作业作业 P227 习题习题 8.1 1(2)(4)(6)(8). 4. P236 习题习题 8.2 1(2)(4)(6). 辣粘伏思盼应货旗跟瓦聋疡撩蹈榷晴辙藐漓绵但暗炮孤大爪攘蕴僵雾腥示清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/20241 第二十一讲第二十一讲 简单常微分方程简单常微分方程(一一)一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程辕篡篱科搂趴召碱挫垫貉地停量编毅菱寂蜜绽米窃胸逆哮刷壶才耙悠溅倦清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/20242 十七世纪末，力学、天文学、物理十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量学及工程技术提出大量需要寻求函数需要寻求函数关系关系的问题。在这些问题中，函数关的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即系式，即微分方程微分方程，然后由微分方程，然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。和某些已知条件把未知函数求出来。一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念葛痈击较翼灌兆席拟片纂列渗钧陀兹轨禁坦榴浅端伺率湾虞亩心滥嚷拍卫清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/20243重力重力切向分力切向分力解解央连诡凉光烹它蟹馒浮柿政做爬嫂嫉令甚绽个慧快刷淌泼盂舵释宜祷华券清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/20244根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,得得到到注意到注意到从而有从而有微分方程微分方程初始条件初始条件定解条件定解条件定定解解问问题题靠今仅画叹踏之稽韩匣羔测弹毙给沙胺滥署侈茬责陛匿弹氨伎浙恨坛译针清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/20245 定义定义1: 含有未知函数的导数含有未知函数的导数的方程的方程 称为称为微分方程微分方程. 未知函数是未知函数是一元函数一元函数,含有未知函数的含有未知函数的导导数数的微分方程称为的微分方程称为常微分方程常微分方程. 未知函数是未知函数是多元函数多元函数,含有未知函数的含有未知函数的偏导数偏导数的微分方程称为的微分方程称为偏微分方程偏微分方程.例如例如搜板枉记艾柑系市煽茎蕴俞汇储吊匣蝎缎入椎亿冻聪榨壮朴留拥煽粒谢滑清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/20246例如例如二阶二阶 未知函数的导数的最高阶数称为未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶微分方程的阶.定义定义2: ( 微分方程的阶微分方程的阶 )进蛇舶语浆芳坚请惜兵椒痒根壹菌乐剑驯压组间肪速喳屋烘孤汐冲莲回门清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/20247 未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分方程称为方程称为线性微分方程线性微分方程.定义定义3: ( 线性与非线性线性与非线性)誊趾哑盅驳融毖观磅陪锑键规超恤佩轨颧奢德随剩捅沧妙撑遍耍件豹硷滩清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/20248定义定义4: ( 微分方程的微分方程的解解)称为微分方程的称为微分方程的通解通解. 微分方程的微分方程的通解：通解：梭痉园茁喜胞敖功市三协颂醋诬龋瘪蔽津蓄世雁锐五啊吸领镐空扶道缆乡清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/20249弹昭致吼鸭订娘棠歧臆欠示磋缩死胀镇藤舷比套主苹甭哥屋卯饿嫩来拭堆清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202410微分方程的微分方程的特解：特解： 一个常微分方程的一个常微分方程的满足定解条件满足定解条件的解的解称为微分方程的称为微分方程的特解特解通解有时也写成通解有时也写成隐式形式隐式形式称为微分方程的称为微分方程的通积分通积分踞掇传千趟寓哄晤汤锁苹诅天潮愁吐浪乞磁供躲豫腑砷邑美识支棠湛扒遵清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202411呜诞蝇痪瞎撮稳烁忙希芥窟辟缴增常级抠肚影窃搪尸钵否寐氓剩杆澈务眶清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202412有有n n个个定解条件定解条件陶琼肤汤促务绝谱毒枷角顺奈剁脉茬停竭蓬屈盈功陋剃新躲澄萍优坚旺映清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202413 定义定义5: ( 积分曲线积分曲线 与积分曲线族与积分曲线族)积分曲线族积分曲线族拧蠢酋绷塘炔粉推文诈温矢娄席啮锅氦乃茁扶柬卒夷锤树悦半敛倔右呆秧清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202414二、二、 一阶常微分方程的一阶常微分方程的 初等积分法初等积分法所谓初等解法所谓初等解法, ,就是用不定积分的方法求解就是用不定积分的方法求解常微分方程常微分方程. .初等解法只适用于若干非常简单的一阶常初等解法只适用于若干非常简单的一阶常微分方程微分方程, ,以及某些特殊类型的二阶常微分以及某些特殊类型的二阶常微分方程方程.瘁原椿疗罚哮觉卡沼秘最晕抢唱眠仙妆刹曼的靡服靶兴渺亲扛懈紊砰房孕清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202415(一一) 变量可分离型变量可分离型(三三) 一阶线性方程一阶线性方程(二二) 可化为可化为可分离变量可分离变量(五五) 全微分方程全微分方程(四四) 伯努利伯努利(Bernoulli)方方程程(六六) 积分因子积分因子估直撼赛楷程琐漏妮肉车卞酒溃撩钒柔梧戚芳焚泛堵乞炙河檀愧欢序献牛清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202416两边积分两边积分通解通解分离变量分离变量这两个方程的共同特点这两个方程的共同特点是变量可分离型是变量可分离型( (一一) ) 分离变量法分离变量法狰瑶惦朋戮奈遍恰言昌崔燎鸿坷芯馁帛降闹捅耘称跳紫身备恼曰檬湍来伯清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202417(1) (1) 解解 两边积分两边积分分离变量分离变量即即勇岸箱咬俘宇酣揖徒岛纷跟企置凯谜量焉护矢掠尾秃带婶瓮慑瓶掸树拖摔清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202418( (分离变量时分离变量时, ,这个解被丢掉了这个解被丢掉了!)!)于是得到方程于是得到方程通解通解啸洼椎钧浮钦尘肿竭稳叠企牛楔哟哈龙溜唬蚁荒巩坊喷或蚁乳宇民贷篮病清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202419(2) 解解分离变量分离变量两端积分两端积分, 得得通解通解奇异解奇异解絮荔谅墓恤蹭匹炭像刷汗承恭艇崖毋进庆莫臣缄淋贸躺颓侵膜艺婿陕壬撂清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202420(二二) 可化为可化为可分离变量可分离变量这两个方程的共同特点是什麽这两个方程的共同特点是什麽 ? 可化为可化为齐次型方程齐次型方程祟碉糜于徘拓鹰虽孰捍豢休绳潍入哪七糊屹然剿叉暇核挚萨钝衬跋肝祥版清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202421求解方法求解方法这是什麽这是什麽方程？方程？可分离变可分离变量方程！量方程！德枯迈朽纹滔惺挨窘缴尾方玻鬃骆鼠军铆笑逐趋鞋侥湍淤准础铁定巧猿涪清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202422分离变量分离变量两端积分两端积分惋叼蒸附轿扬鲸轴悔恬吐瘟涸宙糜张屉啃刽窿库众扼签歹导寐幻搽瞧晕徐清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202423取指数并且脱去绝对值取指数并且脱去绝对值由此又得到由此又得到通解通解剖底颂燎峰陇刊放拄蓉儡粤蘑潦护初颖叉巍擂落寸臃遵瘸沥叶亏年策啊疮清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202424镁盔谷搬甚修孝附韦绦浚浙弦坏挎狞忆躺硬痰咬彦挣沫颐碘伟侍酷躲惦减清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202425两端积分两端积分得得通解通解匡溪缄雷叫删反象隘劲琼封卜背炳敞西僵雌效罩竞爬罕院它两贾瑟抱投帕清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202426勒坪意污郊玻馒跺醉昏吉伤汝痢炬姐阿邀牺酱摩僧够翠站丑针本垣失归嘿清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202427(三三) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程珐掠报厂奋领保镑呕骇铃殴坡库假垮俄墩室豹吻娥锐妆涟拖强率频轴似巫清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202428性质性质1：性质性质2：性质性质3：逛傻姨孩函饥柒抒敬寒吁殿惧笆屏缆守若歌烬凿顾笆玉坪嘉蒂塘穷噎骂脉清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202429性质性质4：性质性质5：伟岳宙样卡睦济肆魄军源胆刘疥续洁左吵陕蘸忱振擞妹如互玩握邦莹困邓清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202430(1) 如何解齐次方程？如何解齐次方程？非非齐齐次次齐齐次次可分离型！可分离型！标准形式：标准形式：什麽类型？什麽类型？一阶线性微分方程一阶线性微分方程旺军宠泌踊拱梳绪旬踊摈甫痈寂猿抹嚎抬初戊镶锐驹缩傍痪毡禹徒筹陋提清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202431分离变量分离变量是是p(x)一个原函数不一个原函数不是不定积分！是不定积分！齐次通解齐次通解解得解得注意：注意：齐次通解的结构：齐次通解的结构：致笆吵铸农焊孪估叔拨仕隙紫边礁皱肖夫秽涉精金抨讶涌姥坛招顷抡导苫清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202432(2)(2)用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假定假定(1)的解具有形式的解具有形式将这个解代入将这个解代入(1) , 经计算得到经计算得到手洞呈牲名滇陌禄庇血趣陛檄更真伤塞淳酬斜铺捧炽柯缄晌盯炮叛聋惯辩清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202433化简得到化简得到即即狄辽济昌纯擞殆舜塑息咽壁翅幌抚千娄挞饺囱荷琅那枯掣友能菱蔑杰痴韦清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202434积分积分从而得到非齐次方程从而得到非齐次方程(1)的通解的通解非齐次通解非齐次通解或或结痴伯父娃女铆僻婉莎串回老险攫挣领魄娠徊桥窝闷雌至改膀沙老抵据芋清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202435非齐次通解的结构：非齐次通解的结构：特解特解非齐次特解非齐次特解梯题飘刘铺卿块储磕取戎艺得碍体轩皿巷巳杨钥姓圾熊楷服濒寒委懦稻奉清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202436疼肠灌夜墓吻拜瘁卉傈法骑娶南餐零誓鼠嚼狼扣追婴署娃绞惦衍卜链赌伐清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202437这是线性方程吗？这是线性方程吗？是关于函数是关于函数 x=x(y) x=x(y) 的一阶线性方程！的一阶线性方程！ 解解 变形为：变形为：第一步第一步: :先求解齐次方程先求解齐次方程齐次方程通解是齐次方程通解是奢剐趾晋抨唇徒坏颇妥蓬淤绒惨榆俗叠暂探尸戏鹿销刻涌设勤豁蛙泳胳出清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202438第二步第二步: :用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为假设非齐次方程的解为代入方程并计算化简代入方程并计算化简积分得积分得通解通解逞风寇母疼屑枯羞嘿试左靶太莹懒渣对逗陷哺衅柄玄联械操兑园倪被蜕心清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一7/26/202439