全微分的定义全微分的定义可微的条件可微的条件小结小结 思考题思考题 作业作业total differentiation第三节第三节 全全 微微 分分第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用1函数的变化情况函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时现在来讨论当各个自变量同时变化时全全 微微 分分2先来介绍先来介绍全增量全增量的概念的概念为了引进全微分的定义为了引进全微分的定义,全增量全增量. .域内域内有定义有定义,函数取得的增量函数取得的增量全增量全增量. .全全 微微 分分一、全微分的定义一、全微分的定义3全微分的定义全微分的定义处的处的全微分全微分. .全全 微微 分分可表示为可表示为可微分可微分, ,在点在点则称则称称为函数称为函数记作记作即即函数若在某平面区域函数若在某平面区域D内处处可微时内处处可微时, 则称则称可微函数可微函数. .这函数在这函数在D内的内的而不依赖于而不依赖于4 可微与偏导数存在有何关系呢？可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数微分系数注注全微分全微分有类似一元函数微分的有类似一元函数微分的A=? B=?两个性质两个性质: :全全 微微 分分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的的线性函数线性函数;高阶无穷小高阶无穷小. .51. 可微分的必要条件可微分的必要条件 ( 可微必可导可微必可导).定理定理1 1( (可微必要条件可微必要条件) )如果函数如果函数可可微分微分,且函数且函数的全微分为的全微分为全全 微微 分分二、可微的条件二、可微的条件6证证总成立总成立,同理可得同理可得上式仍上式仍成立成立, 此时此时的某个邻域的某个邻域如果函数如果函数可可微分微分,全全 微微 分分可可微分微分,7都不能保证都不能保证函数在该点连续函数在该点连续. 多元函数多元函数在某点在某点可微可微是否保证是否保证 事实上事实上,显然显然,答答:由全微分的定义有由全微分的定义有可得可得多元函数可微必连续多元函数可微必连续 连续的定义连续的定义不连续不连续的函数的函数上一节指出上一节指出,多元函数多元函数在某点各个在某点各个偏导数偏导数即使都即使都存在存在,函数在该点连续函数在该点连续如果函数如果函数可可微分微分,则函数在该点连续则函数在该点连续.一定是一定是不可微不可微的的.全全 微微 分分8多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在如，如，下面举例说明下面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导数二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在回忆回忆:一元函数的可导与可微的关系一元函数的可导与可微的关系?但两个偏导数都存在函数也不一定可微但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得由偏导数定义可求得)由定理由定理1知知全全 微微 分分9则则说明它不能随着说明它不能随着而趋于而趋于0,因此因此,如果考虑点如果考虑点沿直线沿直线趋近于趋近于全全 微微 分分10说明说明 各偏导数存在只是全微分存在各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件的必要条件而不是充分条件. 这也是这也是一元函数一元函数推广到推广到多元函数多元函数出现的又出现的又函数是函数是可微分可微分的的. 多元函数的各偏导数存在并不能保证多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在全微分存在.一个原则一个原则区别区别.现再假定函数的现再假定函数的则可证明则可证明全全 微微 分分各个偏导数连续各个偏导数连续,112. 可微分的充分条件可微分的充分条件 证证在该点的某一邻域内必存在在该点的某一邻域内必存在的意思的意思.定理定理2 2(今后常这样理解今后常这样理解).用拉氏定理用拉氏定理(微分充分条件微分充分条件)假定偏导数在点假定偏导数在点P(x,y)连续连续, 就含有就含有偏导数偏导数全全 微微 分分偏导数偏导数12全全 微微 分分13同理同理全全 微微 分分14在原点在原点(0,0)可微可微.并非必要条件并非必要条件.如如事实上事实上,注注 定理定理2的条件的条件 (即两个偏导数即两个偏导数在点在点连续连续)可微的充分可微的充分全全 微微 分分仅是函数仅是函数在点在点条件条件,同样同样, 15全全 微微 分分在原点在原点(0,0)可微可微.于是于是,16即函数即函数f(x,y)在原点在原点(0,0)可微可微. 但是但是,事实上事实上,偏导数在原点偏导数在原点(0,0)不连续不连续.全全 微微 分分 所以所以,特别是特别是 不存在不存在.即即fx(x,y)在原点在原点(0,0)不连不连续续.极限极限fy(x,y)在原点在原点(0,0)也不连也不连续续.同理可证同理可证,函数在一点可微函数在一点可微,此题说明此题说明:在这点偏导数不一定连续在这点偏导数不一定连续.17记全微分为记全微分为 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况.一元函数的许多微分性质一元函数的许多微分性质,(一阶一阶)全微分形式的不变性全微分形式的不变性.同样有同样有:习惯上习惯上,称为二元函数的微分符合称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理这里仍适用这里仍适用.全全 微微 分分如三元函数如三元函数则则18解解全全 微微 分分例例 计算函数计算函数在点在点的全微分的全微分.所以所以19解解例例全全 微微 分分20答案答案全全 微微 分分21全全 微微 分分解解例例试比较试比较的值的值. .22全全 微微 分分解解例例 计算计算的近似值的近似值.利用函数利用函数在点在点处的可微性处的可微性, 可得可得23全全 微微 分分 2002年考研数学一年考研数学一, 3分分考虑二元函数考虑二元函数 f (x, y)的下面的下面4条性质条性质: 选择题选择题 f (x, y)在点在点(x0 , y0)处连续处连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续处的两个偏导数连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处可微处可微,f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在处的两个偏导数存在.若用若用“”表示可由性质表示可由性质P推出性质推出性质Q,则有则有(A) . (B) . (C) . (D) . 24上海交大考题上海交大考题(95级级)连续连续.D全全 微微 分分结论结论不正确不正确的是的是( ).都都存在存在,25上海交大考题上海交大考题(98级级)D全全 微微 分分26上海交大考题上海交大考题(93级级)上海交大考题上海交大考题(96级级)全全 微微 分分27上海交大考题上海交大考题(97级级)是非题是非题(非非)事实上事实上,全全 微微 分分28全微分的定义全微分的定义全微分的计算全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意：与一元函数有很大的区别注意：与一元函数有很大的区别)全全 微微 分分三、小结三、小结可微分的必要条件、可微分的必要条件、 可微分的充分条件可微分的充分条件29 对对一元函数一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可微 可导可导 连续连续 有极限有极限 对对多元函数多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续偏导连续 可微可微 连续连续 有极限有极限 有偏导有偏导全全 微微 分分30全全 微微 分分思考题思考题1全微分公式全微分公式恒成立吗恒成立吗?不一定不一定.考虑函数考虑函数31全全 微微 分分某城市的大气污染指数某城市的大气污染指数 P 取决于两个因素取决于两个因素,即空气中固体废物的数量即空气中固体废物的数量 x 和空气中有害气体和空气中有害气体的数量的数量 y .它们之间的关系可表示成它们之间的关系可表示成(1) 计计算算和和并说明它们的实际并说明它们的实际意义意义.(2) 该城市空气污染的情况怎样该城市空气污染的情况怎样?(3) 城市空气污染的城市空气污染的状况是否有所改善状况是否有所改善.思考题思考题232作业作业习题习题8-38-3(24(24页页) ) 1.(3) (4) 2. 3. 5. 补充补充 (A) 偏导数不存在偏导数不存在;(B) 不可微不可微;(C) 偏导数存在且连续偏导数存在且连续;(D) 可微可微.全全 微微 分分(选择正确答案选择正确答案)33