二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性第八节第八节 初等函数的连续性、闭初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质例如例如,一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性解解解解同理可得同理可得例如例如,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.（已经证明）（已经证明）三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些点的邻域内没有定义这些点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法-代入法代入法.解解解解解解四四 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 例如例如,1 最大值和最小值定理最大值和最小值定理 定定理理7(7(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函数一定有最大值和最小值函数一定有最大值和最小值. .注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立. 定定理理8(8(有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界. .证明证明 2 介值定理介值定理 几何解释几何解释: 几何解释几何解释:证明证明由零点定理由零点定理,MBAmab 证明证明由零点定理由零点定理, 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于在闭区间上连续的函数必取得介于最大值最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. . 证明证明由零点定理由零点定理, 证明证明令令于是结论成立于是结论成立.