第 4 讲 轨迹与方程求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立 x、y 之间的关系 f(x，y)0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(4)代入转移法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x、y 的代数式表示 x0、y0，再将 x0、y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x、y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程DD3已知ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶点 A 的轨迹方程为_.4在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线关于 x 轴对称，顶点在原点 O，且过点 P(2,4)，则该抛物线的方程是_.5动点 P 到两坐标轴的距离之和等于 2，则点 P 的轨迹所围成的图形面积是_.(x10)2y236(y0)y28x8考点 1直接法求轨迹方程例 1：如图 1242，已知O 的半径为 3，直线 l 与O相切，一动圆与 l 相切，并与O 相交的公共弦恰为O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程图 1242解题思路：问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件是关注的焦点解析：取过 O 点且与 l 平行的直线为 x 轴，过 O 点且垂直于 l 的直线为 y 轴，建立直角坐标系设动圆圆心为 M(x，y)，O 与M 的公共弦为 AB，M与 l 切于点 C，则|MA|MC|.AB 为O 的直径，MO 垂直平分 AB 于 O.由勾股定理得|MA|2|MO|2|AO|2x2y29，而|MC|y3|，化简得 x26y，这就是动圆圆心的轨迹方程求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系【互动探究】1如图 1243，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1、l2.若l1 交 x 轴于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程图 1243考点 2 定义法求轨迹方程解题思路：运用圆锥曲线的定义和圆的几何性质判断轨迹形状后，再根据已知求解解析：两定圆的圆心和半径分别为 O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R.|MO1|MO2|10.由椭圆的定义知：M 在以 O1、O2为焦点的椭圆上，且 a5，c3.b2a2c225916，若根据条件得出动点的轨迹特征符合某一基本轨迹的定义，可由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程【互动探究】2已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程图 1244解：如图 1244，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|AC1|MA|，考点 3 代入法求轨迹方程【互动探究】3设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹错源：利用参数法求轨迹方程时忽略了特殊情况例 4：如图 1245，已知点 C 的坐标是(2,2)，过点 C 的直线 CA 与 x 轴交于点 A，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB与 y 轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点，求点 M 的轨迹方程图 1245【互动探究】例 5：已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.(1)求椭圆 C 的方程；D点评：本小题利用了代入转移法，也叫相关点法，即根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程A圆B椭圆C双曲线D抛物线【互动探究】值得注意的几点：(1)如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化(2)在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式”、“求变量范围构造不等关系”等等(3)如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化