第二章误差的基本性质与处理第二章误差的基本性质与处理 任何测量总是不可避免地存在误差，为了提任何测量总是不可避免地存在误差，为了提高测量精度，必须尽可能消除或减小误差，因高测量精度，必须尽可能消除或减小误差，因此有必要对各种误差的性质、出现规律、产生此有必要对各种误差的性质、出现规律、产生原因、发现与消除或减小它们的主要方法以及原因、发现与消除或减小它们的主要方法以及测量结果的评定等方面，作进一步的分析。测量结果的评定等方面，作进一步的分析。第一节第一节随机误差随机误差 随随机机误误差差是是在在测测量量过过程程中中，因因存存在在许许多多随随机机因因素素对对测测量量造造成成干干扰扰，从从而而使使测测得得值值带带有有大大小小和和方方向向都都难难于于预测的误差。预测的误差。对对测测量量数数据据中中的的系系统统误误差差进进行行处处理理后后，仍仍残残留留微微小小的的系系统统误误差差，这这些些微微小小的的系系统统误误差差已已具具有有随随机机误误差差的的性性质质，也也可可把把这这种种残残存存的的系系统统误误差差当当作作随随机机误误差差来来考考虑。虑。 由由于于测测量量误误差差具具有有普普遍遍存存在在的的性性质质，决决定定了了任任何何测测量都存在随机误差。量都存在随机误差。研究研究随机误差随机误差的意义的意义 研研究究随随机机误误差差不不仅仅是是为为了了能能对对测测量量结结果果中中的的随随机机误误差差做做出出科科学学的的评评定定，而而且且是是为为了了能能够够指指导导人人们们合合理理安安排排测测量量方方案案，设设法法减减小小随随机机误误差差对对测测量量结结果果的的影影响响，充充分分发发挥挥现现有有仪仪表表的的测测量量精精度度，从从而而能能对对测测量量所所得得救救据据进行正确处理，使进行的测量达到预期的目的。进行正确处理，使进行的测量达到预期的目的。 随随机机误误差差的的出出现现没没有有确确定定的的规规律律，但但就就误误差差的的总总体体而言，却具有统计规律性。而言，却具有统计规律性。 随机误差可以用概率论中所研究的随机变量来描述，随机误差可以用概率论中所研究的随机变量来描述，从而解决了对随机误差的研究方法。因此，所得结论从而解决了对随机误差的研究方法。因此，所得结论只能是估计出随机误差的变化范围，而不能得到其确只能是估计出随机误差的变化范围，而不能得到其确切的具体值，这在实用中是能够满足需要的。切的具体值，这在实用中是能够满足需要的。 一、随机误差的产生原因一、随机误差的产生原因随随机机误误差差是是由由很很多多暂暂时时未未能能掌掌握握或或不不便便掌掌握握的的微微小小因素所构成，主要有以下几方面：因素所构成，主要有以下几方面：(1)测测量量装装置置方方面面的的因因素素零零部部件件配配合合的的不不稳稳定定性性、零零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。(2)环环境境方方面面的的因因素素温温度度的的微微小小波波动动、湿湿度度与与气气压压的的微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等。微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等。(3)人员方面的因素人员方面的因素瞄准、读数的不稳定等。瞄准、读数的不稳定等。二、正态分布二、正态分布 在满足一定要求的情况下，把随机误差看成是服从在满足一定要求的情况下，把随机误差看成是服从正态分布规律，是具有实用性和普遍性的。正态分布规律，是具有实用性和普遍性的。 正态分布只是随机误差分布的一种近似概括，其近正态分布只是随机误差分布的一种近似概括，其近似程度取决于实际分布与正态分布的差异。似程度取决于实际分布与正态分布的差异。 完全严格地服从正态分布的随机误差是没有的，而完全严格地服从正态分布的随机误差是没有的，而近似符合正态分布的随机误差占大多数，也确实有些近似符合正态分布的随机误差占大多数，也确实有些随机误差不服从正态分布。随机误差不服从正态分布。正态分布规律是研究随机误差正态分布规律是研究随机误差的理论基础：的理论基础： (1)通过实践的检验，大量观测值的随机误差都服从正通过实践的检验，大量观测值的随机误差都服从正态分布。态分布。(2) 对于服从任何分布的独立的随机变量，当其数量对于服从任何分布的独立的随机变量，当其数量足够多时，这些随机变量之和近似地服从正态分布，足够多时，这些随机变量之和近似地服从正态分布，随机量越多则越近似。随机量越多则越近似。(3)整个经典误差理论是以正态分布为基础理论发展起整个经典误差理论是以正态分布为基础理论发展起来的。正态分布也是研究其它分布的基础。来的。正态分布也是研究其它分布的基础。(4)有些测量，尤其测量次数较少时，测量误差服从什有些测量，尤其测量次数较少时，测量误差服从什么分布规律尚不清楚，描述其统计规律的数学表达式么分布规律尚不清楚，描述其统计规律的数学表达式更难于找到，在这种情况下可用正态分布来代替。更难于找到，在这种情况下可用正态分布来代替。随机误差的几个特征随机误差的几个特征若若测测量量列列中中不不包包含含系系统统误误差差和和粗粗大大误误差差，则则该该测测量量列列中中的随机误差一般具有以下几个特征：的随机误差一般具有以下几个特征：绝绝对对值值相相等等的的正正误误差差与与负负误误差差出出现现的的次次数数相相等等，这这称称为为误差的对称性。误差的对称性。绝绝对对值值小小的的误误差差比比绝绝对对值值大大的的误误差差出出现现的的次次数数多多，这这称称为误差的单峰性。为误差的单峰性。在在一一定定的的测测量量条条件件下下，随随机机误误差差的的绝绝对对值值不不会会超超过过一一定定界限，这称为误差的有界性。界限，这称为误差的有界性。随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的抵偿性。这称为误差的抵偿性。 服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征。由于多数随机误差都服从正态分布，因而正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。 正态分布的分布密度正态分布的分布密度f()与分布函数与分布函数F()式中式中标准差标准差(或均方根误差或均方根误差)；e自然对数的底，其值为自然对数的底，其值为2.7182（2-2）（2-3）数学期望数学期望（2-4）（2-5）方差方差平均误差平均误差 或然误差或然误差 （2-6）（2-7）正态分布曲线正态分布曲线 值为曲线上拐点值为曲线上拐点A的横坐标，的横坐标，值为曲线右半部面积重心值为曲线右半部面积重心B的的横坐标，横坐标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。测量值精度参数的意义测量值精度参数的意义 若评价一组测量值的精确度高低，就可利用极限误差若评价一组测量值的精确度高低，就可利用极限误差lim，标准误差标准误差，算术平均误差算术平均误差或然误差或然误差这些参数做置信这些参数做置信限，故统称它们为测量列限，故统称它们为测量列(一组测量值一组测量值)精度参数。对同一精度参数。对同一组测量值的不同精度参数若按数值大小组测量值的不同精度参数若按数值大小(取相同计量单位取相同计量单位)进行排列，则有进行排列，则有相应的置信概率为相应的置信概率为 对对不不同同测测量量列列比比较较其其精精度度时时，则则取取相相同同置置信信概概率率所所对对应应的的精精度参数进行比较，数值大者精度低，数值小者精度高。度参数进行比较，数值大者精度低，数值小者精度高。由于由于lim，与与存在固定、简单的比例关系，它们所具有存在固定、简单的比例关系，它们所具有的性质是一样的，只是相应的置信概率大小不同。因此，在讨的性质是一样的，只是相应的置信概率大小不同。因此，在讨论中就以最常用的标准误差论中就以最常用的标准误差为测量列精度参数的代表。为测量列精度参数的代表。 三、算术平均值三、算术平均值设设l1，l2，ln为为n次测量所得的值，则算术平均值为次测量所得的值，则算术平均值为（2-8） 算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值必然趋近于真值L0。因此，在数学上又称之为最大或然值。 下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。 即 由前面正态分布随机误差的第四特征可知 ，因此 由此可得出结论：由此可得出结论： 如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。 但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：(2-9) 此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，计算每个测得值 与 的差值：(2-10) 式中的 为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。 若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量 ，即满足无偏性、有效性、一致性，并满足最小二乘法原理；在正态分布条件下满足最大似然原理。算术平均值近似地作为被测量的真值算术平均值近似地作为被测量的真值 由由概率论可知，如果能够对某一量进行无限多次测量，率论可知，如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响甚微，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响甚微，可予忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值可予忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值被认为是最接近于真值的理论依据。被认为是最接近于真值的理论依据。 一般情况下，由于实际上都是有限次测量，我们只能一般情况下，由于实际上都是有限次测量，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值，根据误差定义把算术平均值近似地作为被测量的真值，根据误差定义则有则有式中 li第i个测得值，i1，2，n ili 的残余误差(简称残差)。 （2-9）算术平均值简便计算法算术平均值简便计算法 如果测量列中的测量次数和每个测量数据的位数皆如果测量列中的测量次数和每个测量数据的位数皆较多时，可按以下方法计算算术平均值较多时，可按以下方法计算算术平均值 。任任选选一一个个接接近近所所有有测测得得值值的的数数l l0 0作作为为参参考考值值计计算算出每个测得值出每个测得值l li i，与与l l0 0的差值的差值因因则有式中的 为简单数值，很容易计算。 （2-10）例例21测量某物理量测量某物理量10次，得到结果见表次，得到结果见表21，求算术平均值。，求算术平均值。表表2-1算术平均值的计算校核算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。得的残余误差代数和性质来校核。 理论上：理论上： 实际应用：实际应用：当当n n为偶数时，有为偶数时，有 当当n为奇数时，有为奇数时，有 式中的式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。个单位。（2-11）例例22用例用例21数据，对计算结果进行校核。数据，对计算结果进行校核。=1879.64n=10因n为偶数， 校核计算 结论结论：计算结果正确。 四、测量的标准差四、测量的标准差1测量列中单次测量的标准差测量列中单次测量的标准差 标准差标准差的数值小，该测量列相应小的误差就占优势，任一单次的数值小，该测量列相应小的误差就占优势，任一单次测得值对算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大，即测量测得值对算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大，即测量精度高精度高(如图中的第一条曲线如图中的第一条曲线)；反之，测量精度就低；反之，测量精度就低(如图中的第如图中的第三条曲线三条曲线)。因此单次测量的标准差。因此单次测量的标准差是表征同一被测量的是表征同一被测量的n次测次测量的测得值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的量的测得值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。评定标准。标准差不同的测量列标准差不同的测量列（123）关于标准差关于标准差与测得值的概念与测得值的概念 标准差标准差不是测量列中任何一个具体测得值的随机误不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差，差，的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差的随机误差，一般都不等于一般都不等于，但却认为这一系列测但却认为这一系列测量中所有测得值都属同样一个标准差量中所有测得值都属同样一个标准差的概率分布。的概率分布。 在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差度测量，其标准差也不相同。也不相同。等精度测量列中的单次测量的标准差计算：等精度测量列中的单次测量的标准差计算： 式中式中n测量次数测量次数(应充分大应充分大)；i测得值与被测量的真值之差测得值与被测量的真值之差 当被测量的真值为未知时，按式当被测量的真值为未知时，按式(212)不能求得不能求得标准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残余标准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残余误差误差vi代替真误差，而得到标准差的估计值。代替真误差，而得到标准差的估计值。 （2-12）用残余误差用残余误差vi代替真误差的标准差的估计值代替真误差的标准差的估计值根据定义，有根据定义，有真误差真误差残余误差残余误差令令则有则有（2-14）将式将式(214)对应项相加得对应项相加得 故有故有（2-15）若将式若将式(214)平方后再相加则得平方后再相加则得 （2-16）将式将式(215)平方有平方有当当n适当大时，适当大时，趋近于零，故可忽略趋近于零，故可忽略。 故由式故由式(216)得得 （2-17）由式由式(212)可知可知 代入式代入式(217)得得 式（2-18）称为贝塞尔(Bessel)公式 (2-18)用残余误差表示用残余误差表示的的或然误差或然误差和平均误差和平均误差（2-19）（2-20）2测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。结果，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。取方差取方差 故有故有 即即（2-21）与测量次数与测量次数n的关系的关系式（2-21）的意义 （1）在在n次次测测量量的的等等精精度度测测量量列列中中，算算术术平平均均值值的的标标准准差差为为单单次次测测量量标标准准差差的的，当当测测量量次次数数n愈愈大大时时算算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。（2）增增加加测测量量次次数数，可可以以提提高高测测量量精精度度，但但测测量量精精度度是是与与测测量量次次数数的的平平方方根根成成反反比比，因因此此要要显显著著地地提提高高调量精度，必须付出较大的劳动。调量精度，必须付出较大的劳动。（3）一一定定时时，当当n10以以后后己己减减少少得得非非常常缓缓慢慢，因因此一般情况下取此一般情况下取n10以内较为经济合理。以内较为经济合理。 总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。选取适当的测量次数。用残余误差表示的或然误差用残余误差表示的或然误差R和平均误差和平均误差T（2-24） （2-25） 例例24用游标卡尺对某一尺寸测量用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误次，假定已消除系统误差和租大误差，得到数据如下差和租大误差，得到数据如下(单位为单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08求算术平均值及其标准差。求算术平均值及其标准差。将算术平均值的计算和校核结果列于表将算术平均值的计算和校核结果列于表根据上述各个误差计算公式可得根据上述各个误差计算公式可得3标准差的其他计算法标准差的其他计算法 除了贝塞尔公式外，计算标准差还有别捷尔斯法、除了贝塞尔公式外，计算标准差还有别捷尔斯法、极差法及最大误差法等。极差法及最大误差法等。（1）别捷尔斯法（）别捷尔斯法（Peters） 由贝塞尔公式由贝塞尔公式(218)得得此式近似为此式近似为 则平均误差则平均误差故有故有算术平均值的标准差为算术平均值的标准差为 （2-26）（2-27）例例2-4的例子用两种方法计算结果比较的例子用两种方法计算结果比较贝塞尔法 = 0.0303 =0.0096 = 0.0330 =0.0104别捷尔斯法 (2)极差法极差法 用贝塞尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求用贝塞尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可算过程比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可用极差法。用极差法。 若等精度多次测量测得值服从正态分布，在其中选若等精度多次测量测得值服从正态分布，在其中选取最大值取最大值x xmaxmax与最小值与最小值x xminmin，则两者之差称为极差则两者之差称为极差（2-28） 根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为 （2-29） 故可得故可得的无偏估计值，若仍以的无偏估计值，若仍以表示，则有表示，则有因因（2-30） 式中dn的数值见表24。 极差法选可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在n10时均可采用。 （3）最大误差法）最大误差法 在有些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规定精确度的用来代替真值使用的量值(称为实际值或约定真值)，因而能够算出随机误差i，取其中绝对值最大的一个值 ，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式 （2-32） 一般情况下，被测量的真值为未知。不能按式(231)求标准差，应按最大残余误差进行计算，其关系式为 （2-31）式(231)和式(232)中两系数Kn、Kn的倒数见表25。 最大误差法的特点最大误差法的特点最最大大误误差差法法简简单单、迅迅速速、方方便便，容容易易掌掌握握，因因而而有有广泛用途。当广泛用途。当n10时，最大误差法具有一定的精度。时，最大误差法具有一定的精度。在代价较高的实验中在代价较高的实验中(如破坏性实验如破坏性实验)，往往只进行一，往往只进行一次实验，此时贝塞尔公式成为次实验，此时贝塞尔公式成为0/0形式而无法计算标准形式而无法计算标准差，在这种情况下，又特别需要尽可能精确地估算其差，在这种情况下，又特别需要尽可能精确地估算其精度，因而最大误差法就显得特别有用。精度，因而最大误差法就显得特别有用。例例2-4的例子各种方法计算结果比较的例子各种方法计算结果比较贝塞尔法贝塞尔法别捷尔斯法别捷尔斯法 = 0.0303 =0.0096 = 0.0330 =0.0104 极差法极差法 最大误差最大误差 = 0.0292 =0.0092 = 0.0256 =0.0081 小小 结结贝贝塞塞尔尔法法是是由由残残余余误误差差的的平平方方和和求求出出单单次次测测量量的的标标准准差和算术平均值的标准差。差和算术平均值的标准差。捷捷尔尔斯斯法法是是由由残残余余误误差差的的绝绝对对值值之之和和求求出出单单次次测测量量的的标准差和算术平均值的标准差。标准差和算术平均值的标准差。极极差差法法选选取取最最大大值值xmax与与最最小小值值xmin，可可简简单单迅迅速速算算出标准差，并具有一定精度，一般在出标准差，并具有一定精度，一般在n10时均可采用。时均可采用。最大误差法选取最大残余误差可简单迅速算出标准差，最大误差法选取最大残余误差可简单迅速算出标准差，当当n10时，最大误差法具有一定的精度。时，最大误差法具有一定的精度。五、测量的极限误差五、测量的极限误差 测量的极限误差是统计学上的极端误差，测量结果(单次测量或测量列的算术平均值)的误差不超过该极端误差的概率为P，并使差值(1P)可予忽略。 （1）单次测量的极限误差）单次测量的极限误差 测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时，根据概率论知识，可求得单次测量的极限误差。 由概率积分可知，随机误差在由概率积分可知，随机误差在至至范围范围内的概率为内的概率为 引入新的变量引入新的变量t 概率积分为概率积分为 （2-33）（2-34）不同不同t值的概率值的概率 由表可见，随着t的增大，超出的概率减小得很快。 当t2，即2时，在22次测量中只有1次的误差绝对值超出2范围； 当t3，即3时，在370次测量中只有一次误差绝对值超出3范围。 单次测量的极限误差单次测量的极限误差 由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为绝对值大于此可以认为绝对值大于3的误差是不可能出现的，通的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即常把这个误差称为单次测量的极限误差，即 (235) 当t3时，对应的概率P9973。 在实际测量中，有时也可取其他在实际测量中，有时也可取其他t值来表。值来表。 一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示下式表示 (236) （2）算术平均值的极限误差）算术平均值的极限误差同样可得测量列算术平均值的极限误差表达式为同样可得测量列算术平均值的极限误差表达式为通常取t3，则 （2-37）（2-38）有关说明有关说明：实实际际测测量量中中，有有时时也也可可取取其其他他t值值来来表表示示算算术术平平均均值值的的极极限限误误差差。但但当当测测量量列列的的测测量量次次数数较较少少时时，应应按按“学学生生氏氏”分分布布或或称称t分分布布来来计计算算测量列算术平均值的极限误差。测量列算术平均值的极限误差。对于同一个测量列，按正态分布和对于同一个测量列，按正态分布和t分布分别计算时，即使置信概分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不相同，因而求得的算术平均值极率的取值相同，但由于置信系数不相同，因而求得的算术平均值极限误差也不相同。限误差也不相同。 计算举例计算举例对某量进行对某量进行6次测量，测得数据如下：次测量，测得数据如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46求算术平均值及其极限误差。求算术平均值及其极限误差。解：算术平均值 标准差 按按t分布计算算术平均值的极限误差，查表取分布计算算术平均值的极限误差，查表取=0.01按正态分布计算，同样取按正态分布计算，同样取=0.01（P=0.99） =2.580.019=0.049 由此可见，当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显差别。故当测量次数较少，应按t分布计算算术平均值的极限误差。 关于确定测量次数的方法讨论关于确定测量次数的方法讨论 在精密测量中，为了减小随机误差对测量结果的影响，在精密测量中，为了减小随机误差对测量结果的影响，要求进行多次测量。作为测量结果的算术平均值，也会要求进行多次测量。作为测量结果的算术平均值，也会随测量次数随测量次数n的增加而愈接近被测量的真值的增加而愈接近被测量的真值A0，其相应其相应的精度参数也会相应地缩小。但测量次数增加，进行测的精度参数也会相应地缩小。但测量次数增加，进行测量所付的代价也会增大。因此，正确地确定所需测量的量所付的代价也会增大。因此，正确地确定所需测量的次数，乃是进行精密测量首先要解决的实际问题，也是次数，乃是进行精密测量首先要解决的实际问题，也是测量工作者非常感兴趣的问题。测量工作者非常感兴趣的问题。 若想得出最佳测量次数，所要考虑的问题比较复杂。若想得出最佳测量次数，所要考虑的问题比较复杂。为了满足测量的需要，既要能充分利用所用测量仪表的为了满足测量的需要，既要能充分利用所用测量仪表的精度又要付出比较合适的代价，可以从不同角度来分精度又要付出比较合适的代价，可以从不同角度来分析所需测量次数析所需测量次数n的多少，经过综合分析后确定最佳测的多少，经过综合分析后确定最佳测量次数。量次数。1根据数理统计所需子样容量来确定测量次数根据数理统计所需子样容量来确定测量次数 在实际测量中得到的测量列，相当于在一个无穷大在实际测量中得到的测量列，相当于在一个无穷大的母体中抽取一个子样，子样容量的大小就是测量次的母体中抽取一个子样，子样容量的大小就是测量次数数n。 根据子样得到的信息，对母体统计体规律根据子样得到的信息，对母体统计体规律(或总体统或总体统计规律计规律)的某些特征做出统计判断，而子样的某些特征做出统计判断，而子样(样本样本)容量容量的大小就直接影响到判断的可靠性。的大小就直接影响到判断的可靠性。 通常认为，检验时要求子样容量n50。否则就要依据小子样理论，求出其统计量的确切分布来研究统计性质的问题。 当子样容量小于50时得出的一些结论，其可靠性值得怀疑,只能做为分析问题的参考。但在进行实际测量的过程中，这种提法是值得商榷的，因为一般精密测量次数n达到50次是难于做到的。 2根据测量结果精度参数确定测量次数根据测量结果精度参数确定测量次数 从测量结果精度参数的计算公式可以看出，测量结从测量结果精度参数的计算公式可以看出，测量结果的精度参数会随果的精度参数会随n的增加而减少。的增加而减少。 随随n n的增加值减小，的增加值减小， 呈非线性关系。呈非线性关系。 根据曲线根据曲线 n n 的形状可以看出通过增加测量次数的形状可以看出通过增加测量次数来提高测量结果的精度，其测量次数不宜超过来提高测量结果的精度，其测量次数不宜超过1515。 若使测量结果的精度提高一倍，测量次数要增加到4(n4)；着想使测量结果的精度提高一个数量级，即 0.1，则测量次数应增加到100。这样随着n的增加，对进行测量所付出的代价与得到的好处是不相称的。 3根据求得近似值的置信度来确定测量次数根据求得近似值的置信度来确定测量次数 根据小子样分布的理论，而不是用正态分布作近似根据小子样分布的理论，而不是用正态分布作近似的研究，当的研究，当n10时，其置信概率时，其置信概率P0.90；若若n20，则则P0.99，其置信度已很高了，因此，从置信概率考其置信度已很高了，因此，从置信概率考虑，测量次数虑，测量次数n取取1020已足够了。已足够了。 4根据系统误差及粗大误差存在来考虑测量次数根据系统误差及粗大误差存在来考虑测量次数确确定定测测量量次次数数须须要要考考虑虑到到系系统统误误差差的的存存在在，对对于于恒恒定定系系统统误误差差不不会会因因测测量量次次数数的的不不同同而而有有所所改改变变，对对于于累累进进性性系系统统误误差差会会因因测测量量次次数数的的增增加加而而加加大大。在在系系统统误误差差与与随随机机误误差差并并存存的的情情况况下下，随随着着测测量量次次数数的的增增加加，使使随随机机误误差差对对测测量量结结果果的的影影响响消消弱弱到到近近于于或或小小于于系系统统误误差差对对测测量量结结果果的的影影响响以以后后，再再继继续续增增加加测测量量次次数数，对对测测量量是是无无益的。益的。粗粗大大误误差差的的存存在在会会严严重重歪歪曲曲测测得得值值，使使它它不不能能反反映映被被测量的情况，从而使测量失去意义。测量的情况，从而使测量失去意义。 测量经验指出，严格认真地进行测量经验指出，严格认真地进行23次测量，胜过草次测量，胜过草率地进行多次测量。因为随着测量次数的增加，测量人率地进行多次测量。因为随着测量次数的增加，测量人员难免疲劳，精力不能集中，而造成粗大误差的出现。员难免疲劳，精力不能集中，而造成粗大误差的出现。5.根据实际测量系统采确定测量次数根据实际测量系统采确定测量次数为为了了能能充充分分发发挥挥所所用用测测量量仪仪表表的的现现有有精精度度，确确定定出出合合理理的的实实用用测测量量次次数数，应应当当根根据据实实际际测测量量系系统统采采确确定定测测量量次次数数。实实际际测测量量系系统统，应应包包括括所所采采用用的的测测量量方方法法、所所用用的的测测量量仪仪表表和和进进行行测测量量所所处处的的环环境境。对对于于不不同同的的实实际际测测量量系系统统应应采采用用不不同同的的测测量量次次数数，其其核核心心问问题题还还是是从从测测量量仪仪表表的的灵灵敏敏阈阈来来考考虑虑，因因为为实实际际测测量量系系统统所所能能达达到到的的测测量量精精度度是是与与测测量量仪仪表表的的灵灵敏敏阈阈相相联联系系的的。理理论论上上指指出出，实实际际测测量量系系统统一一定定时时，对对应应于于所获得的测量列精度参数所获得的测量列精度参数就一定。就一定。 在实际测量系统中所用测量仪表的精度越高在实际测量系统中所用测量仪表的精度越高(即即越小越小)，若想充分利用测量仪表所具有的测量精度，要求进行测量的若想充分利用测量仪表所具有的测量精度，要求进行测量的次数就越多，反之要求测量的次数就越少。次数就越多，反之要求测量的次数就越少。 根据上述分析可知测量次数根据上述分析可知测量次数n的取值范围为的取值范围为150之间为宜，之间为宜，但是所需测量次数的确切值，还应根据实际测量系统来决定。但是所需测量次数的确切值，还应根据实际测量系统来决定。关于测量仪器灵敏阈对标准误差的影响的补充讨论关于测量仪器灵敏阈对标准误差的影响的补充讨论 在研究等精度测量列的精度问题中在研究等精度测量列的精度问题中,测量列精度参数是测量列精度参数是根据概率论从理论上推导出来的。确立它的条件可归结为根据概率论从理论上推导出来的。确立它的条件可归结为三条：三条：(1)测量次数要趋于无穷大测量次数要趋于无穷大(n) 因为在处理测量数据时是把测得值和误差值当成连续型随机变量来处理的，并且认为其是服从正态分布的。(2)测量仪器的灵敏度可无限制地提高测量仪器的灵敏度可无限制地提高 理论上指出，连续型随机变量在多么小的区间内都存在无穷多个点，这就要求进行测量的仪表对多么小的差别都能反应出来。(3)测得值中不含系统误差和粗大误差测得值中不含系统误差和粗大误差 如果在测得值中含有系统误差或粗大误差，将使测得值具有确切变化的规律，或使测得值受到严重的歪曲。 在决定测量列精度参数的三个条件中，最重要的一条就在决定测量列精度参数的三个条件中，最重要的一条就是要求测量仪器灵敏阈能无限制地缩小，即仪器的灵敏度是要求测量仪器灵敏阈能无限制地缩小，即仪器的灵敏度能无限制地提高。只有这样，才能使无论多么小的随机误能无限制地提高。只有这样，才能使无论多么小的随机误差，都能在测量中反映出来，才能把随机误差的分布密度差，都能在测量中反映出来，才能把随机误差的分布密度曲线看成是连续光滑的正态分布曲线。但在实际测量中，曲线看成是连续光滑的正态分布曲线。但在实际测量中，任何仪器的灵敏度度是有限的，即存在一定的灵敏阈任何仪器的灵敏度度是有限的，即存在一定的灵敏阈。 当测得值当测得值x处在某一确定值处在某一确定值xa为中心的为中心的区间时区间时(xa1/2xxa+1/2)，仪器反映不出其之间的差别，实际测，仪器反映不出其之间的差别，实际测到的数值皆为到的数值皆为xa。即使测量次数即使测量次数n，由于存在仪器的灵敏阈，由于存在仪器的灵敏阈，也会，也会把实际上存在差别的数值读成同一数值，使测得值不能全把实际上存在差别的数值读成同一数值，使测得值不能全面反映出随机误差的真实情况而出现误差。面反映出随机误差的真实情况而出现误差。谢波尔德修正公式谢波尔德修正公式为了消除因为了消除因存在而造成求得的标准差存在而造成求得的标准差有误差，可有误差，可根据谢波尔德公式进行修正。根据谢波尔德公式进行修正。(修正公式-1)式中：式中：为对为对进行修正后的标准误差；为未考虑进行修正后的标准误差；为未考虑影响影响的标淮误差；的标淮误差；为仪器的灵敏阈。为仪器的灵敏阈。因该式的证明较繁，故不再介绍。在此只用其结论，得因该式的证明较繁，故不再介绍。在此只用其结论，得出是否需要考虑仪器灵敏阈出是否需要考虑仪器灵敏阈影响的标准。影响的标准。 仪器灵敏阈仪器灵敏阈的选择标准（的选择标准（1）一般标准误差值的大小最多只取两位有效数字，根一般标准误差值的大小最多只取两位有效数字，根据有效数字的化整原则，当据有效数字的化整原则，当存在引起的误差小于存在引起的误差小于0.005，这项误差就可以忽略。即，这项误差就可以忽略。即或或代入上修正公式-1 ，得满足此条件，因满足此条件，因引起的误差就可以忽略引起的误差就可以忽略。为便于记忆，可近似看成 (选择公式-1)仪器灵敏阈仪器灵敏阈的选择标准（的选择标准（2）若标注的误差值仅取一位有效数字，则可取：若标注的误差值仅取一位有效数字，则可取：(选择公式-2)在实际测量中，一般都能满足上式在实际测量中，一般都能满足上式(选择公式-1)或式或式(选择公式-2)的条件，因此，都不用考虑的条件，因此，都不用考虑的影响，若遇到满足不了的影响，若遇到满足不了式式(-2)或式或式(-3)条件的情况，则应考虑用式条件的情况，则应考虑用式(修正公式-1)进行修进行修正。正。上述两条标准，也可作为选用测量仪表时考虑测量仪表灵敏上述两条标准，也可作为选用测量仪表时考虑测量仪表灵敏阈阈的条件，即是根据测量结果精度的要求，来确定被选用仪的条件，即是根据测量结果精度的要求，来确定被选用仪表的灵敏度。最好能选用可忽略表的灵敏度。最好能选用可忽略影响的仪表。若实在有困难影响的仪表。若实在有困难可考虑修正后能满足测量精度要求的仪表。若连这种仪表都选可考虑修正后能满足测量精度要求的仪表。若连这种仪表都选不到，则这种测量结果的精度要求是难于满足的。不到，则这种测量结果的精度要求是难于满足的。六、不等精度测量六、不等精度测量在在科科学学研研究究或或高高精精度度测测量量中中，往往往往在在不不同同的的测测量量条条件件下下，用用不不同同的的仪仪器器、不不同同的的测测量量方方法法、不不同同的的测测量量次次数数以以及及不不同同的的测测量量者者进进行行测测量量与与对对比比，这这种种测测量量称称为不等精度测量。为不等精度测量。对对于于不不等等精精度度测测量量，计计算算最最后后测测量量结结果果及及其其精精度度(如如标标准准差差)，不不能能套套用用前前面面等等精精度度测测量量的的计计算算公公式式，需需推推导出新的计算公式。导出新的计算公式。在在一一般般测测量量工工作作中中，常常遇遇到到的的不不等等精精度度测测量量有有两两种种情况：情况：第一种情况第一种情况，用不同测量次数进行对比测量。，用不同测量次数进行对比测量。第二种情况第二种情况，用不同精度的仪器进行对比测量。，用不同精度的仪器进行对比测量。1权的概念权的概念 在等精度测量中，各个测得值可认为同样可靠，并取在等精度测量中，各个测得值可认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。在不等精所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能简单地取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果，简单地取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可靠程度小的占比重小一些。各测量结果的可靠程些，可靠程度小的占比重小一些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果的度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果的“权权”，记为，记为p。因此测量结果的权可理解为，当它与另一因此测量结果的权可理解为，当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。 2权的确定方法权的确定方法 最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数采确定权的靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数采确定权的大小，即大小，即pini。 假定同一个被测量有假定同一个被测量有m组不等精度的测量结果，这组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不向的组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不向的一系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度一系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度皆相同，其标准差均为皆相同，其标准差均为，则各组算术平均值的标准差则各组算术平均值的标准差为为因为pini，故 上式又可写成 （2-40）（2-41）（2-42）结论结论：每组测量结果的权与其相应的标淮差平方：每组测量结果的权与其相应的标淮差平方成反比。成反比。 3.加权算术平均值加权算术平均值 若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 1， 2， m，设相应的测量次数为n1，n2，nm，即 （2-43） 根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值应为：平均值应为： 将式将式(243)代入上式得，并简写代入上式得，并简写得得（2-44）加权算术平均值加权算术平均值的的简化计算式简化计算式为简化计算，加权算术平均值可用下式表示为简化计算，加权算术平均值可用下式表示式中的x0为接近 i的任选参考值。 （2-46）例例211工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的三次测量的)，999.9416mm(两次测量的两次测量的)，999.9419mm(五次测量的五次测量的)，求最后测量结果。求最后测量结果。按测量次数来确定权：按测量次数来确定权：p13，p22，p35。选取。选取x0999.94mm，则有则有=999.9420mm4单位权概念单位权概念式中的式中的为等精度单次测得值的标准差。为等精度单次测得值的标准差。此可认为，具有同一方差此可认为，具有同一方差2 2的等精度单次测得值的权数为的等精度单次测得值的权数为l l。 权数为权数为l的特别意义特别意义： 由于测得值的方差由于测得值的方差2的权数为的权数为l在此有特殊用途，故特在此有特殊用途，故特称等于称等于1的权为单位权，而的权为单位权，而2为具有单位权的测得值方为具有单位权的测得值方差，差，为具有单位权的测得值标准差。为具有单位权的测得值标准差。单单位位权权化化的的实实质质是是使使任任何何一一个个量量值值乘乘以以自自身身权权数数的的平平方根，得到新的量值权数为方根，得到新的量值权数为1。 用这种方法可将不等精度的各组测量结果皆进行单位用这种方法可将不等精度的各组测量结果皆进行单位权化，使该测量列转化为等精度测量列。权化，使该测量列转化为等精度测量列。 5加权算术平均值的标准差加权算术平均值的标准差 对同一被测量进行对同一被测量进行m组不等精度测量，得到组不等精度测量，得到m个测量个测量结果结果，若已知单位权测得值的标准差若已知单位权测得值的标准差，则全部则全部(mn个个)测得值的算术平均值的标准差为测得值的算术平均值的标准差为因故有（2-49）式式(249)的意义：的意义： 由式由式(249)可知，当各组测量的总权数为已知时，可知，当各组测量的总权数为已知时，可由任一组的标淮差，和相应的权，或者由单位权的可由任一组的标淮差，和相应的权，或者由单位权的标准差标准差求得加权算术平均值的标准差。求得加权算术平均值的标准差。 （2-49） 当各组测量结果的标准差为未知时，则不能直接应当各组测量结果的标准差为未知时，则不能直接应用式用式(249)，而必须由各测量结果的残余误差来计算，而必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。加权算术平均值的标准差。 已知各组测量结果的残余误差为已知各组测量结果的残余误差为 将各组单位权化，则有将各组单位权化，则有（2-51）代入等精度测量的公式代入等精度测量的公式(218)，得到，得到再将式再将式(250)代入式代入式(249)得得（2-50）关于（关于（2-51）式的说明：）式的说明： 用式(251)可由各组测量结果的残余误差求得加权算术平均值的标准差，但只有当组数m足够多时，才能得到较为精确的值，一般情况下的组数较少，只能得到近似的估计值。 例例212求例求例211的加权算术平均值的标准差。的加权算术平均值的标准差。由前例已知三组测量的加权算术平均值由前例已知三组测量的加权算术平均值9999420mm，故可得各组测量结果的残余误差，故可得各组测量结果的残余误差为为代入代入2-51式式得得七、随机误差的其他分布七、随机误差的其他分布 正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一的分布规律。随着误差理论研究与应用的深入是唯一的分布规律。随着误差理论研究与应用的深入发展，发现有不少随机误差不符合正态分布，而是非发展，发现有不少随机误差不符合正态分布，而是非正态分布，其实际分布规律可能是较为复杂的，现将正态分布，其实际分布规律可能是较为复杂的，现将其中几种常见的非正态分布及几种统计量随机变量分其中几种常见的非正态分布及几种统计量随机变量分布规律作简要介绍。布规律作简要介绍。1均匀分布均匀分布在在测测量量实实践践中中，均均匀匀分分布布是是经经常常遇遇到到的的一一种种分分布布，其其主主要要特特点点是是，误误差差有有一一确确定定的的范范围围，在在此此范范围围内内，误误差差出现的概率各处相等，故又称为矩形分布或等概率分布。出现的概率各处相等，故又称为矩形分布或等概率分布。例如：仪器度盘刻度误差所引起的误差；例如：仪器度盘刻度误差所引起的误差； 仪器传动机构的空程误差；仪器传动机构的空程误差； 大地测量中基线尺受滑轮摩擦力影响的长度误差；大地测量中基线尺受滑轮摩擦力影响的长度误差； 数字式仪器在数字式仪器在1单位以内不能分辨的误差；单位以内不能分辨的误差； 数据计算中的舍入误差等，均为均匀分布误差。数据计算中的舍入误差等，均为均匀分布误差。均匀分布的分布密度和分布函数均匀分布的分布密度和分布函数（2-52）（2-53）数学期望数学期望 分布密度函数分布密度函数 分布函数分布函数 方差方差标准差标准差 （2-54）（2-55）（2-56）2反正弦分布反正弦分布 反正弦分布实际上是一种随机误差的函数的反正弦分布实际上是一种随机误差的函数的分布规律，其特点是该随机误差与某一角度成分布规律，其特点是该随机误差与某一角度成正弦关系。正弦关系。 例如仪器度盘偏心引起的角度测量误差；电例如仪器度盘偏心引起的角度测量误差；电子测量中谐振的振幅误差等，均为反正弦分布。子测量中谐振的振幅误差等，均为反正弦分布。 反正弦分布的分布密度和分布函数反正弦分布的分布密度和分布函数（2-57）（2-58）数学期望数学期望、方差和标准差方差和标准差（2-59）（2-60）（2-61）3三角形分布三角形分布当当两两个个误误差差限限相相同同且且服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机误误差差求求和和时时，其其和和的的分分布布规规律律服服从从三三角角形形分分布布，又又称称辛辛普普逊逊(Simpson)分分布布。在在实实际际测测量量中中，若若整整个个测测量量过过程程必必须须进进行行两两次次才才能能完完成成，而而每每次次测测量量的的随随机机误误差差服服从从相相同同的的均均匀匀分分布布，则则总总的测量误差为三角形分布误差。的测量误差为三角形分布误差。 例如进行两次测量过程时数据凑整的误差；例如进行两次测量过程时数据凑整的误差；用代替法检定标准砝码、标准电阻时，两次调用代替法检定标准砝码、标准电阻时，两次调零不准所引起的误差等，均为三角形分布误差。零不准所引起的误差等，均为三角形分布误差。三角形分布误差的分布密度和分布函数三角形分布误差的分布密度和分布函数（2-62）（2-63）数学期望数学期望、方差和标准差方差和标准差 必须指出，如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求必须指出，如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求和时，则其和的分布规律不再是三角形分布而是梯形分布。和时，则其和的分布规律不再是三角形分布而是梯形分布。E = 0 （2-64）（2-65）（2-66） 在测量工作中，除上述的非正态分布外，还在测量工作中，除上述的非正态分布外，还有直角分布、截尾正态分布、双峰正态分布及有直角分布、截尾正态分布、双峰正态分布及二点分布等。二点分布等。 八、几个重要统计量的分布八、几个重要统计量的分布为对随机变量分布及其参数有所了解，就要对它进行观为对随机变量分布及其参数有所了解，就要对它进行观测。把测。把n次观测所得到的次观测所得到的n个数值个数值(x1，x2，.，xn)称为称为一个容量为一个容量为n的样本，而把随机变量可取值的全体称为的样本，而把随机变量可取值的全体称为总体。根据样本对总体作种种有关的统计推断时，常需总体。根据样本对总体作种种有关的统计推断时，常需要用到样本的某些函数，如样本平均值，样本方差等等，要用到样本的某些函数，如样本平均值，样本方差等等，把用样本作为变量的一切函数统称为统计量。由于抽样把用样本作为变量的一切函数统称为统计量。由于抽样是随机的，所以容量为是随机的，所以容量为n的样本可以看作是一个的样本可以看作是一个n维随机维随机变量，这样统计量也是随机变量，它也有本身的分布和变量，这样统计量也是随机变量，它也有本身的分布和相应的特征数字。相应的特征数字。下面介绍几个重要的统计量及它们的分布。下面介绍几个重要的统计量及它们的分布。1.随机变量的随机变量的 分布分布 令各令各1 ， 2 ， 为为个独立随机变量，个独立随机变量，每个随机变量都服从标准化的正态分布。定义每个随机变量都服从标准化的正态分布。定义一个新的随机变量一个新的随机变量（2-67） 随机变量随机变量 称为自由度为称为自由度为的卡埃平方变量。自的卡埃平方变量。自由度数由度数表示上式中项数或独立变量的个数。表示上式中项数或独立变量的个数。分布的分布密度函数分布的分布密度函数（2-68） 式中的为式中的为函数。定函数。定义为义为 数学期望数学期望、方差和标准差方差和标准差（2-69） （2-70） （2-71） 可以证明，当可以证明，当充分大时，曲线趋近正态曲线。充分大时，曲线趋近正态曲线。 值得提出的是，在这里称值得提出的是，在这里称为自由度，它的改为自由度，它的改变将引起分布曲线的相应改变。变将引起分布曲线的相应改变。 2.t分布分布 令令和和是独立的随机变量，是独立的随机变量，具有自由度为具有自由度为的的 分分布函数，布函数，具有标准化正态分布函数，则定义新的随机具有标准化正态分布函数，则定义新的随机变量为变量为 （2-72） 式中的式中的为自由度。为自由度。 随机变量随机变量t称自由度为称自由度为的学生氏的学生氏t变量。变量。 t分布的分布密度函数分布的分布密度函数 （2-73） 数学期望数学期望、方差和标准差方差和标准差 （2-74） （2-75） （2-76） t分分布布的的数数学学期期望望为为零零，分分布布密密度度曲曲线线对对称称于于纵纵坐坐标标轴轴，但但它它和和标标准准化化正正充充分分布布密密度度曲曲线线不不同同，如如图图所所示示。可可以以证证明明，当当自自由由度度较较小小时时，t分分布布与与正正态态分分布布有有明明显显区区别别，但但当当自自由由度度时，时，t分布曲线趋于正态分布曲线。分布曲线趋于正态分布曲线。t分布是一种重要分布，当测量列的测量次数较少时，极限误分布是一种重要分布，当测量列的测量次数较少时，极限误差的估计或者在检验测量数据的系统误差时经常用到它。差的估计或者在检验测量数据的系统误差时经常用到它。 3.F分布分布 若若 具有自由度为具有自由度为1 1的卡埃平方分布函数，的卡埃平方分布函数， 具有自由度为具有自由度为2 2，的卡埃平方分布函数，定的卡埃平方分布函数，定义新的随机变量为义新的随机变量为随机变量随机变量F称为自由度为称为自由度为1 1，2 2的的F变量。变量。 F分布的分布密度分布的分布密度f(F) （2-78） 数学期望数学期望、方差和标准差方差和标准差（2-79） （2-80） （2-81） F分布也是一种重要分布，在检验统计假设分布也是一种重要分布，在检验统计假设和方差分析中经常应用。和方差分析中经常应用。 第二节第二节系统误差系统误差 在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差称为系统误差。差称为系统误差。 例如标准量值的不准确、仪器刻度的不准确而引起例如标准量值的不准确、仪器刻度的不准确而引起的误差。的误差。 系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成，这些误差因素是可以掌握的。所造成，这些误差因素是可以掌握的。 一、研究系统误差的意义一、研究系统误差的意义 测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。因此测量结果的精度，不仅取统误差数值还比较大。因此测量结果的精度，不仅取决于随机误差，还取决于系统误差的影响。由于系统决于随机误差，还取决于系统误差的影响。由于系统误差是和随机误差同时存在测量数据之中，且不易被误差是和随机误差同时存在测量数据之中，且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏性使得系统误差比随机误差具有更大的危险这种潜伏性使得系统误差比随机误差具有更大的危险性。因此研究系统误差的特征与规律性，用一定的方性。因此研究系统误差的特征与规律性，用一定的方法发现和减小或消除系统误差，就显得十分重要。否法发现和减小或消除系统误差，就显得十分重要。否则，对随机误差的严格数学处理将失去意义，或者其则，对随机误差的严格数学处理将失去意义，或者其效果甚微。效果甚微。一、研究系统误差的意义一、研究系统误差的意义 在分析和研究测量误差时，必须把系统误差排除才在分析和研究测量误差时，必须把系统误差排除才能按随机误差理论对测量误差进行处理，否则得到的能按随机误差理论对测量误差进行处理，否则得到的结论将失去其可靠性。从测量误差对测量结果的影响结论将失去其可靠性。从测量误差对测量结果的影响来看，系统误差往往比随机误差带来的危害更大，也来看，系统误差往往比随机误差带来的危害更大，也只有重视对系统误差的研究，才能避免因小失大的错只有重视对系统误差的研究，才能避免因小失大的错误。同时，通过研究系统误差还可能使所进行的科学误。同时，通过研究系统误差还可能使所进行的科学研究有新的发现和突破，对系统误差的研究，已日益研究有新的发现和突破，对系统误差的研究，已日益受到人们的重视。随着科学技术的发展，对系统误差受到人们的重视。随着科学技术的发展，对系统误差的研究将会逐渐深入，对它的研究成果也会对科学技的研究将会逐渐深入，对它的研究成果也会对科学技术的发展起到重要的作用。术的发展起到重要的作用。一、研究系统误差的意义一、研究系统误差的意义 研究系统误差的处理问题，就是能否发现系统误差的研究系统误差的处理问题，就是能否发现系统误差的存在并把它消除的问题。这主要取决于我们对被测量、存在并把它消除的问题。这主要取决于我们对被测量、参与测量各环节的性质和各种影响测量因素了解的深度，参与测量各环节的性质和各种影响测量因素了解的深度，取决于对每一个具体测量条件下系统误差性质的研究和取决于对每一个具体测量条件下系统误差性质的研究和分析，所以研究系统误差应着重采用个别考察的办法，分析，所以研究系统误差应着重采用个别考察的办法，根据实际问题采取具体对待的办法来解决。因此，要想根据实际问题采取具体对待的办法来解决。因此，要想得到一个通用的、系统的、完善的办法来解决系统误差得到一个通用的、系统的、完善的办法来解决系统误差问题，目前是不可能的。问题，目前是不可能的。 由于系统误差的特殊性，在处理方法上与随机误差完由于系统误差的特殊性，在处理方法上与随机误差完全不同，它涉及对测量设备和测量对象的全面分析，并全不同，它涉及对测量设备和测量对象的全面分析，并与测量者的经验、水平以及测量技术的发展密切相关。与测量者的经验、水平以及测量技术的发展密切相关。因此对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有因此对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现减小或消除系统误差的方法，已成为误差理论效的发现减小或消除系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。的重要课题之一。二、系统误差产生的原因二、系统误差产生的原因 系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，在条件充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于： 测量装置方面的因素测量装置方面的因素 环境方面的因素环境方面的因素 测量方法的因素测量方法的因素 测量人员的因素测量人员的因素计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。三、系统误差的分类：三、系统误差的分类：1按对误差掌握的程度分按对误差掌握的程度分已定系统误差已定系统误差是指误差绝对值和符号已经确定的系是指误差绝对值和符号已经确定的系统误差。统误差。未定系统误差未定系统误差是指误差绝对值和符号未能确定的系是指误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常可估计出误差范围。统误差，但通常可估计出误差范围。2按误差出现规律分按误差出现规律分不变系统误差不变系统误差是指误差绝对值和符号为固定的系统是指误差绝对值和符号为固定的系统误差。误差。变化系统误差变化系统误差是指误差绝对值和符号为变化的系统是指误差绝对值和符号为变化的系统误差。按其变化规律，又可分为线性系统误差、周期误差。按其变化规律，又可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差等。性系统误差和复杂规律系统误差等。1不变的系统误差不变的系统误差不不变变的的系系统统误误差差(恒恒系系差差)就就是是指指在在整整个个测测量量过过程程，误误差的符号和大小都固定不变的误差。差的符号和大小都固定不变的误差。 该系统误差主要有：该系统误差主要有： 在使用时所造成的误差；在使用时所造成的误差； 测量人员的习惯误差，在该值时总是向某一方向测量人员的习惯误差，在该值时总是向某一方向偏移或由于观测位置不正确而造成的读值偏差；偏移或由于观测位置不正确而造成的读值偏差； 在测量中所用的比较标准带有恒定系统误差，若在测量中所用的比较标准带有恒定系统误差，若测量中不加修正，也会给测量结果带来恒定系统误差测量中不加修正，也会给测量结果带来恒定系统误差等。等。如某量块的公称尺寸为如某量块的公称尺寸为10mm，实际尺寸为实际尺寸为10.001mm，误差为误差为-0.001mm，若按公称尺寸使用，若按公称尺寸使用，始终会存在始终会存在-0.001mm的系统误差。的系统误差。2线性变化的系统误差线性变化的系统误差 在在测测量量过过程程中中，随随某某些些影影响响因因素素(如如测测量量次次数数或或测测量量时时间间)的的变变化化，误误差差值值成成比比例例增增大大或或减减小小的的系系统统误误差差称称线性变化的系统误差，也称累进系统误差。线性变化的系统误差，也称累进系统误差。当当仪仪器器的的量量程程小小于于被被测测量量时时，需需用用多多次次测测量量才才能能测测得得被被测测量量。例例如如，长长度度测测量量、重重量量测测量量、容容积积测测量量等等均均可可能能产产生生累累进进系系统统误误差差。如如刻刻度度值值为为1mm的的标标准准刻刻尺尺，由由于于存存在在刻刻划划误误差差l，每每一一刻刻度度间间距距实实际际为为(1+lmm)mm，若若用用它它与与另另一一长长度度比比较较，得得到到的的比比值值为为k，则被测长度的实际值为则被测长度的实际值为若认为该长度实际值为若认为该长度实际值为Kmm，就产生了随测量值大就产生了随测量值大小而变化的线性系统误差小而变化的线性系统误差Kl。 随着测量时间的增长，在随着测量时间的增长，在工业自动化仪表中产生累进工业自动化仪表中产生累进的系统误差的情况，也是较的系统误差的情况，也是较为常见的。为常见的。 例如。利用标准孔板测量例如。利用标准孔板测量流量的节流式流量计，由于流量的节流式流量计，由于长时间使用孔板的锐角被磨长时间使用孔板的锐角被磨损，也会出现测量值逐渐偏损，也会出现测量值逐渐偏低的累进系统误差。低的累进系统误差。3周期性变化的系统误差周期性变化的系统误差 在测量过程中随着测量值或测量时间的变化误在测量过程中随着测量值或测量时间的变化误差值呈现周期性变化的系统误差皆属周期性变化的系差值呈现周期性变化的系统误差皆属周期性变化的系统误差。统误差。 如仪表指针的回转中心与刻度盘中心有偏心值如仪表指针的回转中心与刻度盘中心有偏心值e，则则指针在任一转角指针在任一转角引起的读数误差即为周期性系统误差。引起的读数误差即为周期性系统误差。此误差变化规律符合正弦曲线，指针在此误差变化规律符合正弦曲线，指针在00和和180180时时误差为零而在误差为零而在9090和和270270时误差最大，误差值为时误差最大，误差值为e e。 误差4复杂规律变化的系统误差复杂规律变化的系统误差 除前述三种比较典型的系统误差变化规律外，其它除前述三种比较典型的系统误差变化规律外，其它都可用复杂规律变化来概括。都可用复杂规律变化来概括。 在这类系统误差中，有的可用数学关系式表达其变在这类系统误差中，有的可用数学关系式表达其变化规律；有的难于用数学关系表达其复杂的变化规律。化规律；有的难于用数学关系表达其复杂的变化规律。这类系统误差，可按不同的刻度位置，绘制出它的误这类系统误差，可按不同的刻度位置，绘制出它的误差曲线。考虑到系统误差与随机误差的相互转化为问差曲线。考虑到系统误差与随机误差的相互转化为问题，把随机误差转化为系统误差也会出现复杂规律变题，把随机误差转化为系统误差也会出现复杂规律变化的系统误差。化的系统误差。四、系统误差的特征四、系统误差的特征系系统统误误差差的的特特征征是是在在同同一一条条件件下下，多多次次测测量量同同一一量量值值时时，误误差差的的绝绝对对值值和和符符号号保保持持不不变变，或或者者在在条条件件改改变时，误差按一定的规律变化。变时，误差按一定的规律变化。由系统误差的特征可知，在多次重复测量同一量值由系统误差的特征可知，在多次重复测量同一量值时，系统误差不具有抵偿性。它是固定的或服从一定时，系统误差不具有抵偿性。它是固定的或服从一定函数规律的误差。函数规律的误差。 从广义上理解，系统误差即是服从某一确定规律变从广义上理解，系统误差即是服从某一确定规律变化的误差。化的误差。各种典型系统误差各种典型系统误差随测量过程随测量过程t变化的特征变化的特征曲线曲线a为不变的系统误差，曲线为不变的系统误差，曲线b为线性变化的系统误差，曲为线性变化的系统误差，曲线线c为非线性变化的系统误差，曲线为非线性变化的系统误差，曲线d为周期性变化的系统误差，为周期性变化的系统误差，曲线曲线e为复杂规律变化的系统误差。为复杂规律变化的系统误差。不变的系统不变的系统误差误差线性变化的系线性变化的系统误差统误差非线性变化非线性变化的系统误差的系统误差复杂规律变化复杂规律变化的系统误差的系统误差周期性变化周期性变化的系统误差的系统误差系统误差与随机误差同时存在时的误差表现特征系统误差与随机误差同时存在时的误差表现特征 当系统误差与随机误差同时存在时，误差表现特征当系统误差与随机误差同时存在时，误差表现特征如图所示。如图所示。图中设图中设x0 0为被测量的真实值，在多次重复测量中系为被测量的真实值，在多次重复测量中系统误差为固定值统误差为固定值，而随机误差为对称分布，分布，而随机误差为对称分布，分布范围为范围为2，并以系统误差并以系统误差为中心而变化。为中心而变化。五、系统误差的发现五、系统误差的发现发发现现系系统统误误差差必必须须根根据据具具体体测测量量过过程程和和测测量量仪仪器器进进行行全全面面的的仔仔细细的的分分析析，这这是是一一件件困困难难而而又又复复杂杂的的工工作作，目目前前还还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法。没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法。 适用于发现某些系统误差常用的几种方法有：适用于发现某些系统误差常用的几种方法有：1实验对比法实验对比法实实验验对对比比法法是是通通过过改改变变产产生生系系统统误误差差的的因因素素或或条条件件进进行行不不同同条条件件或或不不同同方方法法的的测测量量来来发发现现系系统统误误差差的的存存在在。这这种种方方法法适适用用于于发发现现不不变变的的(或或称称恒恒定定的的)系系统统误误差差。它它也也是是发发现现恒恒定定系系统统误误差差最最根根本本的的方方法法。因因为为恒恒定定系系统统误误差差，单单凭凭一种测量方法或一种测量仪器是发现不了的。一种测量方法或一种测量仪器是发现不了的。例如量块按公称尺寸使用时，在测量结果中就例如量块按公称尺寸使用时，在测量结果中就存在由于量块的尺寸偏差而产生的不变的系统存在由于量块的尺寸偏差而产生的不变的系统误差，多次重复测量也不能发现这一误差，只误差，多次重复测量也不能发现这一误差，只有用另一块高一级精度的量块进行对比时才能有用另一块高一级精度的量块进行对比时才能发现它。发现它。2残余误差观察法残余误差观察法残残余余误误差差观观察察法法是是根根据据测测量量列列的的各各个个残残余余误误差差大大小小和和符符号号的的变变化化规规律律，直直接接由由误误差差数数据据或或误误差差曲曲线线图图形形来来判判断断有有无无系系统统误误差差，这这种种方方法法主主要要适适用用于于发发现现有有规规律变化的系统误差。律变化的系统误差。 若若系系统统误误差差显显著著大大于于随随机机误误差差，其其任任一一测测量量值值的的残残余误差为系统误差与测量列系统误差平均值之差余误差为系统误差与测量列系统误差平均值之差 根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作图进行观察，可以判断有无系统误差。作图进行观察，可以判断有无系统误差。（2-83）式中， l i为测量列li的系统误差; 为系统误差平均值。 2残余误差观察法残余误差观察法图图a无系统误差无系统误差图图b有线性系统误差有线性系统误差图图c有周期性系统误差有周期性系统误差图图d同时有线性和周期性系统误差同时有线性和周期性系统误差 例例2-13 2-13 残余误差观察法的例子（列表法）残余误差观察法的例子（列表法）由表由表29可知，残余误差符号由负变正，误差值由小可知，残余误差符号由负变正，误差值由小到大，则测量列中存在线性系统误差。到大，则测量列中存在线性系统误差。对恒温箱温度测量对恒温箱温度测量10次，测得数据如表所示。次，测得数据如表所示。残余误差观察法的例子（作图法）残余误差观察法的例子（作图法）由图可知，由图可知， 测量列中存在线性系统误差。测量列中存在线性系统误差。3残余误差校核法残余误差校核法（1 1）马利科夫准则）马利科夫准则这种校核法能有效地发现线性系统误差。这种校核法能有效地发现线性系统误差。式中，当式中，当n为偶数，取为偶数，取Kn2； n为奇数，取为奇数，取K(n+1)2。 （2-84） 若式若式(284)的两部分差值的两部分差值显著不为零，则显著不为零，则有理由认为测量列存在线性系统误差。有理由认为测量列存在线性系统误差。 需要指出的是，有时按残余误差校核法求得需要指出的是，有时按残余误差校核法求得差值差值0，仍有可能存在系统误差。，仍有可能存在系统误差。 令令应用马利科夫准则发现线性系统误差的例子应用马利科夫准则发现线性系统误差的例子例例214仍用例仍用例213的测量数据，此时的测量数据，此时n10，K5，而而 因差值因差值显著不为零，故测量列中含有线性系显著不为零，故测量列中含有线性系统误差。统误差。例: 测量一电阻十次,数据记录于表,试判断有无系统误差.解:用残差观察法.用应用马利科夫准则应用马利科夫准则.显著不为零显著不为零 初步判定存初步判定存在系统误差在系统误差存在线性系统误差存在线性系统误差 （2）阿卑阿卑赫梅特准则赫梅特准则这种校核法能有效地这种校核法能有效地用于发现周期性系统误差用于发现周期性系统误差 令令（2-85）若若则认为该测量列中含有周期性系统误差。则认为该测量列中含有周期性系统误差。令令若测量列服从正态分布,则有其标准差其标准差阿卑阿卑赫梅特准则的理论依据赫梅特准则的理论依据4不同公式计算标准差比较法不同公式计算标准差比较法方法原理方法原理：对等精度测量，可用不同公式计算：对等精度测量，可用不同公式计算标准差，通过比较以发现系统误差。标准差，通过比较以发现系统误差。按贝塞尔公式按贝塞尔公式按别捷尔斯公式按别捷尔斯公式 令令若若(2-86)则可怀疑测量列中存在系统误差。则可怀疑测量列中存在系统误差。5计算数据比较法计算数据比较法方法原理方法原理：对同一量进行多组测量，得到很多数据，：对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差其比较结通过多组计算数据比较，若不存在系统误差其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。 若对同一量独立测得若对同一量独立测得m组结果，并知它们的算术平组结果，并知它们的算术平均值和标准差均值和标准差:（2-87） 则任意两组结果与间不存在系统误差的标志是则任意两组结果与间不存在系统误差的标志是令其标准差为其标准差为例例2-15雷莱用不同方法制取氮的实验雷莱用不同方法制取氮的实验 雷莱对用两种不同方法制取氮的实验数据分析。雷莱对用两种不同方法制取氮的实验数据分析。测得氮气相对密度平均值及其标准差为测得氮气相对密度平均值及其标准差为 由化学法制取氮：由化学法制取氮：由大气中提取氮：由大气中提取氮：两者差值：两者差值：由于由于判断结论判断结论：因为两种方法所得结果的差值远远大因为两种方法所得结果的差值远远大于两倍标准差，故两种方法间存在系统误差。于两倍标准差，故两种方法间存在系统误差。 根据比较结果，根据比较结果，雷莱经过分析认为由于操雷莱经过分析认为由于操作技术引起系统误差的可能性很小，因此雷莱作技术引起系统误差的可能性很小，因此雷莱没有企图设法改进制取氮的操作技术而使两者没有企图设法改进制取氮的操作技术而使两者结果之差变小，相反，他强调了两种方法的实结果之差变小，相反，他强调了两种方法的实质差别，从而导致后来由雷塞姆进行深入的研质差别，从而导致后来由雷塞姆进行深入的研究。终于发现了空气中存在惰性气体。这一新究。终于发现了空气中存在惰性气体。这一新的发现，深刻揭示了两种方法差别的原因。的发现，深刻揭示了两种方法差别的原因。 6秩和检验法秩和检验法方法原理方法原理：对某量进行两组测量，这两组间是否存在系：对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。将两组独立测量的数据混合以后，按大小顺序重新排将两组独立测量的数据混合以后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合后的次序后的次序(即秩即秩)，再将所有测得值的次序相加，即得秩，再将所有测得值的次序相加，即得秩和和T。若两组数据中有相同的数值，则该数据的秩按所。若两组数据中有相同的数值，则该数据的秩按所排列的两个次序的平均值计算。排列的两个次序的平均值计算。 通常，两组的测量次数通常，两组的测量次数n1、n210，可根据测量次数较，可根据测量次数较少的组的次数少的组的次数n1和测量次数较多的组的次数和测量次数较多的组的次数n2，由秩和，由秩和检验表检验表210查得查得T-和和T+(显著度显著度0.05)，若，若则无根据怀疑两组间存在系统误差。则无根据怀疑两组间存在系统误差。（2-88）当当n1、n210的秩和检验法的秩和检验法当当n1、n210，秩和，秩和T近似服从正态分布近似服从正态分布 此时此时T-和和T+可由正态分布算出可由正态分布算出 ，根据求得的数学期根据求得的数学期望值望值a和标准差和标准差则则 其中，选取概率选取概率(t)，由正态分布积分表查得，由正态分布积分表查得ta，若，若 则无根据怀疑两组间存在系统误差。则无根据怀疑两组间存在系统误差。例例216对某量测得两组数据如下，判断两组间有无系对某量测得两组数据如下，判断两组间有无系统误差。统误差。已知已知n1=3,n2=4,计算秩和计算秩和T=1+4+5=10查表查表210得得T-=7T+=17因因T-7T10T+17故无根据怀疑两组间存在系统误差。故无根据怀疑两组间存在系统误差。将两组数据混合排列成下表将两组数据混合排列成下表 7t检验法检验法当两组测得值服从正态分布时，可用当两组测得值服从正态分布时，可用t检验法判断两组检验法判断两组间是否存在系统误差。间是否存在系统误差。对于独立测得的两组数据对于独立测得的两组数据xi(i=1,2,3nx),yj(j=1,2,3,ny)构成的变量构成的变量服从自由度为服从自由度为nxny2的的t分布变量分布变量取显著度a，由t分布表可查得P( )a中的ta，若实测数列中算出之若实测数列中算出之ta，则无根据怀疑两组间有，则无根据怀疑两组间有系统误差。系统误差。例例217对某量测得两组数据对某量测得两组数据 计算计算平均值：平均值：方差：方差：计算计算t值：值：由由10+10218及取及取a0.05，查，查t分布表分布表(附录表附录表3)得得因故无根据怀疑两组间有系统误差。故无根据怀疑两组间有系统误差。小结：小结：上面介绍七种系统误差发现方法，按其用途可分为两类；上面介绍七种系统误差发现方法，按其用途可分为两类；第一类用于发现测量列组内的系统误差，包括前四种第一类用于发现测量列组内的系统误差，包括前四种方法，即实验对比法、残余误差观察法、残余误差校核法方法，即实验对比法、残余误差观察法、残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法。和不同公式计算标准差比较法。第二类用于发现各组测量之间的系统误差，包括后三第二类用于发现各组测量之间的系统误差，包括后三种方法，即计算数据比较法、秩和检验法和种方法，即计算数据比较法、秩和检验法和t检验法。检验法。这些方法各具有不同特点，有的只能在一定条件下应这些方法各具有不同特点，有的只能在一定条件下应用，必须根据具体测量仪器和测量过程来选用相应的方法。用，必须根据具体测量仪器和测量过程来选用相应的方法。例如实验对比法是发现各种系统误差的有效方法，但由例如实验对比法是发现各种系统误差的有效方法，但由于这种方法需相应的高精度测量仪器和较好的测量条件，于这种方法需相应的高精度测量仪器和较好的测量条件，因而其应用受到限制。因而其应用受到限制。残余误差观察法是发现组内系统误差的有效方法，一般残余误差观察法是发现组内系统误差的有效方法，一般情况皆可应用，但它发现不了不变的系统误差。情况皆可应用，但它发现不了不变的系统误差。四、系统误差的减小和消除四、系统误差的减小和消除在测量过程中，发现有系统误差存在，必须在测量过程中，发现有系统误差存在，必须进一步分析比较，找出可能产生系统误差的因进一步分析比较，找出可能产生系统误差的因素以及减小和消除系统误差的方法，但是这些素以及减小和消除系统误差的方法，但是这些方法和具体的测量对象、测量方法、测量人员方法和具体的测量对象、测量方法、测量人员的经验有关，因此要找出普遍有效的方法比较的经验有关，因此要找出普遍有效的方法比较困难，下面介绍其中最基本的方法以及适应各困难，下面介绍其中最基本的方法以及适应各种系统误差的特殊方法。种系统误差的特殊方法。1从产生误差根源上消除系统误差从产生误差根源上消除系统误差从产生误差根源上消除误差是最根本的方法，从产生误差根源上消除误差是最根本的方法，它要求测量人员对测量过程中可能产生的系统它要求测量人员对测量过程中可能产生的系统误差的环节作仔细分折，并在测量前就将误差误差的环节作仔细分折，并在测量前就将误差从产生根源上加以消除。从产生根源上加以消除。 2用修正方法消除系统误差用修正方法消除系统误差这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。测量结果。由于修正值本身也包含有一定误差，因此用修正值由于修正值本身也包含有一定误差，因此用修正值消除系统误差的方法，不可能将全部系统误差修正掉，消除系统误差的方法，不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量系统误差，对这种残留的系统误差则应总要残留少量系统误差，对这种残留的系统误差则应按随机误差进行处理。按随机误差进行处理。 3不变系统误差消除法不变系统误差消除法对测得值中存在固定不变的系统误差，常用的几种消对测得值中存在固定不变的系统误差，常用的几种消除法是：除法是：（1）代替法）代替法代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，放到测量装测量条件，立即用一个标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差值，置上再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差值，即即被测量标准量被测量标准量+差值差值（1）代替法）代替法代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，放到测量测量条件，立即用一个标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差装置上再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差值，即值，即被测量标准量被测量标准量+差值差值例如在等臂天平上称重被测重量例如在等臂天平上称重被测重量X先与媒介物重量先与媒介物重量Q平衡，如天平的两臂长有误差设长度为平衡，如天平的两臂长有误差设长度为ll、l2，则，则但由于不能准确知道两臂长但由于不能准确知道两臂长l1、l2的实际值，若取的实际值，若取XQ，将带来固定不变的系统误差。，将带来固定不变的系统误差。在等臂天平上称重在等臂天平上称重,因天平两臂不等而带来的系统误差消除因天平两臂不等而带来的系统误差消除 今移去检测量今移去检测量X,用已知质量为用已知质量为P的标准砝码代替，若的标准砝码代替，若该砝码可使天平重新平衡，则有该砝码可使天平重新平衡，则有所以所以若该砝码不能使天平重新平衡，读出差值若该砝码不能使天平重新平衡，读出差值P，则有，则有所以所以这样就可消除由于天平两臂不等而带来的系这样就可消除由于天平两臂不等而带来的系统误差。统误差。（2）抵捎法）抵捎法这种方法要求进行两次测量，以便使两次读这种方法要求进行两次测量，以便使两次读数时出现的系统误差大小相等，符号相反取两数时出现的系统误差大小相等，符号相反取两次测得值的平均值，作为测量结果，即可消除次测得值的平均值，作为测量结果，即可消除系统误差。系统误差。例如，在工具显微镜上测量螺纹的螺距和中径，由例如，在工具显微镜上测量螺纹的螺距和中径，由于被测螺纹轴线与工作台纵向移动方向不一致于被测螺纹轴线与工作台纵向移动方向不一致将产生将产生系统误差。系统误差。为仪器两顶尖不同心使被测螺纹件偏斜而产生为仪器两顶尖不同心使被测螺纹件偏斜而产生的恒定系统误差的恒定系统误差 如如测螺距测螺距，左有各测一次，得，左有各测一次，得P左与左与P右右(正确值为正确值为P)为为 将Pl、P2平均后，即抵消。测量螺纹中径测量螺纹中径 将两侧测得值平均后，将两侧测得值平均后，即抵消。即抵消。（3）交换法）交换法这种方法是根据误差产生原因，将某些条件交换，这种方法是根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。以消除系统误差。例如在等臂天平上称重例如在等臂天平上称重(见图见图)，先将，先将被测量被测量X放于左边，标准砝码放于左边，标准砝码P放于右边放于右边调平衡后，则有调平衡后，则有将将X，P交换位置后，由于交换位置后，由于l1l2，P将换为将换为PP+P才才能与能与X平衡，即平衡，即则有则有注：注：这种方法也是最早这种方法也是最早在天平称重中应用，在天平称重中应用，故称高斯称量法，根故称高斯称量法，根据此式可得到不带有据此式可得到不带有因天平臂不等长而产因天平臂不等长而产生恒定系统误差的测生恒定系统误差的测量结果。量结果。4线性系统误差消除法线性系统误差消除法对称法对称法对称法是消除线性系统误差的有效方法。被测量作对称法是消除线性系统误差的有效方法。被测量作线性增加，若选定某时刻为中点，则对称此点的系统线性增加，若选定某时刻为中点，则对称此点的系统误差算术平均值皆相等。误差算术平均值皆相等。利用这一特点，可将测量对称安排，取各对称点两利用这一特点，可将测量对称安排，取各对称点两次读数的算术平均值作为测得值，即可消除线性系统次读数的算术平均值作为测得值，即可消除线性系统误差。误差。例如：5周期性系统误差消除法周期性系统误差消除法半周期法半周期法 对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周测量，取两次读数平均值，即可有效地消除周期性系统误差。期性系统误差。小结：无论发现系统误差还是设法消除系统误差，处理系无论发现系统误差还是设法消除系统误差，处理系统误差都具有较强的针对性，只能根据实际情况来进统误差都具有较强的针对性，只能根据实际情况来进行处理。总的原则是满足实际提出的需要，不能把理行处理。总的原则是满足实际提出的需要，不能把理想或理论上的分析当作实际需要。在处理系统误差的想或理论上的分析当作实际需要。在处理系统误差的方法上应尽量把问题简化，对多因素影响或具有复杂方法上应尽量把问题简化，对多因素影响或具有复杂规律变化的系统误差，应综合来考虑对测量造成的影规律变化的系统误差，应综合来考虑对测量造成的影响。响。另外，根据系统误差与随机误差可以相互转化的关另外，根据系统误差与随机误差可以相互转化的关系，应尽可能多的消除系统误差对测量的影响，剩余系，应尽可能多的消除系统误差对测量的影响，剩余部分按随机误差来处理。部分按随机误差来处理。第三节第三节粗大误差粗大误差 粗大误差又称疏失误差或过失误差，它是由于在测量粗大误差又称疏失误差或过失误差，它是由于在测量过程中某些突然发生的不正常因素过程中某些突然发生的不正常因素(如测量条件意外改如测量条件意外改变、仪器失常、外界干扰、测量者疏忽大意等变、仪器失常、外界干扰、测量者疏忽大意等)所造成所造成的。含有粗大误差的测量位的。含有粗大误差的测量位(称为异常值或坏值称为异常值或坏值)必然导必然导致测量值的失真和测量结果的严重歪曲，从而失去可靠致测量值的失真和测量结果的严重歪曲，从而失去可靠性和使用价值，数据处理时应设法从测量数据中剔除；性和使用价值，数据处理时应设法从测量数据中剔除；另一方面，测量数据含有随机误差和系统误差是正常现另一方面，测量数据含有随机误差和系统误差是正常现象，通常测量值具有一定程度的分散性，因此不能随意象，通常测量值具有一定程度的分散性，因此不能随意地将少数看起来误差较大的测量值作为异常值剔除，否地将少数看起来误差较大的测量值作为异常值剔除，否则，所得结果是虚假的。因此，必须建大一些法则来判则，所得结果是虚假的。因此，必须建大一些法则来判断实验数据的合理性，并进行相应的处理。断实验数据的合理性，并进行相应的处理。1粗大误差的产生原因粗大误差的产生原因产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为产生粗大误差的原因是多方面的，大致可归纳为(1)测量人员的主观原因测量人员的主观原因由于测量者工作责任感不强，工作过于疲劳或者缺由于测量者工作责任感不强，工作过于疲劳或者缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔细等，从而造成了错误的读数或错误的记录，这是产细等，从而造成了错误的读数或错误的记录，这是产生粗大误差的主要原因。生粗大误差的主要原因。(2)客观外界条件的原因客观外界条件的原因由于测量条件意外地改变由于测量条件意外地改变(如机械冲击、外界振动等如机械冲击、外界振动等)，引起仪器示值或被调对象位置的改变而产生粗大误，引起仪器示值或被调对象位置的改变而产生粗大误差。差。2防止与消除粗大误差的方法防止与消除粗大误差的方法对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除外，更重要的是要加强测量者的工作责任心加以剔除外，更重要的是要加强测量者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作；此外，还要保证和以严格的科学态度对待测量工作；此外，还要保证测量条件的稳定，或者应避免在外界条件发生激烈变测量条件的稳定，或者应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量。如能达到以上要求，一般情况下是可化时进行测量。如能达到以上要求，一般情况下是可以防止粗大误差产生的。以防止粗大误差产生的。在某些情况下，为了及时发现与防止测得值中合有在某些情况下，为了及时发现与防止测得值中合有粗大误差，可采用不等精度测量和互相之间进行校核粗大误差，可采用不等精度测量和互相之间进行校核的方法。的方法。例如，对某一被测值，可由两位测量者进行测量、例如，对某一被测值，可由两位测量者进行测量、读数和记录。读数和记录。3粗大误差的判别方法粗大误差的判别方法 （1）物理判别法）物理判别法测量过程中，若发现测量值远远偏离正常的取值，应及测量过程中，若发现测量值远远偏离正常的取值，应及时分析和研究测量的各环节，找出造成粗大误差的原因。时分析和研究测量的各环节，找出造成粗大误差的原因。若发现某数据明显不符合物理规律，则应将该数据予以若发现某数据明显不符合物理规律，则应将该数据予以剔除。通常把这种直观分析、研究各测量环节来消除异剔除。通常把这种直观分析、研究各测量环节来消除异常值的方法称为物理判别法。常值的方法称为物理判别法。（2）统计判别法）统计判别法对于不明显的粗大误差，在测量过程中难以发觉，可在对于不明显的粗大误差，在测量过程中难以发觉，可在测量结束后，对所有的测量数据用统计方法进行判别检测量结束后，对所有的测量数据用统计方法进行判别检验。验。统计判别法的基本思想是根据误差出现的统计规律，统计判别法的基本思想是根据误差出现的统计规律，给定显著水平给定显著水平(或置信概率或置信概率)，确定一个相应的界限，凡，确定一个相应的界限，凡是超过这个界限的误差，就认为不属于随机误差范畴，是超过这个界限的误差，就认为不属于随机误差范畴，而是粗大误差，相应的测良值为异常值应剔除。而是粗大误差，相应的测良值为异常值应剔除。4.统计判别法的一般性检验过程统计判别法的一般性检验过程统计判别法的一般性检验过程如下；统计判别法的一般性检验过程如下；选择检验规则，计算统计量。选择检验规则，计算统计量。指定异常值检出的显著水平。指定异常值检出的显著水平。确定统计量的临界值。一般用显著水平和子确定统计量的临界值。一般用显著水平和子样容量样容量(或自由度或自由度)来确定。来确定。作出判断。即某测量值的统计量大于临界值，作出判断。即某测量值的统计量大于临界值，则为异常值。则为异常值。剔除异常值后，重新建立测量值的统计量，剔除异常值后，重新建立测量值的统计量，继续判断，直至没有异常值。继续判断，直至没有异常值。需注意，若判别出的异常值过多，应对样本的需注意，若判别出的异常值过多，应对样本的代表性进行检验，确认假设分布是否合理，所采代表性进行检验，确认假设分布是否合理，所采用的方法是否得当。用的方法是否得当。5统计法判别粗大误差的准则统计法判别粗大误差的准则在判别某个测得值是否含有相大误差时，要特别慎在判别某个测得值是否含有相大误差时，要特别慎重，应作充分的分析和研究，并根据判别准则予以确重，应作充分的分析和研究，并根据判别准则予以确定。通常用来判别粗大误差的准则有：定。通常用来判别粗大误差的准则有：（1）3准则准则(莱以特准则莱以特准则)最常用也是最简单的判最常用也是最简单的判别粗大误差的准则别粗大误差的准则 （2）罗曼诺夫斯基准则）罗曼诺夫斯基准则按按t分布的实际误差分布分布的实际误差分布范围来判别范围来判别，又称，又称t检验准则检验准则。（3）格罗布斯准则）格罗布斯准则按服从正态分布时的顺序统计按服从正态分布时的顺序统计量来判别。量来判别。（4）狄克松准则）狄克松准则用极差比的方法的顺序统计量来用极差比的方法的顺序统计量来判别。判别。（1）3准则准则(莱以特准则莱以特准则)对于某一测量列，若各测得值只含有随机误差，则对于某一测量列，若各测得值只含有随机误差，则根据随机误差的正态分布规律，其残余误差落在根据随机误差的正态分布规律，其残余误差落在3以以外的概率约为外的概率约为0.3，即在，即在370次测量中只有一次其残余次测量中只有一次其残余误差误差3。如果在测量列中，发现有大于。如果在测量列中，发现有大于3的残余误的残余误差的测得值，即差的测得值，即必须注意！必须注意！3准则是以测量次数充分大为前提，但通常测量准则是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数皆较少，因此次数皆较少，因此3准则只是一个近似的准则。准则只是一个近似的准则。（2-90） 例例1对某量进行对某量进行15次等精度测量，测得值如表所列，设这次等精度测量，测得值如表所列，设这些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。大误差的测得值。用用3准则判别粗大误差准则判别粗大误差用原始用原始15个数据计算个数据计算检查原始检查原始15个数据，发现第个数据，发现第8个数据不符合个数据不符合3准则准则即可判定它含有粗大误差，故将此测得值剔除。即可判定它含有粗大误差，故将此测得值剔除。再根据剩下的再根据剩下的14个测得值重新计算，得个测得值重新计算，得检查剩下的检查剩下的14个测得值的残余误差均满足个测得值的残余误差均满足3准则准则（2）罗曼诺夫斯基准则）罗曼诺夫斯基准则当测量次数较少时，按当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来分布的实际误差分布范围来判别粗大误差较为合理。罗曼诺夫斯基准则又称判别粗大误差较为合理。罗曼诺夫斯基准则又称t检验检验准则，其特点是首先剔除一个可疑的测得值，然后按准则，其特点是首先剔除一个可疑的测得值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。若认为测量值若认为测量值xj为可疑数据，将其剔除后计算平均值为可疑数据，将其剔除后计算平均值(计算时不包括计算时不包括xj)，并求得测量列的标准差，并求得测量列的标准差，然后再，然后再根据测量次数根据测量次数n和选取的显著度和选取的显著度a，即可由表查得，即可由表查得t分布分布的检验系数的检验系数K(n，a)。（2-91） 则认为测量值则认为测量值xj含有粗大误差，剔除含有粗大误差，剔除xj是正确的，是正确的，否则认为否则认为xj不合有粗大误差，应予保留。不合有粗大误差，应予保留。若若例例2用罗曼诺夫斯基准则试判别例用罗曼诺夫斯基准则试判别例1中是否含有粗大误差。中是否含有粗大误差。首先计算原始数据的算术平均值和残余误差值，找最大的残余误首先计算原始数据的算术平均值和残余误差值，找最大的残余误差值对应的测得值怀疑（第八测得值）含有粗大误差，将其剔除。差值对应的测得值怀疑（第八测得值）含有粗大误差，将其剔除。然后根据剩下的然后根据剩下的14个测量值计算算术平均值和标准差个测量值计算算术平均值和标准差注意！注意！N=15选取显著度选取显著度0.05，已知，已知n15，查表，查表212得得则则因因然后对剩下的然后对剩下的14个测得值进行判别，可知这些测得值个测得值进行判别，可知这些测得值不再含有粗大误差。不再含有粗大误差。（3）格罗布斯准则）格罗布斯准则设对某量作多次等精度独立测量，当设对某量作多次等精度独立测量，当xi服从正态分布服从正态分布时，将时，将xi按大小顺序排列成顺序统计量按大小顺序排列成顺序统计量x(i)格罗布斯导出了 及 的分布，取定显著度(一般为0.05或0.01)，可得如表213所列的临界值g0(n，)，而当 （2-92） 即判别该测得值含有粗大误差，应予剔除之。即判别该测得值含有粗大误差，应予剔除之。例例3用格罗布斯准则判别例用格罗布斯准则判别例1测量列中的测得值是否含测量列中的测得值是否含有粗大误差。有粗大误差。解：将测得值排序，得下表将测得值排序，得下表得到得到计算算术平均值计算算术平均值和方差和方差今有两测得值今有两测得值x(1)，x(15)可怀疑，但由于可怀疑，但由于故应先怀疑故应先怀疑x(1)，是否含有粗大误差，是否含有粗大误差计算计算取显著度=0.05 ,查表2-13 得因因第八个测得值含有粗大误差，应于剔除。第八个测得值含有粗大误差，应于剔除。结论结论：对剩下对剩下14个数据，再重复上述步骤，判别是否含个数据，再重复上述步骤，判别是否含有粗大误差。有粗大误差。重新计算算术平均值和方差，得重新计算算术平均值和方差，得取显著度取显著度=0.05,查表查表2-13得得,因因故可认为新测量列的测得值已不含粗大误差故可认为新测量列的测得值已不含粗大误差（4）狄克松准则）狄克松准则当当xi服从正态分布时，得到顺序统计量服从正态分布时，得到顺序统计量x(i)的的关于关于x(n)和和x(1)的两组统计量分布的两组统计量分布 选定显著度，得到各统计量的临界值r0(n，)(表214)，当测量的统计值rij大于临界值，则认为x(n)或x(1)含有粗大误差。 (2-93)(2-94)不同不同n值时，值时，rij的选择的选择 狄克松认为，为了提高判断的可靠性，应根据狄克松认为，为了提高判断的可靠性，应根据不同的测量次数，选定不同的统计量进行判别。不同的测量次数，选定不同的统计量进行判别。n7时，使用时，使用r10效果好；效果好；8n10时，使用时，使用rll效果好；效果好；11n13时，使用时，使用r21效果好效果好n14时，使用，时，使用，r22效果好效果好。 前面三种粗大误差判别准则均需先求出标准差前面三种粗大误差判别准则均需先求出标准差，在，在实际工作中比较麻烦，而狄克松准则避免了这一缺点。实际工作中比较麻烦，而狄克松准则避免了这一缺点。它是用极差比的方法，得到简化而严密的结果。它是用极差比的方法，得到简化而严密的结果。例例4用用狄克松准则狄克松准则判别例判别例1测量列中的测得值是否含有粗测量列中的测得值是否含有粗大误差大误差。解解：将测得值排序，得下表：将测得值排序，得下表首先判断最大值首先判断最大值x(15)因因n15，故按式，故按式(293)计算统计量计算统计量r22：查表214得因有故可判定故可判定x(15)不合有粗大误差。不合有粗大误差。再判别最小值再判别最小值x(1)因因n15，故按式，故按式(294)计算统计量计算统计量r22：查表214得因有故，可判定故，可判定x(l)，含有粗大误差，应予剔除。，含有粗大误差，应予剔除。对剩下对剩下14个数据，再重复上述步骤，可判定个数据，再重复上述步骤，可判定均不再含有粗大误差。均不再含有粗大误差。例例5对某一长度测量对某一长度测量10次次(单位：单位：mm)，得到数据为，得到数据为试用狄克松准则和格罗布斯准则分别判断测量值中试用狄克松准则和格罗布斯准则分别判断测量值中是否含有粗大误差。是否含有粗大误差。解解 按大小顺序将测量值排序为按大小顺序将测量值排序为测值xi顺序号x(i)测值xi顺序号x(i)20.46120.51820.47220.531020.48320.50720.49520.51920.48420.496（1）用狄克松准则）用狄克松准则因为因为nl0，故选用，故选用r1l判别，若选定显著水平判别，若选定显著水平0.05，则查表则查表2-14得得而对于r(10) 对于r(1)显然，显然，r110.33或或0.2均小于均小于r0(10，0.05)0.477，因此因此10个数据中没有粗大误差。个数据中没有粗大误差。（2）用格罗布斯准则）用格罗布斯准则计算计算=20.492 =0.021 查表2-13 得 g（0）(10,0.05)=2.18 因因g（1）=1.52和和g（10）=1.81均小于均小于g（0）=2.18故可判定故可判定10个数据中没有粗大误差。个数据中没有粗大误差。 小结：小结： 1.3准则适用大样本情形准则适用大样本情形(n50),即测量次数即测量次数较多的测量列，使用该准则最简单方便。但一般较多的测量列，使用该准则最简单方便。但一般情况的测量次数皆较少，因而这种判别准则的可情况的测量次数皆较少，因而这种判别准则的可靠性不高，但它使用时不需查表，故在要求不高靠性不高，但它使用时不需查表，故在要求不高时经常应用。时经常应用。若需要从测量列中迅速判别含有粗大误差的测若需要从测量列中迅速判别含有粗大误差的测得值，还可采用狄克松准则。得值，还可采用狄克松准则。2.对测量次数较少而要求较高的测量列，应采对测量次数较少而要求较高的测量列，应采用罗曼诺夫斯基准则、格罗布斯准则或狄克松准用罗曼诺夫斯基准则、格罗布斯准则或狄克松准则等，其中以格罗布斯准则的可靠性最高，通常则等，其中以格罗布斯准则的可靠性最高，通常测量次数测量次数n20100，其判别效果较好。当测量，其判别效果较好。当测量次数很小时，可采用罗曼诺夫斯基准则。次数很小时，可采用罗曼诺夫斯基准则。3.在较为精密的实验场合，可以选用二、三在较为精密的实验场合，可以选用二、三种准则同时判断。当一致任为某值应剔除或保种准则同时判断。当一致任为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种方法的判断结果有矛盾时、则应慎重考察、一方法的判断结果有矛盾时、则应慎重考察、一般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的样本方差只是偏大算出的样本方差只是偏大点，这样较为安全。点，这样较为安全。另外，可以再增添测量次数，以消除或减少它另外，可以再增添测量次数，以消除或减少它对平均值的影响。对平均值的影响。4.按上述准则若判别出测量列中有两个以上按上述准则若判别出测量列中有两个以上测得值含有粗大误差，此时只能首先剔除含有测得值含有粗大误差，此时只能首先剔除含有最大误差的测得值，然后重新计算测量列的算最大误差的测得值，然后重新计算测量列的算术乎均值及其标准差，再对余下的测得值进行术乎均值及其标准差，再对余下的测得值进行判别，依此程序逐步剔除，直至所有测得值皆判别，依此程序逐步剔除，直至所有测得值皆不含粗大误差时为止。不含粗大误差时为止。第四节第四节测量结果的数据处理步骤测量结果的数据处理步骤及实例及实例对某量进行等精度或不等精度直接测对某量进行等精度或不等精度直接测量，为了得到合理的测量结果，应按前量，为了得到合理的测量结果，应按前述误差理论对各种误差进行分析处理，述误差理论对各种误差进行分析处理，现以实例分别说明等精度直接测量和不现以实例分别说明等精度直接测量和不等精度直接测量的测量结果数据处理方等精度直接测量的测量结果数据处理方法与步骤。法与步骤。 一、等精度直接测量列的数据处理步骤一、等精度直接测量列的数据处理步骤 1判断有无系统误差，并尽量减小其影响判断有无系统误差，并尽量减小其影响根据发现系统误差的各种方法，检验测量数根据发现系统误差的各种方法，检验测量数据列中是否含有系统误差，并根据系统误差的据列中是否含有系统误差，并根据系统误差的性质，采取相应的实验技巧或数据处理方法加性质，采取相应的实验技巧或数据处理方法加以修正、减小或消除。以修正、减小或消除。2判断粗大误差，检验数据的合理性判断粗大误差，检验数据的合理性根据判别准则根据判别准则(如莱以特准则、罗曼诺夫斯基如莱以特准则、罗曼诺夫斯基准则、格罗布斯准则等等准则、格罗布斯准则等等)，对测量数据的合理，对测量数据的合理性进行检验，发现含有粗大误差的测量数据后，性进行检验，发现含有粗大误差的测量数据后，将该数据剔除，再将剩余数据进行判别，直到将该数据剔除，再将剩余数据进行判别，直到没有粗大误差为止。没有粗大误差为止。3求算术平均值求算术平均值将经检验后不包含系统误差及粗大误差的测将经检验后不包含系统误差及粗大误差的测量值，求算术平均值量值，求算术平均值4求残差求残差根据各测量数据及算术平均值，计算出残差根据各测量数据及算术平均值，计算出残差5校核算术平均值及其残余误差校核算术平均值及其残余误差理论上：理论上：实际应用：实际应用：当当n为偶数时为偶数时式中的式中的A为实际求得的算术平均值末位数的为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。一个单位。当当n为奇数时为奇数时（式（式2-11）（2）用残差计算）用残差计算 贝塞尔贝塞尔(Bessel)法法别捷尔斯法（别捷尔斯法（Peters）其它方法，如极差法其它方法，如极差法和最大误差法等和最大误差法等 6计算测量列单次测量的标准差计算测量列单次测量的标准差 （1）用真差计算）用真差计算 （式（式2-12）（式（式2-18）（式（式2-26）8计算算术平均值的极限误差计算算术平均值的极限误差 式中式中t为置信因子，可根据不同分布确定。一般测量次为置信因子，可根据不同分布确定。一般测量次数较少时，可按数较少时，可按t分布。此时，置信因子分布。此时，置信因子t与置信概率和与置信概率和测量次数有关。测量次数有关。 9表示测量结果表示测量结果最后测量结果通常用算术平均值及其极限误差来表示最后测量结果通常用算术平均值及其极限误差来表示7计算算术平均值的标准差计算算术平均值的标准差 （式（式2-21）（式（式2-37）等精度直接测量列测量结果的数据处理实例等精度直接测量列测量结果的数据处理实例对某一轴径等精度测量对某一轴径等精度测量9次，得到下表数据，求测量结果。次，得到下表数据，求测量结果。假定该测量列不存在固定的系统误差，则可按下列步假定该测量列不存在固定的系统误差，则可按下列步骤求测量结果。骤求测量结果。1求原全部测值的算术平均值求原全部测值的算术平均值2求原全部测值的残余误差求原全部测值的残余误差求各测得值的残余误差，并列于表中求各测得值的残余误差，并列于表中3校核算术平均值及其残余误差校核算术平均值及其残余误差N=9为奇数，根据残余误差代数和校核规则，故为奇数，根据残余误差代数和校核规则，故用规则用规则2进行校核进行校核因故以上计算正确。故以上计算正确。若发现计算有误，应重新进行上述计算和校核。若发现计算有误，应重新进行上述计算和校核。4求测量列单次测量的标准差求测量列单次测量的标准差根据贝塞尔公式计算标准差根据贝塞尔公式计算标准差5判断系统误差判断系统误差（2）检查是否有线性系统误差）检查是否有线性系统误差用残余误差校核法（马利科夫准则用残余误差校核法（马利科夫准则 ） 若按残余误差校核法，因n9，则因差值因差值较小，故可判断该测量列无线性系统误差存在。较小，故可判断该测量列无线性系统误差存在。（1）先用观察法进行初步判断）先用观察法进行初步判断 根据残余误差观察法，由上表可以看出误差符号大体上正负相同，且无显著变化想律因此可初步判断该测量列无变化的系统误差存在。（3）检查是否有周期性系统误差）检查是否有周期性系统误差 使用阿卑赫梅特准则 若则认为该测量列中含有则认为该测量列中含有周期性系统误差周期性系统误差 因 u=0.00006=0.000024故可认为测量列可能含有周期性系统误差。故可认为测量列可能含有周期性系统误差。需要进一分析和消除。需要进一分析和消除。（4）用不同公式计算标准差比较法检查系统误差）用不同公式计算标准差比较法检查系统误差用贝塞尔公式计算标准差用贝塞尔公式计算标准差用别捷尔斯法（用别捷尔斯法（Peters）计算标准差）计算标准差两种方法计算的标准差比值为两种方法计算的标准差比值为故可判断该测量列无系统误差存在。故可判断该测量列无系统误差存在。因因6判别粗大误差判别粗大误差根据根据3判别准则的适用特点，本实例测量轴径的次数较少，因判别准则的适用特点，本实例测量轴径的次数较少，因而不采用而不采用3准则来判别粗大误差。准则来判别粗大误差。现按格罗布斯判别准则，将测得值按大小顺序排列现按格罗布斯判别准则，将测得值按大小顺序排列后有后有首先判别，首先判别，x(9)是否含有粗大误差是否含有粗大误差取显著度 =0.05,查表213得因因故可判别测量列不存在粗大误差。故可判别测量列不存在粗大误差。 若发现测量列存在若发现测量列存在粗大误差，应将含有粗大误差，应将含有粗大误差的测得值剔粗大误差的测得值剔除，然后再按上述步除，然后再按上述步骤重新计算，直至所骤重新计算，直至所有测得值皆不包含粗有测得值皆不包含粗大误差时为止。大误差时为止。7求算术平均值的标准差求算术平均值的标准差8求算术平均值的极限误差求算术平均值的极限误差因为测量列的测量次数较少，算术平均值的极因为测量列的测量次数较少，算术平均值的极限误差按限误差按t分布计算分布计算根据式根据式(239)求得算术平均值的极限误差为求得算术平均值的极限误差为9写出最后测量结果写出最后测量结果用算术平均值及其极限误差来表示，即二、非等精度直接测量列的数据处理步骤二、非等精度直接测量列的数据处理步骤 对于非等精度直接测量得到的数据对于非等精度直接测量得到的数据x1，x2,xm,如如果不存在系统误差和粗大误差，可按以下步骤求取测果不存在系统误差和粗大误差，可按以下步骤求取测量结果。量结果。 1.确定测量数据的权确定测量数据的权 对单次测量精度皆相同，其标准差均为的有m组不等精度的测量，则有 pini 各组算术平均值的标准差为 (式2-40)2求加权算术平均值和各组算术平均值的标准差求加权算术平均值和各组算术平均值的标准差(式2-44) 或(式2-46) 式中的式中的x0为接近为接近i的任选参考值。的任选参考值。3求残余误差并进行校核求残余误差并进行校核 用加权残余误差代数和等于零校核加权算术平均值及其残余误差的计算是否正，即4求加权算术平均值的标准差求加权算术平均值的标准差(2-49) 5求加权算术平均值的极限误差求加权算术平均值的极限误差6写出最后测量结果写出最后测量结果 本章作业题本章作业题教材本章习题教材本章习题 2-8 2-9 2-13 2-17 2-18 2-20