第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学1一、导数定义一、导数定义 第一种形式：第一种形式：第二种形式：第二种形式：导数的几何意数的几何意义：切：切线的斜率；的斜率； 内容提要内容提要2二、求导法则二、求导法则 基本初等函数的基本初等函数的导数；数； 导数的四数的四则运算；运算；反函数、复合函数求反函数、复合函数求导；隐函数求函数求导；高高阶导数数, ,几个几个简单函数的函数的n阶导数：数：3三、中值定理三、中值定理费马引理引理, ,罗尔尔中中值定理定理, ,拉格朗日中拉格朗日中值定理定理, ,柯西中柯西中值定理定理. . 四、导数的应用四、导数的应用洛必达法则洛必达法则求极限的重要方法求极限的重要方法. .利用函数的一阶导数研究函数的单调性及其极值利用函数的一阶导数研究函数的单调性及其极值. .利用函数的二阶导数研究函数的凹凸性及其拐点利用函数的二阶导数研究函数的凹凸性及其拐点. .最大最大值、最小、最小值问题. . 4渐近线问题：渐近线问题：5典型例题典型例题解解例例1 1题型题型1 1：导数的定义：导数的定义6解解例例2 2连续： 可可导： 7解解例例3 38例例4 4(98(98二二3 3 ) )（A A）3 3 （B B）2 2 （C C）1 1 （D D）0 0分析分析解解类题类题(92(92二二3)3) 9例例5 5解解(99(99二二3 3 ) )（A A）极限不存在极限不存在（B B）极限存在但不连续极限存在但不连续（C C）连续但不可但不可导（D D）可可导 选( (D).D).10解解例例6 61112所以所以1314解解例例7 7(1)(1)15(2)(2)及时分离非零因子及时分离非零因子16例例8 8解解17所以，所以，( (A) (B) (C)A) (B) (C)都正确，故选都正确，故选( (D). D). 18例例9 9解解 ( (A)A)，(B)(B)两项中分母的极限为两项中分母的极限为0 0，19存在存在. .【答案】【答案】 应选( (D D) )。 反例：反例： 存在，存在，20题型题型2 2：利用导数求曲线的切线和法线方程：利用导数求曲线的切线和法线方程 解解例例1 1所以所求切所以所求切线方程方程为 21解解例例2 222题型题型3 3：一般导函数的计算：一般导函数的计算解解例例1 1先化先化简， 所以所以23例例2 2解解用用对数求数求导法法, ,24解解例例3 3(1)(1)式两边再关于式两边再关于x求导：求导：25解解例例4 426例例5 5解解先先用待定系数法用待定系数法分解分解，另另: :27例例6 6解法解法1 1 由由Leibniz公式：公式：得得28解法解法2 2由麦克由麦克劳林公式林公式, ,得得例例6 629题型题型4 4：可导、连续与极限的关系：可导、连续与极限的关系 解解例例1 1（A A）极限不存在极限不存在（B B）极限存在但不极限存在但不连续（C C）连续但不可但不可导（D D）可可导 30解解例例1 1（A A）极限不存在极限不存在（B B）极限存在但不极限存在但不连续（C C）连续但不可但不可导（D D）可可导 【答案】【答案】 应选( (C C).). 题型题型4 4：可导、连续与极限的关系：可导、连续与极限的关系 31类题类题32题型题型5 5：微分的概念与计算：微分的概念与计算解解例例1 1两两边对x求求导， 33例例2 2解解34题型题型6 6：利用导数确定单调区间与极值：利用导数确定单调区间与极值解解例例1 135选（A A）. . 36例例2 2解解3738 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3 3个，而个，而 x=0 =0 则是导数不存在的点则是导数不存在的点. . 三个一阶导数为零三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在极小值点，一个极大值点；在x=0=0左侧一阶导数为正，左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见右侧一阶导数为负，可见x=0=0为极大值点，故为极大值点，故f( (x) )共有共有两个极小值点和两个极大值点，应选两个极小值点和两个极大值点，应选( (C). C). 例例3 3解解( (0303二二4 4) )xyo ( (A)A)一个极小值点和两个极大值一个极小值点和两个极大值点点. . ( (B)B) 两个极小值点和一个极大两个极小值点和一个极大值点值点. . ( (C)C) 两个极小值点和两个极大两个极小值点和两个极大值点值点. . ( (D) D) 三个极小值点和一个极大值点三个极小值点和一个极大值点. . 39例例4 4解解 选( (C).C).40例例5 5解解(96(96六六8)8)两边关于两边关于x求导求导, ,得得对对(1)(1)式再求导，得式再求导，得41例例6 6解解于是所求于是所求线段的最短段的最短长度度为 42题型题型7 7：求函数曲线的凹凸区间与拐点：求函数曲线的凹凸区间与拐点 解解例例1 143解解例例2 244故应选故应选( (C). ). 45题型题型8 8：求函数曲线的渐近线：求函数曲线的渐近线 解解例例1 1（A A）1 1条条（B B）2 2条条（C C）3 3条条（D D）4 4条条 选( (B).B). 46（A A）没有渐近线没有渐近线（B B）仅有水平渐近线仅有水平渐近线（C C）仅有铅直渐近线仅有铅直渐近线（D D）既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线选选(D).解解例例2 2(91(91二二3)3) 47例例3 3解解（A A）0 0条条（B B）1 1条条（C C）2 2条条（D D）3 3条条 48故应选故应选( (D). D). 例例3 3解解（A A）0 0条条（B B）1 1条条（C C）2 2条条（D D）3 3条条 49【评注】【评注】 例例3 3（A A）0 0条条（B B）1 1条条（C C）2 2条条（D D）3 3条条 50解解例例4 4（A A）0 0条条（B B）1 1条条（C C）2 2条条（D D）3 3条条 故应选故应选( (D). D). 51题型题型9 9：确定函数方程：确定函数方程 f (x)= = 0 0 的根的根 解解例例1 1（A A）2 2（B B）4 4（C C）6 6（D D）8 8 选( (B).B). 【评注】【评注】 xyo52证证例例2 25354证证例例3 3的的零点的个数。零点的个数。 55xyo只有一个交点；只有一个交点； 有两个交点；有两个交点； 56题型题型1010：确定方程：确定方程的根的根例例1 1证证 (1)(1)57分析：用微分方程法分析：用微分方程法, , 原原等式等式改写改写为证证 (2)(2)例例1 158证证且由且由题设及及(1)(1)知知, , 例例1 159(95(95七七5) 5) 类题类题60例例2 2证证05(18)1205(18)12()() 略略. .所以所以61例例3 3解解62【证明】【证明】 不妨设存在不妨设存在例例4 46364题型题型1111：利用导数证明不等式：利用导数证明不等式 证证例例1 1于是于是65证法证法1【分析】【分析】根据所证不等式的形式根据所证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明定理或转化为函数不等式用单调性证明. 例例2 204(15)1204(15)1266证法证法2例例2 267再用单调性进行证明即可再用单调性进行证明即可. .例例2 268题型题型1212：导数在经济上的应用：导数在经济上的应用 解解例例1 1需求需求弹性性为 69例例2 2解解(1)(1)利润最大时的产量及最大利润；利润最大时的产量及最大利润；(2)(2)需求对价格的弹性；需求对价格的弹性；(3)(3)需求需求对价格价格弹性的性的绝对值为1 1时的的产量量. . （1 1）利）利润函数函数为 70例例2 2解解(1)(1)利润最大时的产量及最大利润；利润最大时的产量及最大利润；(2)(2)需求对价格的弹性；需求对价格的弹性；(3)(3)需求需求对价格价格弹性的性的绝对值为1 1时的的产量量. . （2 2）（3 3）71例例3 3解解根据连续复利公式，这批酒在窖藏根据连续复利公式，这批酒在窖藏 t 年末总收入年末总收入R的现值为的现值为 7273END74解解例例3 3(05(05二二4)4)( (A) A) 处处可可导. . ( (B) B) 恰有一个不可恰有一个不可导点点. .( (C) C) 恰有两个不可恰有两个不可导点点. (. (D) D) 至少有三个不可至少有三个不可导点点. . 所以所以选( (C).C).75解法解法1例例5 5(90,3)(90,3) 76解法解法2一般，斜渐近线一般，斜渐近线求法：求法：77解解【0505, ,4 4】所求斜所求斜渐近近线方程方程为 类题类题78