11仙女座星系星系中的椭圆星系中的椭圆装饰中的椭圆装饰中的椭圆课题：椭圆课题：椭圆-第第1课时课时 椭圆极其标准方程椭圆极其标准方程1取一条细绳，取一条细绳，2把它的两端固定在板把它的两端固定在板上的两点上的两点F1、F23用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细把细绳拉紧，在板上慢慢移绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形动看看画出的图形观察做图过程：观察做图过程：1绳长应绳长应当大于当大于F1、F2之间的距离。之间的距离。2由于绳长固定，所以由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。到两个定点的距离和也固定。F1F2演示演示问题1：你会比较规范的画椭圆吗？请利用手中的工具进行尝试 问题2： 你能说出椭圆是满足什么条件的点的轨迹吗？ 问题问题3：满足几个条件的动：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？点的轨迹叫做椭圆？1平面上平面上-这是大前提这是大前提2动点动点 M 到两个定点到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数的距离之和是常数满足这一条件的点的轨迹一满足这一条件的点的轨迹一定都是椭圆吗？定都是椭圆吗？ 2中的常数要满足什么条件中的常数要满足什么条件？（大于两定点的距离）（大于两定点的距离）F1F2M1、椭圆的定义、椭圆的定义： 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常数常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。M几点说明：几点说明：1、F1、F2是是两个不同的定点两个不同的定点；2、M是椭圆上任意一点是椭圆上任意一点，且，且| |MFMF1 1| + |MF| + |MF2 2| = | = 常数常数；3、通常这个通常这个常数常数记为记为2a，焦距焦距记为记为2c，且且2a2c（？）；（？）；4、如果如果2a = 2c，则则M点的点的轨迹是线段轨迹是线段F1F2.5、如果如果2a 0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a，则则F1,F2的坐标别的坐标别是是( c,0)(c,0) 。yoxMF1F2（问题（问题7：下面怎样化简？怎样去根号？：下面怎样化简？怎样去根号？oyx由椭圆的定义，椭圆就是集合由椭圆的定义，椭圆就是集合两边再平方，得整理得问题8：这种形式我们认为还不够简洁，因为2a2c,即ac,所以a2-c20即是一个正常数，那么你认为如何设这个正常数更合理呢？（a,c在图中表示什么？改变动点P(x,y)的位置观察在图中的几何意义）生：使点P运动到短轴端点时，此时a,c恰为一直角三角形的斜边和直角边，因此令a2c2b2比较合理， 两边再平方，得整理得两边除以两边除以 得得-这就是椭圆方这就是椭圆方程程二二椭圆的标准方程椭圆的标准方程1它表示：它表示：1椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴轴 2焦点是焦点是F1(-c，0)、 F2(c，0) 3 c2= a2 - b2 F1F2M0xy二二椭圆的标准方程椭圆的标准方程2它表示：它表示：1椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴轴 2焦点是焦点是F1(0，-c)、 F2(0，c) 3c2= a2 - b2 F1F2M0xy问题问题8：焦点在：焦点在x轴和焦点在轴和焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆标准方程有何共同点和不同点？标准方程有何共同点和不同点？ 总结规律:共同点：左边是平方和，右边是1。不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大焦点在y轴的椭圆项分母较大 OXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0 , c)椭圆的标准方程的再认识：（2）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭椭圆圆的的标标准准方方程程中中三三个个参参数数a、b、c一一组组三三角角勾勾股股数数ac0,ab0， a，b及及c有着特定的含义，满足有着特定的含义，满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（5）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上。哪一个轴上。（1）椭圆的标准方程有焦点在）椭圆的标准方程有焦点在x轴和在轴和在y轴两种轴两种椭圆的标准方程椭圆的标准方程 12yoFFMxy xoF2F1M定定 义义图图 形形方方 程程焦焦 点点F(cF(c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,c之间之间的关系的关系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2|MF1|+|MF2|=2a小小 结：结：例例1、填空：、填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：焦点坐标为：_焦距等于焦距等于_;若若C为椭圆上任意一点，并且为椭圆上任意一点，并且|CF1|=2,则则|CF2|= 若若CD为过左焦点为过左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD例题讲解例题讲解8(2)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐焦点坐标为：标为：_焦距等于焦距等于_;曲曲线上一点线上一点P到左焦点到左焦点F1的距离为的距离为3，则点，则点P到到另一个焦点另一个焦点F2的距离等于的距离等于_，则，则 F1PF2的周长为的周长为_21(0,-1)、(0,1)2例例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在焦点在 x 轴轴 (2) a =4，c= ，焦点在焦点在 y 轴上轴上 (3)两个焦点的坐标是（两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2）并且经过点（并且经过点（ -1.5 ，2.5）解解: (1)因为焦点在因为焦点在x轴上轴上,所以设所求方程为所以设所求方程为 a=4, b=1 所求方程为所求方程为(2) 因为焦点在因为焦点在y轴上轴上,所以设所求方程为所以设所求方程为 a=4, b=1 所求方程为所求方程为例例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (3)两个焦点的坐标是两个焦点的坐标是F1（ 0 ，-2）和和 F2（ 0 ，2）并且经过点并且经过点P（ -1.5 ，2.5）(3) 因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上轴上,所以设它的标准所以设它的标准方程为方程为 由椭由椭圆的定义知圆的定义知,所以所求椭圆方程为所以所求椭圆方程为 课堂练习：下列方程是否表示椭圆？若是则课堂练习：下列方程是否表示椭圆？若是则 判定判定下列椭圆的焦点在何轴？并指明下列椭圆的焦点在何轴？并指明a2、b2，写出焦点写出焦点坐标坐标判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上。焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上。提高题提高题再改动呢再改动呢？