根据参数根据参数mF(x)mF(x)maxmax或或mF(x)mF(x)minmin求参数范围求参数范围. .2.2.对于任意对于任意x x1 1DD1 1, ,存在存在x x2 2DD2 2, ,使得使得g(xg(x1 1)f(x)f(x2 2) )成立成立, ,其解决方法其解决方法: :(1)(1)求出求出g(x)g(x)在在D D1 1的最小值的最小值. .(2)(2)求出求出f(x)f(x)在在D D2 2的最大值的最大值. .(3)(3)转化转化g(x)g(x)minminf(x)f(x)maxmax, ,求出参数范围求出参数范围. .【通关题组通关题组】1.1.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2(x-a),(x-a),若若f(x)f(x)在在2,32,3上单调上单调, ,则实则实数数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2-2ax,-2ax,若若f(x)f(x)在在2,32,3上单调上单调, ,则则f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0在在2,32,3上恒成立上恒成立. .所以所以aa x x或或a x,a x,因为因为x2,3,x2,3,所以所以a3a3或或a .a .答案答案: :(-,3 (-,3 2.2.已知函数已知函数f(x)=f(x)= +xln x,g(x)=x+xln x,g(x)=x3 3-x-x2 2-x-1.-x-1.(1)(1)如果存在如果存在x x1 1,x,x2 20,2,0,2,使得使得g(xg(x1 1)-g(x)-g(x2 2)M,)M,求满求满足该不等式的最大整数足该不等式的最大整数M.M.(2)(2)如果对任意的如果对任意的s,ts,t , ,都有都有f(s)g(t)f(s)g(t)成立成立, ,求求实数实数a a的取值范围的取值范围. .【解析解析】(1)(1)存在存在x x1 1,x,x2 20,2,0,2,使得使得g(xg(x1 1)-)-g(xg(x2 2)M)Mx x1 1,x,x2 20,2,g(x0,2,g(x1 1)-g(x)-g(x2 2)maxmaxM.M.因为因为g(x)=3xg(x)=3x2 2-2x-1=(3x+1)(x-1),-2x-1=(3x+1)(x-1),所以当所以当0x10x1时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)单调递减单调递减, ,当当1x21x0,g(x),g(x)0,g(x)单调递增单调递增, ,所以所以g(x)g(x)maxmax=maxg(0),g(2)=g(2)=1,g(x)=maxg(0),g(2)=g(2)=1,g(x)minmin=g(1)=g(1)=-2,=-2,所以所以g(xg(x1 1)-g(x)-g(x2 2)maxmax=g(x)=g(x)maxmax-g(x)-g(x)minmin=3,=3,满足不等式的满足不等式的最大整数最大整数M=3.M=3.(2)(2)由由(1)(1)知知, ,当当x x 时时,g(x),g(x)maxmax=g(2)=1,=g(2)=1,依题意依题意, ,对对任意的任意的s,t s,t 都有都有f(s)g(t)f(s)g(t)成立成立当当x x 时时,f(x)= +xln x1,f(x)= +xln x1恒成立恒成立. .则有则有f(1)= 1,f(1)= 1,所以所以a2. a2. 当当a2a2且且x x 时时,f(x)= +xln x +xln x.,f(x)= +xln x +xln x.设设h(x)= +xln x,h(x)= +xln x,所以所以h(x)=- +ln x+1,h(x)=- +ln x+1,且且h(1)=0.h(1)=0.当当x x 时时,h(x)=- +ln x+10,h(x)=- +ln x+10,h(x)=- +ln x+10,所以所以h(x)= +xln xh(x)= +xln x在在 上单调递减上单调递减, ,在在(1,2)(1,2)上单调上单调递增递增, ,所以所以h(x)h(x)minmin=h(1)=1,=h(1)=1,即即h(x)1,h(x)1,所以当所以当a2a2时原不等式成立时原不等式成立. .所以所以a a的取值范围是的取值范围是2,+).2,+).