2 2 线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算 3 3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵线性变换的矩阵4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量11 线性变换的定义线性变换的定义线性变换的定义线性变换的定义66线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核线性变换的值域与核8 8 若当标准形简介若当标准形简介若当标准形简介若当标准形简介9 9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式77不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间小结与习题小结与习题小结与习题小结与习题第七章第七章 线性变换线性变换5 5 对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵一、一、特征值与特征向量特征值与特征向量 二二、特征值与特征向量的求法、特征值与特征向量的求法7.4 特征值与特征向量特征值与特征向量 三、特征子空间三、特征子空间四、特征多项式的有关性质四、特征多项式的有关性质 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵一个对角矩阵?引入引入有限维线性空间有限维线性空间V中取定一组基后，中取定一组基后，V的任一线性的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质，为了研究线性变换性质， 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量设是数域设是数域P上线性空间上线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换， 则称则称为为 的一个的一个特征值特征值，称，称为为的属于特征的属于特征值值一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 定义：定义：若对于若对于P中的一个数存在一个中的一个数存在一个V的非零向量的非零向量使得使得的的特征向量特征向量. 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，注：注：相同相同 或相反或相反时时 若若 是是 的属于特征的属于特征值值的特征向量的特征向量，则则也是也是 的属于的特征向量的属于的特征向量.但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则若且，则 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量设设 是是V的一组基，的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为线性变换在这组基下的矩阵为A. 下的坐标记为下的坐标记为 二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法 分析：分析：分析：分析：设是的特征值，它的一个特征向量在基设是的特征值，它的一个特征向量在基则则 在基下的坐标为在基下的坐标为 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量而而 的坐标是的坐标是于是于是又又从而从而 又又即即 是线性方程组是线性方程组 的解，的解， 有非零解有非零解. 所以它的系数行列式所以它的系数行列式 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量以上分析说明：以上分析说明：若是的特征值，则若是的特征值，则反之，若满足反之，若满足则齐次线性方程组有非零解则齐次线性方程组有非零解. 若是一个非零解，若是一个非零解，特征向量特征向量.则向量就是的属于的一个则向量就是的属于的一个 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量设设 是一个文字，矩阵称为是一个文字，矩阵称为称为称为A的的特征多项式特征多项式. 1. 特征多项式的定义特征多项式的定义A的的特征矩阵特征矩阵，它的行列式，它的行列式 （是数域（是数域P上的一个上的一个n次多项式）次多项式） 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 矩阵矩阵A的特征多项式的根有时也称的特征多项式的根有时也称为为A的特征值的特征值, ,注：注： 若矩阵若矩阵A是线性变换关于是线性变换关于V的一组基的矩阵的一组基的矩阵，而是的一个特征值，则是特征多项式而是的一个特征值，则是特征多项式的根，即的根，即的一个特征值的一个特征值.反之，若是反之，若是A的特征多项式的根，则就是的特征多项式的根，则就是（所以，特征值也称（所以，特征值也称特征根特征根.）而相应的线性方程组而相应的线性方程组 的非零解也就的非零解也就称为称为A的属于这个特征值的特征向量的属于这个特征值的特征向量. . 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 i) 在在V中任取一组基中任取一组基 写出写出 在这组基下在这组基下就是的全部特征值就是的全部特征值.ii) 求求A的特征多项式的特征多项式 在在P上的全部根它们上的全部根它们2. 求特征值与特征向量的一般步骤求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵的矩阵A .iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量在基的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标下的坐标.) 并求出它的一组基础解系并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值它们就是属于这个特征值 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 则则就是属于这个特征值就是属于这个特征值 的全部线性的全部线性无关的特征向量无关的特征向量. 而而（其中，不全为零（其中，不全为零） 就是的属于就是的属于 的全部特征向量的全部特征向量.如果特征值如果特征值 对应方程组的基础解系为：对应方程组的基础解系为： 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量对皆有对皆有所以，所以，V中任一非零向量皆为数乘变换中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量的特征向量.例例1.在线性空间在线性空间V中，数乘变换中，数乘变换K在任意一组基下在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是，它的特征多项式是故数乘法变换故数乘法变换K的特征值只有数的特征值只有数k，且，且 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量解：解：A的特征多项式的特征多项式 例例2.设线设线性性变换变换在基在基 下的矩阵是下的矩阵是求特征值与特征向量求特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）故的特征值为：（二重） 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 即即 它的一个基础解系为它的一个基础解系为： 因此，属于因此，属于 的两个线性无关的特征向量为的两个线性无关的特征向量为而属于而属于 的全部特征向量为的全部特征向量为不全为零不全为零 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量因此，属于因此，属于5的一个线性无关的特征向量为的一个线性无关的特征向量为 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 解得它的一个基础解系为：解得它的一个基础解系为： 而属于而属于5的全部特征向量为的全部特征向量为 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量三、特征子空间三、特征子空间 定义定义：再添上零向量所成的集合，即再添上零向量所成的集合，即设设 为为n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换，为为的一个特征的一个特征值值，令，令 为为的属于的全部特征向量的属于的全部特征向量则则 是是V的一个子空的一个子空间间, 称之称之为为的一个的一个特征子空间特征子空间. 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量注：注：的解空间的维数，且由方程组的解空间的维数，且由方程组(* *)得到的属于的得到的属于的若在若在n维线性空间维线性空间V的某组基下的矩阵为的某组基下的矩阵为A，则，则即特征子空间即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组的维数等于齐次线性方程组(* *)全部线性无关的特征向量就是全部线性无关的特征向量就是 的一组基的一组基. 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量四、特征多项式的有关性质四、特征多项式的有关性质1. 设设 则则A的特征多项式的特征多项式由多项式根与系数的关系还可得由多项式根与系数的关系还可得 A的的全体特征值的积全体特征值的积 A的全体特征值的和的全体特征值的和称之为称之为A的迹的迹,记作记作trA. 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量证证:设设 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵X，使得使得2. (定理定理6) 相似矩相似矩阵阵具有相同的特征多具有相同的特征多项项式式. .于是，于是， 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量注：注： 有相同特征多项式的矩阵未必相似有相同特征多项式的矩阵未必相似. .成是成是矩阵矩阵A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.它们的特征多项式都是，但它们的特征多项式都是，但A、B不相似不相似.多项式多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说；而线性变换的特征值与特征向量有时也说因此因此,矩阵矩阵A的特征多项式也说成是的特征多项式也说成是线性变换的特征线性变换的特征 由由定理定理6线性变换的特征值与基的选择无关线性变换的特征值与基的选择无关.如如 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量设设 为为A的特征多项式的特征多项式, , 则则证证: 设设 是是 的伴随矩阵，则的伴随矩阵，则3. 哈密尔顿哈密尔顿凯莱凯莱（HamiltonCaylayHamiltonCaylay）定理定理都是都是的多项式，且其次数不超过的多项式，且其次数不超过n1. 又的元素是的各个代数余子式，它们又的元素是的各个代数余子式，它们因此，可写成因此，可写成零矩阵零矩阵 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量其中，都是其中，都是 的数字矩阵的数字矩阵.再设再设则，则，而而比较比较、两式，得两式，得 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量以依次右乘以依次右乘的第一式、第二式、的第一式、第二式、第、第n式、第式、第n1 1式，得式，得 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量把把的的n1 1个式子加起来，即得个式子加起来，即得4. 设设为为有限有限维线维线性空性空间间V V的的线线性性变换变换，是，是的特征多的特征多项项式，式，则则零变换零变换 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量例例3. 设求设求解：解：A的特征多项式的特征多项式用去除得用去除得 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量练习练习1：已知为已知为A的一个特征值，则的一个特征值，则（1） 必有一个特征值为必有一个特征值为;（2） 必有一个特征值为必有一个特征值为;（3）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为;（4）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为.（5） 则则 必有一个特征值为必有一个特征值为. 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量行列式行列式 .练习练习2：已知已知3 3阶方阵阶方阵A的特征值为：的特征值为：1 1、1 1、2 2，则则矩矩阵阵的特征的特征值为值为：， 7.47.4 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量