线性代数线性代数（第（第六六版）版）同济大学数学系同济大学数学系.线性代数线性代数M.第六版第六版.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2014.课程简介：课程简介： “线性代数线性代数”是一门本科阶段必修的主干课程，课程内容是一门本科阶段必修的主干课程，课程内容主要包括矩阵和向量的基本理论、基本方法及它们在解方程主要包括矩阵和向量的基本理论、基本方法及它们在解方程组中的应用。组中的应用。 通过本课程的学习，一方面使学生比较系统的理解线性通过本课程的学习，一方面使学生比较系统的理解线性代数的基本概念和基本理论，掌握基本方法，为今后的专业代数的基本概念和基本理论，掌握基本方法，为今后的专业学习打下良好的数学基础。另一方面培养学生抽象思维能力、学习打下良好的数学基础。另一方面培养学生抽象思维能力、空间想象能力、综合运用所学的知识来分析和解决实际问题空间想象能力、综合运用所学的知识来分析和解决实际问题的能力。的能力。第一章第一章 行列式行列式n内容提要内容提要1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 全排列和对换全排列和对换3 3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义4 4 行列式的性质行列式的性质5 5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 行列式的概念行列式的概念. .行列式的计算行列式的计算. .在以往的学习中，我们接触过二在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组元、三元等简单的线性方程组. .但是，从许多实践或理论问题里但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等与方程的个数也不一定相等. .我们先讨论未知量的个数与方程我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形的个数相等的特殊情形. .在讨论这一类线性方程组时，我在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具们引入行列式这个计算工具. .1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式. .一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 由消元法，得由消元法，得当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 求解公式为求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.其求解公式为其求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”. .记号记号 数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即其中，其中， 称为称为元素元素. .i 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原则：横行竖列原则：横行竖列二阶行列式的计算二阶行列式的计算 主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 对角线法则对角线法则 二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为例例1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解 因为因为 所以所以 二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则：横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式. .主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. . 实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号. .例例2 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有方程左端方程左端解解由由 得得例例3 求解方程求解方程 练习练习1 1：利用对角线法则计算下列三阶行列式：利用对角线法则计算下列三阶行列式：2 全排列及其对换全排列及其对换主要内容：主要内容：一、排列及其逆序数一、排列及其逆序数二、对换的定义二、对换的定义三、对换与排列奇偶性的关系三、对换与排列奇偶性的关系引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3 3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32 2种放法种放法1 1种放法种放法种放法种放法. .共有共有一一、排列及其逆序数排列及其逆序数问题问题 把把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元个元素的素的全排列全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示表示.显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n! 种不同的排法种不同的排法.所所有有6种种不不同同的的排排法法中中，只只有有一一种种排排法法（123）中中的的数数字字是是按按从从小小到到大大的的自自然然顺顺序序排排列列的的，而而其其他他排排列列中中都都有有大大的的数排在小的数之前数排在小的数之前. .因因此此大大部部分分的的排排列列都都不不是是“顺顺序序”，而是而是“逆序逆序”. . 3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3! =6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，32125对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个就称这两个元素组成一个逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：3和和1，2和和1也构成逆序也构成逆序.定义定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.排列排列 的逆序数通常记为的逆序数通常记为 . .奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列. .偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列. .思考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：答：符合标准次序的排列（例如：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. .计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;例例1：求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解：解：练习练习1 1：求排列求排列 453162 的逆序数的逆序数.解：解：思考思考1 1：设设n阶排列阶排列a1 a2 an-1 an的逆序数为的逆序数为k，求，求n阶排列阶排列an an-1 a2 a1的逆序数？的逆序数？解：解：练习：计算下列排列的逆序数，并讨论其奇偶性练习：计算下列排列的逆序数，并讨论其奇偶性二二、对换的定义、对换的定义定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如 备注备注1.1.相邻对换是对换的特殊情形相邻对换是对换的特殊情形. . 2.2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. . 3.3.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. . m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 三三、对换与排列奇偶性的关系、对换与排列奇偶性的关系定理定理1 1对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. . 证明证明先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变. .当当 时，时， ， ， . . 当当 时，时， ， ， . . 因此相邻对换改变排列的奇偶性因此相邻对换改变排列的奇偶性. . 既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. .推论推论 奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数， 偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数. . 由定理由定理1 1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列数，而标准排列是偶排列( (逆序数为零逆序数为零) )，因此可知推论，因此可知推论成立成立. .证明证明 例例1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. 行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.例例2 用行列式的定义计算用行列式的定义计算 解解1. 对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性2. 行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义第第1 1章章 行列式行列式1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.2 1.2 全排列和对换全排列和对换1.3 n1.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义1.4 1.4 行列式的性质行列式的性质1.5 1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开一、概念的引入一、概念的引入规律：规律：1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1、2、3的某个排列的某个排列. .4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 其中其中 表示对表示对1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. 二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形. 二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义1. n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列. .4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 简记作简记作 ，其中其中 为行列式为行列式D的的( (i, j) )元元思考题：思考题： 成立成立吗？吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则 ；若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 . .注意：注意：当当n = 1时，一阶行列式时，一阶行列式|a| = a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . 例：例：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 的项的项. . 例：例：计算行列式计算行列式解：解：和和解：解：其中其中 四个结论：四个结论：(1) (1) 对角行列式对角行列式 (2) (2) (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）(4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）思考题：思考题：用定义计算行列式用定义计算行列式解：用树图分析解：用树图分析-1-11 13 33 31 12 23 3-1-1-2-2-2-2-1-1故故1130230021011210-=D思考题思考题已知已知 ，求，求 的系数的系数. 故故 的系数为的系数为1.解解含含 的项有两项，即的项有两项，即对应于对应于三、三、n 阶行列式定义的进一步讨论阶行列式定义的进一步讨论因为数的乘法是可以交换的，因为数的乘法是可以交换的，所以所以 n 个元素相乘的次个元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与与 都同时作一次对换，即都同时作一次对换，即 与与 同同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性奇偶性不变不变. . 于是于是 与与 同时为奇数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数. . 即即 是偶数是偶数. . 因为对换改变排列的奇偶性，因为对换改变排列的奇偶性， 是奇数，是奇数， 也是奇数也是奇数. . 设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为 . . 所以所以 是偶数，是偶数， 因此，交换因此，交换 中任意两个元素的位置后，其中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变. .设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. . 所以，所以，在一系列对换之后有在一系列对换之后有定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 例例1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. 行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.例例2 用行列式的定义计算用行列式的定义计算 解解小结小结： 行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法1.41.4行列式的性质行列式的性质第第1 1章章 行列式行列式1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.2 1.2 全排列和对换全排列和对换1.3 n1.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义1.4 1.4 行列式的性质行列式的性质1.5 1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. . 若记若记 ，则，则 .记记性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 .性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .证明证明根据行列式的定义，有根据行列式的定义，有若记若记 ，则，则行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. .性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .验证验证于是于是推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . 备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 . .性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式. .验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 . .推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 . .验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,例如第例如第i行的元素都是两数之和：行的元素都是两数之和：则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 . .例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值解解例例2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得例例3 设设 证明证明 证明证明对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式故故 ( (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位, , 凡是对行成立的性质对列也同样成立凡是对行成立的性质对列也同样成立).). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)(1)利用定义利用定义;(2);(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值行列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6 6个性质个性质6 行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. .本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式. .一、引言结论结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示. .思考题思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如例如 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 . 结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. .引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘积，即积，即 例如例如 即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时, ,（根据（根据P.14例例10的结论）的结论）我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？答：答：不能不能. . 被调换到第被调换到第1行，第行，第1列列二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即同理可得同理可得例例（P.17例例7续）续） 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法例例1212 证明范德蒙德证明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式所以所以n=2时时(1)式成立式成立.假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有 n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例. . 把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则 定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得例例 计算行列式计算行列式解解例例1313 设设 , , 的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用及及解解